第4章-根轨迹

1、14.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹根轨迹4.1.2 根轨迹方程根轨迹方程2前已述及，前已述及，闭环系统的动态性能与闭环极点在闭环系统的动态性能与闭环极点在 s 平面上的位置密切相关。平面上的位置密切相关。所以在分析系统的性能所以在分析系统的性能时，往往要求确定系统的闭环极点的位置。另外，时，往往要求确定系统的闭环极点的位置。另外，在分析或设计系统时，经常要研究一个或几个参在分析或设计系统时，经常要研究一个或几个参量在一定范围内变化时，对闭环极点的位置以及量在一定范围内变化时，对闭环极点的位置以及系统性能的影响。闭环极点就是特征根，为了求系统性能的影响。闭环极点就是特征

2、根，为了求解特征根，需将特征多项式进行因式分解。解特征根，需将特征多项式进行因式分解。3但对于高阶系统不太容易，特别当系统某一参数但对于高阶系统不太容易，特别当系统某一参数变化时，需要反复地进行计算，更是不现实。所变化时，需要反复地进行计算，更是不现实。所以伊万斯首先提出了求解特征根的图解方法以伊万斯首先提出了求解特征根的图解方法根轨迹法。根轨迹法。所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零到无穷所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环特征根（极点）在大变化时，其闭环特征根（极点）在s平面上移平面上移动的轨迹。动的轨迹。 根轨迹法是在已知系统的根轨迹法是在已知系统的开环零、极点条件

3、开环零、极点条件下，下，绘制出系统绘制出系统闭环特征根闭环特征根在在 s 平面上随参数变化平面上随参数变化时运动的轨迹。时运动的轨迹。 本章序言(续)4 设系统的结构如图所示。其中，设系统的结构如图所示。其中，为零、极点形式下为零、极点形式下开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益。系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为闭环特征方程式为闭环特征方程式为特征根为特征根为rrKssKsRsC2)()(2220rssKrKs112 . 14.1.1根轨迹根轨迹5 1 1）时，系统）时，系统有两个不相等的实数根，呈过有两个不相等的实数根，呈过阻尼状态。阻尼状态

4、。可得出以下几点：可得出以下几点： 2 2）当时，特征根）当时，特征根为两个相等的实数根，系统呈为两个相等的实数根，系统呈临界阻尼状态。临界阻尼状态。 3 3）值）值时，特时，特征根为两个复数根，系统呈欠征根为两个复数根，系统呈欠阻尼状态，即输出呈衰减振荡阻尼状态，即输出呈衰减振荡形式。特征根的实部形式。特征根的实部为衰减为衰减系数，虚部系数，虚部为振荡频率。为振荡频率。可见：根轨迹图全面的描可见：根轨迹图全面的描述了述了Kr对对S1,2分布的影响。分布的影响。64.1.2 根轨迹方程根轨迹方程设系统的结构如图所示。设系统的结构如图所示。系统的系统的闭环传递函数闭环传递函数为为开环传递函数开环

5、传递函数的零、极点表达式为的零、极点表达式为 式中，式中，为开环传递函数的零点，为开环传递函数的零点，为开环传递函数为开环传递函数的极点，的极点，为根轨迹增益。为根轨迹增益。系统的闭环特征方程式为系统的闭环特征方程式为)()(1)()()(sHsGsGsRsCnjjmiirpszsKsHsG11)()()()(0)()(1sHsG1)()(sHsG即即 7定义根轨迹方程为定义根轨迹方程为 因为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相因为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相角方程。角方程。相角方程为相角方程为1)()(11njjmiirpszsK幅值方程为幅值方程为 1)()(11njjmi

6、irpszsK或或 rnjjmiiKpszs1)()(1111()()(21)(0,1,2)mnijijszspkk 8若若s平面上的点是闭环极点，则它与平面上的点是闭环极点，则它与zi、pj所组成所组成的相量必定满足上述两方程，而且的相量必定满足上述两方程，而且幅值方程与幅值方程与Kr有有关，而相角方程与关，而相角方程与Kr无关。无关。所以满足相角方程的所以满足相角方程的s值值代入幅值方程中，总能求得一个对应的代入幅值方程中，总能求得一个对应的Kr，即即s若满若满足相角方程，必定就满足幅值方程。足相角方程，必定就满足幅值方程。 绘制根轨迹只要依据相角方程足以，而幅值方程绘制根轨迹只要依据相角

