复变函数与积分变换第三版答案华中科技大学数学(供参考)

1、百度文库11计算下列各式*(1十i) -(3-20;(1 + i) -(3 - 2i)二(1 + i) - 3 + 2i二一2 + 3L(a - 61)3；(a 3a6i+ 3 a (6 i)2 (bi)=亠362* i(沪3a2b).*(i - 1)(i - 2);(i-l)(i-2)二* - 2i - i + 2 1 - 3i=i.(l + 3i)=-3L 10_10 10Q =工+讪工-i)；工一1工十iy 1(JC1 + iv)(j? + 1 iv)畫十1二工十十1=+ l)2+=+ y2- 1七2i卫(工十1尸十脊证明下列关于共梔复薮的运算性质：(引 土Z2) = Z Z2；(可土习

2、)=(6 十计1) )土(工2十-( (X1 X；) + i(yj土2) )=(工1 工2) )- 1( (31土y2) )=士工2孑二更1士2-(2)证老1 #2 =( (1 + 11 )(-2 + 12) )=工1工2 12) )+ i(工】+畀丄工2) )=12 - yw -童2 = (1 + 11) )(更2十13*2) )=(工1 - 11)()(X2一iy2)引即左边=证-丄1兀2一卜1龙2一11 2一 右边，得证.（乜工0）”+ ii =/ (工JL土 5 (牝i刃)“ +i力丿 矗十yi(1)解解(3)解(4)解1.2(1)证百度文库12222zi - Z2 - i,（1 +

3、i）t + 1Z2 = 4 - 3i*所给方程组可写为J2| + 2iyi哉2 _ iy2= J1（1 + i）（工i + iyi）十i（工2十i2）- 4一3L：2工1比+ i（2yi - ）2）二iiLi一：Vi一了2 + i（戈I +工2 + VI）= 4 - 3匚2222X XJitJitxi +yl解方程组33利用复数相等的概念可知?工_ 工2 =，2” _力=，Ul -了1- 力=4,上 + 工2 +了1 = _ 3.解得1761 5，36_5 *兀=_亍刃=劝二一壬JC2 =-故36、617. -一刃511 4将直线方程处十矽十匚=0（?十沪工0）写成复数形式. 提示：记北十iy

4、 =之解由工二尹，y=込主代入直线方程，得专(z +乏十玄(之一乏)+c =0,az + az - bz - ) + 2c =0,(a ib)z + (a + b)z十2c =0,44（1） |引-叼|2二I引匸 +Izi22Re（zi 臣2）； if I - 212=（引一乜）（徐-辺）-（引-辺）（初一劭）二Z1Z+ $2更2_ 引更1 _ 2乏2=2+2-Z2+ ZIZ2)故AH+ 占疋4- 73 0T中A = a十i6t3 = 2c.1.5将圆周方稈a（JT2+yy十bjr十十就-0（u.弄0）写成复 数形式（即用盂与里表示*其中立=工卜 4）.玩-壬代人圆周方程，4衣-更十互-(远+

5、乏)十号：(疋一乏)十/=0, 2口盂 * 丘+( 6一ic)s I (b + i石W 十2/ =0*故A# *乏IBH+卜C = 0.其貝=2a . B b + i , C = 2d -1 6求下列复数的模与辐角主值”(1) 73 + i；/3 + i=77歹i P = 74argC-/3 + i) arc tan. z =V3=2,=(2)解= 1 P + ( 1 )2= J打3一71=牙兀=一4朮+(4)解1.72 i；I 2 -i | - /22+ 2 = 12 + |12+ 2|Tv IM2(F + y ) = 2 ( 112,故恃（I却+bl）WlwlM|j：|f1将下列各复数写成

