第14章整式的乘法与因式分解复习

1、第第14章章 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解复习复习整式的乘法整式的乘法因式分解因式分解幂的运算性质幂的运算性质整式的乘（除）整式的乘（除）乘法公式乘法公式_nmaanma_)(nmanma_)(nabnnba_nmaanma单项式乘（除）单项式单项式乘（除）单项式多项式乘（除）单项式多项式乘（除）单项式多项式乘以多项式多项式乘以多项式方法方法1提公因式法提公因式法方法方法2公式法公式法平方差：平方差：完全平方完全平方:22)(bababa2222)(bababa法则：两数和（或差）的平方，等于它们的法则：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的平方和，加上（

2、或减去）它们的积的2倍。倍。法则：两数的和与这两数的差的法则：两数的和与这两数的差的积，等于这两数的平方差。积，等于这两数的平方差。 本章知识结构梳理1.1.幂的运算性质幂的运算性质2.2.整式的乘法（包括乘法公式）整式的乘法（包括乘法公式）3.3.因式分解因式分解二二. .知识板块讲解知识板块讲解1.同底数同底数幂幂的乘法的乘法法则：法则：同底数幂相乘，底数不变，同底数幂相乘，底数不变，指数指数相加相加。数学符号表示：数学符号表示：（其中（其中m、n为整数）为整数）nmnmaaa举例：判断下列各式是否正确。举例：判断下列各式是否正确。6623333)()()()(2xxxxxaaamnpm

3、npaaaa 错错对对2.幂幂的乘方的乘方法则：法则：幂的乘方，底数不变，幂的乘方，底数不变，指数相乘指数相乘。数学符号表示：数学符号表示：mnnmaa)(（其中（其中m、n为整数）为整数）举例：判断下列各式是否正确。举例：判断下列各式是否正确。224484444)()()()(mmmaaaaaamnppnmaa)(（其中（其中m、n、P为整数）为整数）错错对对3.积积的乘方的乘方法则：法则：积的乘方，等于把积的每一个因式积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方分别乘方，再把所得的幂相乘。再把所得的幂相乘。)( ,)(为正整数其中nbaabnnn32)2( xy举例：计算638yx解：原式)()

4、(为正整数其中ncbaabcnnnn)_(_)2(2yx3 3 3 4.同底数幂的同底数幂的除法除法法则：法则：同底数幂相除，底数不变，同底数幂相除，底数不变，指数相减指数相减。nmnmaaa（其中（其中a0，m、n为正整数为正整数,并且并且mn ）)0(10aa即任何不等于即任何不等于0的数的的数的0次幂都等于次幂都等于153232331 .2)13)0 xxxxxxx举举例例：判判断断式式子子正正误误）错错对对错错nmnmaaa nmnmaa nnnbaabnmnmaaa422 31222361.,() ,_.aaaaaaaa例例在在中中，计计算算结结果果为为的的有有（填填序序号号）1.

5、下列计算 正确的是（ ） A. B. C. D. 2324aaa68aa 12a96aa 62aD201720182.0.254计计算算：20172017201720170.25440.25 44144解：原式nmnmaaa nnnabba1.幂的运算性质幂的运算性质2.整式的乘法（包括乘法公式）整式的乘法（包括乘法公式）3.因式分解因式分解二二.知识板块讲解知识板块讲解“单单单单”法则：法则： 法则：法则：单项式与单项式相乘，把它们的单项式与单项式相乘，把它们的系数、系数、相同字母相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个

6、因式。字母，则连同它的指数作为积的一个因式。22: 23ab ca b计计算算336 a b c 解解：原原式式(山西中考山西中考)计算：计算： 2x3(3x)2=_22( 2 3)_aab bc 518x“单单多多”法则：法则：p(a+b+c)=pa+pb+pc法则法则:单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘,就是用单项式就是用单项式去乘多项式的每一项去乘多项式的每一项,再把所得的积再把所得的积相加相加.)25(3baa举例：计算：)2(353baaa解：原式aba6152baaa2353 法则：法则： 多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘,先用一个多项式的先用一个多项式的 每一项乘另一个多项

7、式的每一项每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积再把所得的积相加相加(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn“多多多多”法则：法则：=am+an+bm+bn) 3(:yx）（计算 2xxyy36222 ( 3)( 3)yxyx 解解：原原式式“单单”法则 法则：法则：单项式除以单项式，把它们的单项式除以单项式，把它们的系数、同底数系数、同底数幂幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。24233382a b cab计计算算：解解：原原式式214abc23

8、42_)_()_(3283cbbaa2c2c “多多单单”法则法则 法则：法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商每一项除以这个单项式，再把所得的商相加相加。4322128)2xxxx计计算算：（21642xx423222(122)(82)(2)xxxxxx解解：原原式式平方差公式平方差公式文字法则：文字法则：两个数的和与这两个数的差的积，等两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。于这两个数的平方差。22()(),.ab ababa b其其中中既既可可以以是是数数 也也可可以以是是代代数数式式乘法公式：乘法公式：完

9、全平方公式完全平方公式文字法则：文字法则：两数和（或差）的平方，等于它们的两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍倍。222()2,.abaabba b其其中中既既可可以以是是数数 也也可可以以是是代代数数式式乘法公式：乘法公式：基基 本本 功功(1)(ab)= (ba)(2) (ab)2=(ba)2(3) (ab)2=(a+b)2(4) (ab)3= (ba)3添括号的法则：添括号的法则：1.括号前面是括号前面是正号正号，括到括号里的各项都，括到括号里的各项都不改变不改变符号；符号；2.括号前面是括号前面是负号负号，括到括号里的各项