7、方程足以，而幅值方程 用来确定根轨迹上各点对应的用来确定根轨迹上各点对应的Kr值。值。相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。94.2 绘制根轨迹的方法绘制根轨迹的方法l4.2.1 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则l4.2.2 根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例101. 根轨迹的对称性和分支数根轨迹的对称性和分支数4.2.1 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 闭环特征根如果是实数根，闭环特征根如果是实数根，则分布在平面的实轴上；如果则分布在平面的实轴上；如果是复数根，则成对出现，实部相是复数根，则成对出现，实部相等，虚部大小相等符号相反，如等，虚部大小

8、相等符号相反，如图所示。因此，图所示。因此，形成的根轨迹必形成的根轨迹必定对称于实轴。定对称于实轴。 当取某一数值时，阶特征方程式有个确定的根。当取某一数值时，阶特征方程式有个确定的根。当当变化时，每一个根由始点连续地向其终点移变化时，每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹，个根也就形成条根轨迹。动，形成一条根轨迹，个根也就形成条根轨迹。根轨迹对称于实轴，其分支数等于开环根轨迹对称于实轴，其分支数等于开环极点数极点数n n和开环零点数和开环零点数m m中的最大数。中的最大数。 112. 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点考虑到根轨迹起始处考虑到根轨迹起始处Kr，故根轨迹幅值方程为，

9、故根轨迹幅值方程为 而根轨迹终点处而根轨迹终点处Kr r,有有m条根轨迹终条根轨迹终止于开环传递止于开环传递函数的零点，函数的零点，n-m条终止于条终止于无穷远。无穷远。 根轨迹起始于根轨迹起始于开环传递函数开环传递函数的极点，的极点，终止于开环传递函数的零点或无穷远。终止于开环传递函数的零点或无穷远。 11()1()miinrjjszKsp 使等式成立的条件是使等式成立的条件是 jps 12例例- - 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试确定系统的根轨迹图。试确定系统的根轨迹图。 解解 : : 系统的开环零、极点为系统的开环零、极点为 p1=0, p2=-1, p3=-2，z

10、1= -1+ j, z2= -1- j，根轨迹如图根轨迹如图- -所示。所示。 图中，图中，“”表示开环传递表示开环传递函数的极点，函数的极点，“”表示开环传表示开环传递函数的零点。系统的三条根轨递函数的零点。系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极迹起始于三个开环传递函数的极点，其中两条根轨迹终止于开环点，其中两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另一条趋传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。于无穷远。)2)(1()22()()(2sssssKsHsGr133. 实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹段实轴上根轨迹区段的右侧，实轴上的开实轴上根轨迹区段的右侧，实轴上的开环零、极点数目之和应为奇数

11、。环零、极点数目之和应为奇数。设系统的开环零、极点分布如图所示。设系统的开环零、极点分布如图所示。 在实轴上在实轴上p1p1与与p2p2之间任取一之间任取一点点s1s1，s1s1与开环零、极点的矢量如与开环零、极点的矢量如图图- -中的箭头线所示。中的箭头线所示。s1s1对应的相角为对应的相角为 4121)()(jjiipszs12123412180 满足相角满足相角相角方程，即该区段是根轨迹段。相角方程，即该区段是根轨迹段。14例例4-2 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试画出该系统的根轨迹图。试画出该系统的根轨迹图。)1()1()()(TsssKsHsGr图图4-7 T4-

12、7 T时的根轨迹时的根轨迹 图图4-8 T4-8 T时的根轨迹时的根轨迹15渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。q 倾角：设根轨迹在无限远处有一点 ，则s平面上所有得开环有限零点和极点到 的相角都相等，即为渐近线的倾角 。代入根轨迹的相角条件得：ksks11()()(21)mnijijszspmnk (21),(0,1,1)kknmnm 约定：相角逆时针为正，顺时针为负。ks1p2p3p若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。1618001mn909002mn454518004m

