1998年哈尔滨工业大学量子力学试题

1、1998量子力学考研试题（见习题选讲3.1）质为m的粒子处于一维位势Q05V(x) = <0,m o)中，导出其能量本征值E Vo时满足的方程解：将求解区间按位势的不同分为三个，分别记为 I、II和hi 三个区域中，波函数分别为丨(x) = 0 h (x)二 Asin kx严 III (x) = Bexp (- « x )其中，、2mE 2m(V0 - E) a =由x二0处的连接条件知即要求于是，I (0) = II (0)As i n = 06 =屮 (x)二 Asinkx再由x二a处的连接条件' ii (a)八 iii (a)i'i (a)八 i'

2、ii (a)得到Asinka 二 Be"aAkcoska 二-Be"由上式可得Ofcta nka =k此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能数值求解或用作图法求 解。由于，余切值是负数，所以，角度ka在第二、四象限。若令j2mV0ko 二ka则超越方程可以改写成sin kako a若用作图法求解上式，则其解是曲线= sinka与ka 的交点。y2k°a讨论一种特殊情况，即乂、:，这时，ko：，于是，y2 = 0。曲 线yi与坐标横轴的交点就是所求的解，即ka=n二, n =1,23进而可以得到2ma2n2与无限深势阱的结果完全一致二.（见2000年第一题）质量为

3、m的粒子作一维自由运动，如 果粒子处于' X = Asin2 kx的状态上，求其动量?与动能T?的其中 几率分布及平均值。d?= -i ； dx显然，两者相互对易，且满足? p x =解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为2mP p x2x2m p两者有共同完整本征函数exp 丄 px将'x向，p x展开，即oOCp p x dp展开系数oO*Cp="xdx"；xexpikx2ex"p_fCA 二 *；x ©xp 2ikx - 2 exp - 2i kx dx4oO-；x 云2k x - 2 o x ,k x Idx 4-A x 2

4、1 p - 2k - 2 p - 0 | 亠门 p 2k 4只有当p = 0,-2Q时，Cp0。利用归一化条件Cp可知，归一化常数为A二34于是有12Co = 13；C_21动量的取值几率为1Wp=2k 6Wp= 0 点;32dx平均值为p = pW p i - 0动能的的取值几率与动量相同，而平均值为2k2 22pTW p -p 2m八3m?矿.（见 佃99年第四题）若一维体系的哈密顿算符V X不显含时间，在能量表象中证明:-E Em Xmn、Em _ En Xmn-fxdvx)1U d 丿mn、2XmnEmEn证明:(1)利用算符微分的定义可知dt mn ：t mn1 1XmkHkn 一

5、HmkXknEn 一 Em Xmni ki T- 'x,H?】mn = J XH?- HX mn =而从另一个角度出发，又可以得到dxdt1 1尹 2i Pmnmn的+丄（【xF?】）W丿mn声，mn1Pmn丄lx鱼门x, V x _ 2mn比较上述两式得到，Pmn-E Em Xmni(2)整理之，2瓦(Em En) x,nmn-2(P2)l 2从计算动量算符平方的平均值出发，有? mm -PmnPnm -. En Em “n. - Em En xnmnn rinz-2得到(3)利用维里定理，mmdxV x2 dXmm于是，有nxmnx-Vx)1mn（方向余弦为四.（见习题选讲8.1）

6、求自旋角动量在任意方向n cos，cos 1 , cos ） 的投影算符Sn = ? cos ? cos S cos的本征值和相应的本征矢。解：将三个自旋分量算符代入自旋算符的投影?n中得到其矩阵cos2 Icos + icos-c o?s 丿表示为n9rhh1 0、cos + cos + 2J0>2<i02-1>coScos - icoS、?!二设?n的本征值为则其满足的本征方程为cos2 Icos + icosPcos - icos > (-c o!s 丿 <C2C2相应的久期方程为cos-2hc os- i ccos icos7 2、c o s-解之得上式表

7、明，自旋在任意方向的投影的本征值总是-勺为了求出 |相应的本征矢，将其代入本征方程，得到C2c os i c o s C11cosCi再利用归一化条件C2得到归一化的本征矢为1 cos1c os i c o s同理可以求出2h-2相应的本征矢为-1c os i c o s1 - c o s五.设有一量子体系，其能量算符H?o的本征矢记为=02），给定厄米特算符A,R及（?=i悅A。设体系受到微扰W?iA,H?o的作用，若已知AroRo,Boo3o、,Co poGo,试在微扰后的基态（无 简并）下计算E?的平均值，准确到、量级。解：设F?o满足h?o n= e； n则哈密顿算符H? = R。 V?的基态波函数的一级近似为讪阳。-H?oA|OoQ)=|o)n nV? 0+ zn-0 E；-E0：n(nAoN=o） +=A00）利用归一化条件二。+池送于0n =0Onn n Ao； - i 0 0 A 00 0）（1）=1十0。2）若准确到人量级，则一级近似波函数已经归一化。在微扰