10、都，括到括号里的各项都要改变要改变符号。符号。a+b+c=a+(b+c)abc=a(b+c)常常用用变变形形例例2：先化简，再求值：先化简，再求值： .21,151313122xxxxxx其中解解:原式原式=1442 xx （）192x+xx552=xxxxx5519144222（添加括号）（添加括号）（划分项带符号）（划分项带符号）92x当当 时，原式时，原式=21x221952（必须写出代入过程）（必须写出代入过程）精讲精讲精练精练2.先化简，再求值。先化简，再求值。 1),1 (712) 12() 1(4).2(2xxxxx其中解解:原式原式=xxxx77) 14() 12( 422xx

11、xx7714484221215 x当当 时，原式时，原式=1x121153(1).()2 (2)(2),1aaa aa 宁宁波波中中考考：其其中中2242aaa解解：原原式式24a12 ( 1)46a 当当时时，原原式式提高题提高题21).2(）（ba3.利用乘法公式计算下列各式：利用乘法公式计算下列各式：10397100).1 (22221001003100310010099解解：原原式式2222()1()2()12221abababaabbab解解 ： 原原 式式提高题提高题1.幂的运算性质幂的运算性质2.整式的乘法（包括乘法公式）整式的乘法（包括乘法公式）3.因式分解因式分解二二.知识板

12、块讲解知识板块讲解分分解解因因式式定义定义把一个把一个多项式多项式化成几个整式的化成几个整式的积积的形式过程。的形式过程。它强调的是式子的它强调的是式子的恒等变形恒等变形，而不是计算。，而不是计算。与整式乘法的关系：与整式乘法的关系：互逆关系互逆关系方法方法提公因式法提公因式法公式法公式法步骤步骤一提：一提：提公因式提公因式二代：二代：代用公式代用公式三彻底：三彻底：检查因式分解的结果是否检查因式分解的结果是否彻底性彻底性平方差公式平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式完全平方公式a22ab+b2=(ab)22222a cb c例例：关键在于找关键在于找“公因式公因式”2 (

13、)()c ab ab222 ()c ab（1）公因式：公因式：一个多项式的各项都含有的公共的一个多项式的各项都含有的公共的 因式，叫做这个多项式各项的公因式。因式，叫做这个多项式各项的公因式。（2）找公因式：找公因式：找各项系数的最大公约数与找各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。各项都含有的字母的最低次幂的积。（3）提公因式法：提公因式法：一般地，如果多项式的各项一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式的作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每一项除以这个公因式，所得的商作为另

14、一每一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因式，将多项式写成因式乘积的形式个因式，将多项式写成因式乘积的形式.提公因式法注意问题提公因式法注意问题:2222(1)1850(2)()()(3)288 aaxybyxx yxyy22224) 1(4) 1)(4(xxxx22) 12()2).(5(xx精讲精讲精练精练例例3：请对下列各式进行因式分解：请对下列各式进行因式分解：(1)18a2 50 解：原式解：原式=2( 9a225) 提公因式提公因式 平方差公式平方差公式= (xy) (a2b2) 提公因式提公因式 平方差公式平方差公式精讲精讲精练精练(2) a2(xy)+b2(yx) =2(3a

15、+5)(3a5)= (xy)(a+b) (ab)解：解：原式原式=2y(x24x+4) 提公因式提公因式 完全平方公式完全平方公式 (3) 2x2y+8xy8y=2y(x2)2例例3：请对下列各式进行因式分解：请对下列各式进行因式分解：解：原式解：原式=a2(xy) b2(xy) 原式变形原式变形22224) 1(4) 1).(4(xxxx222212 2(1)(2 )xxxx 解解：原原式式 （）222) 1(xx22) 12(xx22) 1( x4) 1( xa 2 b a + b22精讲精讲精练精练例例3 3：请对下列各式进行因式分解：请对下列各式进行因式分解： 22) 12()2.(5

16、xx解解:原式原式=+-) 2( xa) 2( xb) 12 ( x) 12 ( x) 122)(122(xxxx) 3)(13 (xx精讲精讲精练精练例例3：请对下列各式进行因式分解：请对下列各式进行因式分解：8y 8xy-y2x (3)x)-(yby)-(xa (2)50-(1)18a222222224) 1(4) 1)(4(xxxx 22) 12() 2.(5xx精讲精讲精练精练例例3：请对下列各式进行因式分解：请对下列各式进行因式分解：8y 8xy-y2x (3)y)-(xb-y)-(xa (2)50-(1)18a2222精讲精讲精练精练例例3：请对下列各式进行因式分解：请对下列各式进

17、行因式分解：(1)(1)1818a a2 2-50 解：原式解：原式=2( 9a2-25) =2(3a+5)(3a-5)(2) a2(x-y)+b2(y-X) 解：原式解：原式= (x-y) (a2-b2) = (x-y)(a+b) (a-b)精讲精讲精练精练例例3：请对下列各式进行因式分解：请对下列各式进行因式分解： 22) 12()2.(6xx解解:原式原式=+-) 2( xa) 2( xb) 12 ( x) 12 ( x) 122)(122(xxxx) 3)(13 (xx精讲精讲精练精练例例3：请对下列各式进行因式分解：请对下列各式进行因式分解：1.2.D2 (2)(2)x xx精讲精讲精练精练（3.把下列各式因式分解：把下列各式因式分解： 22961yxyx 24243yaxa精讲精讲精练精练2(4).4()20