6、三角表示式.- 3 + 2i;解13 + 211 = /13,arg(-3 + 2i) = arctan二 故7f = 2（|引F+怨2）,并说明此式的岑(Z+y )66sm a + i COSa；sin a 4-=arctanfcot g )= 于-兀 *Ksin -g- i cos石 =cos22=8S石兀 一i sin利用复数的三角表示计算下列各式：nt. . ncueT+i sin r44-3 + 2i = /13oos(K- arctan |f i sinfir- arctanj1 i =J2cos十i sin -44IE K44(2) (- 2 + 3i)/(3 + 2L)；解因(

7、1 + i)(l i) = 2cos2 + 3i = v；rT3 cos(arctan i rr) + i sin(_ 3arctan ir) *argfsin.、cosan) t 曲航sina +i cosacos(号-a j + i sin7T2&arg1 cosT.itsm召-i cos专 | =arctan | cotn_226_7r367T1.91 + i = 72773 + 2i二v/r13 cost arctan ) + i sin( arctan故(2 + 3i)/(3 + 2i) = L注：arg( 2 + 3i)/(3 + 2i) arctan十兀一arctan壬_

8、3一2Z3_ _ ji _ 7r1 + (34)(2/3)xTK =T3=arctan1 -&i2解由乘幕公式知T(4) J-2 + 2i.G)3托.*-A7T ! -g-+ i sin3.石j =i.解因丨-2 + 2i| = 8,arg(2 + 2i)=孑心所以由开方公式知v - 2T21 = v8f cos- + 1 sm* 茁 I,k 0,1,2,3*1-10解方程:z3+ 1 = 0r解方程小十1二0,即P =_ 1,它的解是2 = (- 1)3 由开方公式计算得z =1 (oosK+ i sin兀)石i sink - 0,1,2.II丄7T= oosy + 1 siny -

9、Z cos n + t sin?r = 1,=oos号 +i sin普=丄43.2 T*781 11指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界88的还是无界的?是单连通域还是多连通域？(1) 2 |z|3；解圆环，有界多连通域.田3；解 以原点为中心为半径的圆的外部，无界多连通域.(3) arg z 且IV I z | 1且! | 2;解 圆环的一部分，有界、单连域.(5)Re 1;| arg z | 0).解分三种情况4 o1为圆内.112指出满足下列各式的点z的轨迹是什么曲线夕心,1为半径的圆周.(2) z - a- z + a - Z?,其中a,b为正实常数;之一盘=Reisr一

10、b),其中ab为实常数;解 设 乂 =戈 +iy,则I(工一a) + iyl = Re(x一b + iy).即解j-Utx2- y2=T2+ 2y2,uy= 2xy,s - 2jcy.要心二 5,MV二-巧，当JI仅当工=$= 0,而叫;，知，s 宀均连续, 故fiz - z * z1仅在z - 0处可导处处不解析*(2) f(z)-，昇十i2.解 这里乩x2 y2Uj = 2m，二0冷=0】巧=2y,四 个偏导数均连续，但心=,冷=-血仅在卫=少处成立，故/(z)仅 在=，上可导处处不解析.(3) f(z) - x3- 3xy2+ i(3x2y- 护)*解 这里讥工)=P - 3刃 S讥工)

11、=3工幼- 町=3成2 - 3y2；= -6-7；V= 6工*vy= 3x2- 3yS四个偏导数均连续且叫=vyiuy=vT处处成立.故/(m)在整个复平面上处处可导，也 处处解析.(4) /(z) sin x ch + i cos x sh .解这里讥丄)=sinJ:ch y*(T,_y)二cos Jtsh y. oosJ?ch ytuy sinTsh 3/,V? =一sin jtsh 7,7/ cos x ch jy四个偏导均连续且如=色，吟=-冬处处成立，故f(r)处处可导,也处处解析.3.确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.解M二 r是有理函数，除去分母为o的点外处处解析,Z L

12、故全平面除去点z二1及运二-1的区域为f(z)的解析区域滾奇点为Z= !,/()的导数为：1212则可推岀薯=| =0#即抚=常数）故f（z）必为D中常数.(3)设f(z) = i/ + is由条件知3TS = C从而U（必y_n1十（如2-山求导得所以欝-= ，同理窮二0,即在D中捉,空为常数，故/（土） 在D中为常数.（4）设抚H 0,则u - （c-尿）/位，求导得Su _ dx一b 3y adjr dudyb3TJ一a 9*由C-R条件du _b du I 1Svb dvdxa 3yT3xa dy故比 2 必为常数，即f（z）在D中为常数”设a =0,则bv = c.知为常数，又由GR