13、n606018003mn) 1, 1 , 0( ,) 12(mnkmnk17q 渐近线与实轴的交点假设根轨迹在无限远处有一点 ，则s平面上所有开环有限零点和极点到 的矢量长度都相等。可以认为：对无限远闭环极点 而言，所有的开环有限零点 、极点 都汇集在一起，其位置为 ，这就是渐近线与实轴的交点。ksksksizip）（：，零极点的重心认为时当jikpzss11111111()()()1()()()mmmmmiiiiiinnnnnrjjjjjjszszszKspspsp幅值条件：18,)(11miinjjzpmn：比较系数得11nmjijipznm1n-m11111()()().s()().n

14、mn mn mnmn mjijissnmspzs ：等式左为1等式右为11111111()()()1()()()mmmmmiiiiiinnnnnrjjjjjjszszszKspspsp19结论结论趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定：趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定：渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的交点例例4-3 4-3 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹图试绘制系统的根轨迹图(21)0,1,2,3.kknmmnzpmiinjj11)2)(1()()(sssKsHsGr205 5、根轨迹的会合点和分离点：、根轨迹的会合点和

15、分离点： 若干支根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。有开环极点 ，零点 从 即 处出发在A点相遇分离，到B点相遇会合。当 时根轨迹一支走向 另一支走向 ，A、B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。12,p p, z0,rk 12,p prk , z 一般，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个是可能是无限大零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。例：AB1p2pz0rk 0rk rk rk 21设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为根据重根的条件，必须同时满足以下两式

16、根据重根的条件，必须同时满足以下两式则则整理后，得分离会合点的必要条件式为整理后，得分离会合点的必要条件式为)()()()(sAsBKsHsGr0)()(sAsBKr0)()(sAsBKr( )( )0rK B sA s)()(sBsAKr)()()()(sBsAsBsA只有位于根轨迹上的重根只有位于根轨迹上的重根才是分离点或会合点才是分离点或会合点22例例4-4 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹图。绘制系统的根轨迹图。解解 (1) (1) 开环零、极点为开环零、极点为p1=-1p1=-1，p2=-2p2=-2，z1=-3z1=-3。(2) (2) 实轴上的根轨

17、迹段为实轴上的根轨迹段为p1p1p2p2段和段和z1z1-段。段。(3) (3) n-m=1，故有一条根轨迹趋于无穷远。，故有一条根轨迹趋于无穷远。渐近线与实轴的夹角为渐近线与实轴的夹角为(4) (4) 分离点和会合点为分离点和会合点为s1s1为根轨迹的分离点，为根轨迹的分离点，s2s2为根轨迹的会合点。为根轨迹的会合点。) 2)(1() 3()()(sssKsHsGr(21)1801k )()()()(sBsAsBsA) 3)(32()23(2ssss解方程得解方程得 121.6,4.4ss 236. 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角出射角出射角: :为根轨迹在为根轨迹在复数起点

18、复数起点处的切线与正实轴的夹角。处的切线与正实轴的夹角。 设系统的开环零、极点分布如图所示，有零、极点设系统的开环零、极点分布如图所示，有零、极点z1,p1z1,p1，p2p2，p3p3，p4p4。411111) 12()()(jjiikpszs 设设p3p3的出射角为的出射角为33，如图所示。，如图所示。假设假设s1s1为根轨迹上的一点，则为根轨迹上的一点，则s1s1应应满足相角方程满足相角方程由此可推得出射角的一般表达式由此可推得出射角的一般表达式1111()()mnmnlliljijijijj lj lpzpp 24入射角的一般表达式为入射角的一般表达式为例例4-64-6 已知系统的开环

19、传递函数为已知系统的开环传递函数为入射角入射角: :为根轨迹在为根轨迹在复数终点复数终点处的切线与正实轴的夹角。处的切线与正实轴的夹角。1111()()mnmnlliljijijiji li lzzzp 试绘制系统的根轨迹图。试绘制系统的根轨迹图。)5 . 1)(5 . 2()54)(5 . 1()()(22sssssssKsHsGr共轭复数的开环零极点才需计算出射共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，实数开环零极点不用计角和入射角，实数开环零极点不用计算，一般为：算，一般为：0, 180, 90, 60与与120, 45与与135等等. 257. 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点

