高中数学必修1教案13：单调性与最大(小)值习题课

1、高中数学必修1教案13课题:单调性与最大(小值习题课课 型:新授课 教学目标:更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法,理解函数的最大(小值及其几何意义.教学重点:熟练求函数的最大(小值。教学难点:理解函数的最大(小值,能利用单调性求函数的最大(小值。 教学过程:一、复习准备:1.指出函数f(x=ax 2+bx +c (a>0的单调区间及单调性,并进行证明。 2. f(x=ax 2+bx +c 的最小值的情况是怎样的? 3.知识回顾:增函数、减函数的定义。 二、讲授新课:1.教学函数最大(小值的概念: 指出下列函数图象的最高点或最低点, 能体现函数值有什么特征?(23f x x

2、=-+,(23f x x =-+ 1,2x -;2(21f x x x =+,2(21f x x x =+2,2x - 定义最大值:设函数y=f(x的定义域为I ,如果存在实数M 满足:对于任意的x I ,都有f(xM ;存在x 0I ,使得f(x 0 = M . 那么,称M 是函数y=f(x的最大值(Maximum Value 探讨:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value 的定义. 一些什么方法可以求最大(小值?(配方法、图象法、单调法 试举例说明方法.一般地,设函数(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1对于任意的I x ,都有M x f (;(2存在I

3、x 0,使得M x f =(0。那么称M 是函数(x f y =的最小值。 2.例题讲解:【例1】求函数261y x x =+的最大值.解:配方为26(24y x =+,由2133(244x +,得2608(24x <+. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时,每天可售出100件. 现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价1元,其销售量就要减少10件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚得的利润最大?并求出最大利润.解:设他将售出价定为x 元,则提高了(10x -元,减少了10(10x - 件,所赚得的利润为(8

4、10010(10y x x =- .即2210280160010(14360y x x x =-+-=-+. 当14x =时,max 360y =. 所以,他将售出价定为14元时,才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.【例3】求函数2y x =. 解:此函数的定义域为1,+,且函数在定义域上是增函数, 所以当1x =时,min 22y =,函数的最小值为2. 点评: 形如y ax b =+的函数最大值或最小值,可以用单调性法研究,也可以用换元法研究.t =,则0t ,21x t =+,所以22115222(48y t t t =+=+, 在0t 时是增函数,当0t =时,min 2

5、y =,故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值:(125332,22y x x x =-; (2|1|2|y x x =+-. 解:(1二次函数232y x x =-的对称轴为2bx a=-,即1x =-.画出函数的图象,由图可知,当1x =-时,max 4y =; 当32x =时,min 94y =-.所以函数25332,22y x x x =-的最大值为4,最小值为94-.(2 3 (2|1|2|2 1 (123 (1x y x x x x x =+-=-<<-. 作出函数的图象,由图可知,3,3y -. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评:二次函数在闭

6、区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析. 含绝对值的函数,常分零点讨论去绝对值,转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.【例5】如果二次函数2f (xx (a 1x 5=-+在区间1(,12内是增函数,求f(2的取值范围.分析:由于f(2=22-(a-1 ×2+5=-2a+11,f(2的取值范围即一次函数y= - 2a+11的值域,固应先求其定义域.【例6】求二次函数22(2+-=ax x x f 在4,2上的最大值与最小值。【例7】设y=f(x在R 上是单调函数,试证方程f(x=0在R 上至多有一个实数根. 分析:根据函数的单调性,用反证

7、法证明.【例8】设f(x的定义域为(0,+,且在(0,+上的增函数,x f f (xf (y.y =- (1 求证f(1=0;f(xy=f(x+f(y; (2 若f(2=1,解不等式1f (xf 2.x 3-分析:利用f(x的性质,脱去函数的符号,将问题化为解一般的不等式;注意,2=1+1=f(2+f(2=f(4.【例9】已知函数2x 2x af (x,x 1,x+=+. (1 当1a 2=时,求函数f(x的最小值;(2 若对任意x 1,f (x0+>恒成立,试求实数a 的取值范围. 分析:(1利用f(x的单调性即可求最小值;(2利用函数的性质分类讨论解之.3.思维训练求函数的最大(小值

8、:1.m x x y +-=42; 2.12322+=x x y ;3.1122+-=x x x x y ; 4.422+-=ax x y ,1,1-x ;5.322+-=x x y ,2,+a a x 。函数最大(小值练习题基础达标 1.函数42y x =-在区间 3,6上是减函数,则y 的最小值是( . A . 1 B. 3 C. -2 D. 52.函数221y x x =-+的最大值是( .A. 8B. 83C. 4D. 433.函数2(2f x x ax a =-+在区间(,1-上有最小值,则a 的取值范围是( . A .1a < B .1a C .1a > D . 1a 4.某部队练习发射炮弹,炮弹的高度h 与时间t 的函数关系式是(24.914.718h t t t =-+则炮弹在发射几秒后最高呢( .A. 1.3秒B. 1.4秒C. 1.5秒 D 1.6秒5. 23(1,0,2f x x x x =+已知函数的最大(小值情况为( .A. 有最大值34,但无最小值B. 有最小值34,有最大值1C. 有最小值1,有最大值194D. 无最大值,也无最小值6.函数3y x =的最大值是 . 7.已知3(3xf x x =-,4,6x . 则(f x 的最大值与最小值分别为 .能力提高8.已知函数2(2f x x x =-+.(1证明(f x 在1,+上是减