13、条件知也必为常数，所以畑在D中为常数.5.设/&）在区域D内解析，试证（誥+ 制仏）F = 4|fQ）|2证设处）!/(d!2=化简，利用GR条件得1313* d23(u2+ v2)十y(w2十 2)c)y2+d2u ,djc2U3ydy) +d%32y 又 g 解析,则实部及虚部百均为调和函数故r/a2v d2v “apd2丄32z十屁2 )! J42十4|/(z)l2.&试证CR方程的极坐标形式为需 #黑甥二丄吨r d旷并且dO ad )证一设工=厂cos 8,y二rsin 0. OR条件;券=驴drdu3S3y齐3 Tf39利用竽=du 3u , du dy3龙dr _d

14、u a工=*丽djc乔3y卄.Su dy+鬲30匹敗3 y 3 7*十匹也3 033 Qn.ndu=cos U + sin u p, OXdyn du丄a=-rsin u齐 + 旷8S a石,-cos0話 +sin& 护，f rsin 0字 +rcos 0导，OJCJydjc_3xOxJ鳥;霁比较、和即得3uL如drdv 1 duI I r dd9 r 0旷1414(3u n13u珂芥OOS&-7丽=3 0僚+i韵3u * dv乔十】乔丿r.Jvi如+3r3 u乔证二令霉故盘=9 p3x 八丄a a力.sin u I十 芥oos u -丽sin 0 sin9(3u1. ?7?、

15、一(丽 I 丽丿sin 0( dv ,du fr芥+乔(cos 0 i sin d)3_v _ . u_ 丽_ 而丿T/() - f(reiG) = u + iv,心).八券+哼，.91?2 2yu X _y*D =宀5Wqd2U石=*、加-2亟3y7 -试证解析函数.证因7都是调和函数，但不是勺护M2yt寿十- 2 + (- 2)-QX2- y1是调利函数又_ - 2础F +护=-2,则dv则骋+djc_ 上2 + *2 _ 2(工2+外2。尹0,故一伯如土也3u3x dy 3ya2V _ _ 2_卫十6工幼疳=T2- V2a2(X2+ 02_ _2乎36,y y2_(工丄 +y2)2（宀计

16、2是调和函数.+ y2) 2xyi * 12:( 1 i) + Ci二(1 i)z(j：2 y2 2xyi)十Ci =(1 - i) z*十Ci.(2)e = 2ry +3T;解因屠=2y + 3. - 2x,由f(N)解析，有3 LLgf転=西=2小M = 2xdx = F十(v)f(z)=卡C+i(2p + 3f所以0。)二-2y-3,则0()=_八3+C故1616(3) - 2(x - 1),/(2) - it解 因警=2y9號=2(工-1),由/(z)的解析性，有 驴=_导1),ox Jyrv 2(JC1 )djc (工一l)2 + 0(y),又器二薯二2*而强=中 3、所以y) -

17、2y,0(y)=十C,则V = (T 1)2+C,故fz) =2(JC一1)y十i(一(x - I)2+护 +C),由/(2)二i得/(2) = i( - 1 + C) =-出C = 0. BPf(z) =2(広I )y十x2+ 2工1)i( z2+ 2z - 1) = - i(z 1 )2.(4)u e(xcos y 3?sin y)f(0) = 0.解因薯=e丁 (工cos y一ysin y) + ecos y.石=(一工sin y - sin y - ycos y),由f(室)的解析性，有_d_u3yU(xeos y - 3/sin y)+ ecos y.J(0,0)Odx + I (x