20、根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常常需要求得这一交点和相应的常需要求得这一交点和相应的Kr值。值。例例4-74-7 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹图。绘制系统的根轨迹图。设与虚轴相交的闭环极点为设与虚轴相交的闭环极点为=j=j，代入闭环特征方程得：，代入闭环特征方程得：解方程即可求得解方程即可求得，0)()(1jHjG)22)(3()2()()(2sssssKsHsGr268. 开环极点与闭环极点的关系开环极点与闭环极点的关系 在一定条件下，开环极点与闭环极点间有着固定的关系，在一定条件下，开环极点

21、与闭环极点间有着固定的关系，可利用这种关系来判别闭环特征根在平面上的走向，并为可利用这种关系来判别闭环特征根在平面上的走向，并为确定闭环极点带来方便。确定闭环极点带来方便。根据代数方程的根与系数间的关系，次高项系数根据代数方程的根与系数间的关系，次高项系数 设阶系统闭环特征方程可表示为设阶系统闭环特征方程可表示为miirnjjzsKps11)()(nnnnnasasasas12211)()(121nnssssssssnjjsa11如果满足条件如果满足条件n-mn-m2 2 ，则，则 njnjjjps1127因此，因此，Kr时（或时（或Kr时），若一部分闭环极时），若一部分闭环极点在点在s平面上

22、向右平面上向右 移，则另一部分闭环极点必移，则另一部分闭环极点必向左移；对于任一向左移；对于任一Kr，闭环极点之和保持不变。，闭环极点之和保持不变。（用以判断根轨迹在（用以判断根轨迹在s平面上的走向）。平面上的走向）。284.2.2 根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例例例4-84-8 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹图。绘制系统的根轨迹图。 )208()()(2sssKsHsGr解解 （1 1）开环极点为）开环极点为p1=0,p2=-4+j2,p3=-4-j2,n=3,m = 0 p1=0,p2=-4+j2,p3=-4-j2,n=3,m = 0 （2 2）实轴上的根

23、轨迹段）实轴上的根轨迹段 p1 - （3 3）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线 (21)60 ,1803k 67. 2344（4 4）根轨迹的出射角）根轨迹的出射角 2112mnijijj 153.49063.4 4 .63329（5 5）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点 系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为 020823rKsss将将js 带入上式得带入上式得 328200rjjK160rK47. 43 . 2 （6 6）根轨迹的分离点和会合点）根轨迹的分离点和会合点 )()()()(sBsAsBsA解得解得 由由 得得 12,s 33. 32s 系统的根轨迹图如图系统的根轨迹图如图.

24、. j3p1p2pj2-j4-2-4-j20201632ss解得解得 3031 前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规则是以制规则是以开环根轨迹增益开环根轨迹增益 为可变参数的，为可变参数的，大多数系统都属于这种情况。但有时候，为大多数系统都属于这种情况。但有时候，为了分析系统方便起见，或着重研究某个系统了分析系统方便起见，或着重研究某个系统参数参数( (如时间常数、反馈系数等如时间常数、反馈系数等) )对系统性能对系统性能的影响，也常常以这些参数作为可变参数绘的影响，也常常以这些参数作为可变参数绘制根轨迹，我们把制根轨迹，我们把以非开环根轨增益以非开环根

25、轨增益 作为作为可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹( (或广或广义根轨迹义根轨迹) )。rKrK4.3 参量根轨迹参量根轨迹32设系统根轨迹方程为设系统根轨迹方程为1)()(sHsG( )10( )K P sQ s1)()(sQsPK( )( )( )( )K P sG s H sQ s 或或 为为等效开环传递函数等效开环传递函数。经整理可变换为经整理可变换为称称 根据前述绘制根轨迹的规则，由等效开环传递函数的极点根据前述绘制根轨迹的规则，由等效开环传递函数的极点和零点的分布情况就可绘制和零点的分布情况就可绘制参量参量K=0K=0的参量根轨迹图。的参量根轨迹图

26、。 33注意：注意：经整理后，当系统的等效开环传递函数的经整理后，当系统的等效开环传递函数的极点数小于零点数时，即极点数小于零点数时，即nm。与。与nm情况类情况类似，这时可认为有似，这时可认为有m-n条根轨迹起始于条根轨迹起始于S平面的无平面的无穷远处（无限极点）穷远处（无限极点）。34例例4-104-10 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为试绘制系统试绘制系统变化时的根轨迹图。变化时的根轨迹图。整理得：整理得：) 14)(1(1)()(ssKssHsG解解 系统的特征方程式为系统的特征方程式为 01) 14)(1(ssKs22(41)1041K ssss 等效开环传递函数为等效开

27、环传递函数为2222(41)(0.25)( )( )410.250.25K ssK ssG s H sssss 35（）开环零、极点为（）开环零、极点为（）实轴上的根轨迹段为（）实轴上的根轨迹段为z3z3-段。段。（）根轨迹的出射角和入射角（）根轨迹的出射角和入射角（）根轨迹与虚轴的交点系统（）根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为闭环特征方程为由根轨迹绘制规则作该系统的根轨迹图：由根轨迹绘制规则作该系统的根轨迹图： 48.142114.484,3K 433. 03,.2 364.4 零度根轨迹零度根轨迹正反馈系统的闭环特征方程为正反馈系统的闭环特征方程为 1- G(s) H(s) = 0 根轨

28、迹方程为根轨迹方程为 G(s) H(s) = 1 其幅值方程与负反馈系统相同，而相角方程则为其幅值方程与负反馈系统相同，而相角方程则为11()()2(0,1,2.)mnijijszspkk 因为相角条件常规根轨迹的不同为因为相角条件常规根轨迹的不同为 ，故称之，故称之为零度根轨迹。为零度根轨迹。k20虽然控制系统均采用负反馈以使系统正常工作，但虽然控制系统均采用负反馈以使系统正常工作，但对于复杂系统可能会出现局部正反馈，有时是控制对于复杂系统可能会出现局部正反馈，有时是控制对象本身的特性，有时是为满足某种性能而附加的。对象本身的特性，有时是为满足某种性能而附加的。37）实轴上根轨迹区段右侧的开

29、环零、极点数目之和为偶数。）实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点数目之和为偶数。）根轨迹的渐近线与实轴的夹角为）根轨迹的渐近线与实轴的夹角为）根轨迹的出射角和入射角的计算公式为）根轨迹的出射角和入射角的计算公式为 在绘制根零度根轨迹的规则中，不同于负反馈系统的在绘制根零度根轨迹的规则中，不同于负反馈系统的有以下几点：有以下几点：2(0,1,2,.)kknm)()(11nljjjlmiillppzp)()(11njjlmliiillpzzz38例例4-114-11 已知单位负反馈系统的开环传递函数为已知单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹图。试绘制系统的根轨迹图。解解 将开环传递函数改

30、写成零、极点形式将开环传递函数改写成零、极点形式，式中，式中 除具有正反馈结构的系统之外，有些非最小相位系统除具有正反馈结构的系统之外，有些非最小相位系统虽是负反馈结构，但其开环传递函数的分子或分母多项式虽是负反馈结构，但其开环传递函数的分子或分母多项式中，中， 的最高次幂的系数为负，因而系统具有正反馈性质。的最高次幂的系数为负，因而系统具有正反馈性质。因而要用绘制零度根轨迹的规则来作根轨迹图。因而要用绘制零度根轨迹的规则来作根轨迹图。) 1()5 . 01 ()()(1sssKsHsG10.5(2)(2)( )( )(1)(1)rK sKsG s H ss ss s15 . 0 KKr 满足

31、零度根轨迹绘制条件。满足零度根轨迹绘制条件。 39图4-19 例4-11根轨迹 404.5 用根轨迹法分析系统性能用根轨迹法分析系统性能l4.5.1 已知根轨迹增益确定闭环极点已知根轨迹增益确定闭环极点l4.5.2 已知系统的性能指标，确定闭环极已知系统的性能指标，确定闭环极 点和点和l4.5.3 增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响414.5.1 已知根轨迹增益已知根轨迹增益Kr确定闭环极点确定闭环极点 闭环系统的性能由闭环传递函数的零、极点来决定，系闭环系统的性能由闭环传递函数的零、极点来决定，系统的闭环极点可通过根轨迹图来确定，而闭环零点为前向通统的闭环极点可

32、通过根轨迹图来确定，而闭环零点为前向通道传递函数道传递函数G(S)的零点和反馈通道传递函数的零点和反馈通道传递函数H(s)的极点组成。的极点组成。 由控制系统的根轨迹图可以确定根轨迹增益与控制系统由控制系统的根轨迹图可以确定根轨迹增益与控制系统的性能的关系。的性能的关系。（1 1） 稳定性及稳定条件稳定性及稳定条件 由根轨迹图可以确定根轨迹都由根轨迹图可以确定根轨迹都位于位于s s左平面时增益左平面时增益Kr的取值范围。的取值范围。（2 2）运动形式运动形式 由根轨迹图可以确定系统响应为单调变由根轨迹图可以确定系统响应为单调变化或衰减振荡形式时的化或衰减振荡形式时的Kr数值范围。数值范围。（3

33、 3）暂态性能指标暂态性能指标 可由根轨迹确定的主导极点来估算。可由根轨迹确定的主导极点来估算。 42例例-12 -12 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为( )( )(1)(2)rKG s H ss ss试采用根轨迹法分析：试采用根轨迹法分析： （1 1）系统稳定性时）系统稳定性时KrKr的取值范围。的取值范围。（2 2）系统响应为衰减振荡形式时）系统响应为衰减振荡形式时KrKr的取值范围。的取值范围。（3 3）试估算）试估算Kr =1时系统的超调量和调整时间。时系统的超调量和调整时间。 解解 绘制系统根轨迹如图，由图知：绘制系统根轨迹如图，由图知： （1 1）系统稳定性时：）

34、系统稳定性时：0 Kr 6（2 2）系统响应为衰减振荡形式时）系统响应为衰减振荡形式时: : （3 3）试估算时系统的超调量和调整时）试估算时系统的超调量和调整时间。间。 0.3586rK43 （3）因因Kr=1处于处于0.358Kr6范围，所以系统的闭环极点范围，所以系统的闭环极点为一个实数极点和一对复数极点。根据幅值方程求出负实轴为一个实数极点和一对复数极点。根据幅值方程求出负实轴试验点对应试验点对应Kr的值，最终可找到的值，最终可找到Kr=1=1时系统的闭环极点时系统的闭环极点: : 然后，根据闭环特征方程和长除法，可求得另两个极点然后，根据闭环特征方程和长除法，可求得另两个极点是一对主

35、导极点。所以系统的闭环传递函数为是一对主导极点。所以系统的闭环传递函数为 2210.43( )(2.325)(0.6750.43)0.6750.43ssssss则则 0.656,n0.514 所以系统的超调量和调整时间为所以系统的超调量和调整时间为 15.2%,8.911.9psts325. 23s1,20.3380.56sj 444.5.2 已知系统的性能指标，确定闭环极点和已知系统的性能指标，确定闭环极点和 采用根轨迹法分析系统的性能，有时也需要根据对系统采用根轨迹法分析系统的性能，有时也需要根据对系统的性能指标要求，确定闭环极点的位置和对应的的性能指标要求，确定闭环极点的位置和对应的Kr

36、值，使得值，使得系统的性能满足要求。系统的性能满足要求。例例4-134-13 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 根据性能指标要求，根据性能指标要求，=0.5=0.5，试确定满足条件的闭环极，试确定满足条件的闭环极点和对应的点和对应的Kr。( )( )(1)(2)rKG s H ss ss解解 系统的根轨迹图如图所示。系统的根轨迹图如图所示。 1cos60 在根轨迹图上作在根轨迹图上作60600 0的射线。从图的射线。从图上可确定该线和根轨迹的交点坐标：上可确定该线和根轨迹的交点坐标：58. 033. 02.,1js453312130.33 22.34jjspss 333122.34 1.34 0.341.066rKsss2258. 0)33. 0()34. 2(066. 1)(sss则有则有 故系统的闭环传递函数为故系统的闭环传