18、cos y - jsin y) + excos + C3；Ji? _石=石=( J：sin y sin y ycos y)-需吐+薯旳+Cfy _.1717二esin y - ecofi y + C、 故f(J = efxcos y y或n y) + ieJ(7：sin y - ycos y) + iC+由/(0) = 0知C = 0,即f(z) = eJ(jroofi y - ysin y) + ietxsin y一ycos y) = zez.10.设卍=esiny,求p的值使芒为凋和函数，并求出解析函数 /(Z-) =U+ IV.解 要使讥sy)为调和函数，则有 X -= 0即pesin

19、y esin y =0*所以p二1时 e 为调和函数，要使只刃解析则有给=hWa u(xty)二=Jecos ydx = -ecos y十0(y) *所以=Y/(cos y + i sin y) + C = b + C,P = 1 *一e_x(cos y + i sin 3?) + C = - e1+ C, p11-证明:一对共擁调和函数的乘积仍为调和函数.证朋 设&是强的共純调和函数， 令只辽)-盘十则只刃是 解析函数f2z)= f(z)rfz) = (w + iv)2= (u2- v2) + 12wv也 是解析函数，故其虚部2畑是调和函数，从而UP是调和函数.12.如果fz)=黠

20、4 论是一解析函数，试证：7()也是解析函 数.oycos ydy +cos ydy + C o/-esin y.xsin y -3sin 3/d y +esin y十/(y)即u(xy) = peaces3/ + C,故1 /( Z)= Tf iudy _ dtc _ 3(黠)3y dx3 j：即-琳与空满足GR条件,故iyd)也是解析函数.13.试解方程：h 二1 +/3i;1 +73i - 2(cos号 +i sin y ) 2卜 -少24i(2M+爭，直=0, 1, 2,z = In 2 4- j(2虹十者),k - 1 2.解由题设知tan二1,疋二以一于为整数.14.求下列各式的值

21、.(1) cos i;解如二丝产(2) Ln(-3 + 4i)；1818证因/(幻解析，则-U也可微，而du _ 3y9JF篦診且均可微，从而dy(2)In z = y;fi兀丄+7：z Gt cos 2 + i sin =L,sin z = i sh 1；sin = i sh 1 = i( i)sin i = sinI兀一iM为整数.解-1)另解.见本节例24”in i*所以工=2ir + i或解Ln(- 3 + 4i) = In 5 + iArg(- 3 + 4i) =In 5 + i+K arctan申).(3) (1 - D J解(1 - i)ki =e(lH)Li(l-i)=(l+i

22、)lo/2+i(-+2iTt)ln/24-扌-2F?r+i Li/2 +-2jfeir- j cos( Ind -芳+i sin( InV5于)eW2+5-21919(4) 33 + i cossh y= cos工Cos Z2一sin zisin器2；(3)sin2s: + cos2sr = I;证利用复数变量正弦函数和余弦函数的定义直接计算得2-2)+ 土(尹 + +2)=_+ 丄+e= sin2+ sh2.(4)sin 2 2sinNOOKar;证r (沪一(小+L)二凸1即零 8&M 乙 r4i寺(疋山 +1 1 e-21)寺(/口 e_2,=) sin 2r.(5) |sin

23、zi2= sin2x+ 吕h*，；证fsin z 2 sin z * sin z = sin z sin z一eiT由一e2i2i”皂 gi(j+ij/) I_ 皂-北工-计-4e2ijre2v+ e_2ix2020(6)sin兀2 z因3in( ziX2) = sin Xjcos苹2 cos jsin sin(号z证明：sh2JZ= 1； 7T=sin -cos z cos-sin z cos z -16.(1) ch25：e1 _ix)-2“一2 + 2 4 e_2ych咳-sh很=；5 (2) ch 2z sh2z +ch2z;证:+ ch20 + e21爼4_ 2亠E十十严十244 +

24、 丁力=ch 2z,円2(3) th(您+ 7ti)=ih乞；证th(sr十ri)孑皿-Jm_ 兰+诂 +e_z_7U_z+2m- zrWe ee - e=th塔电卄血十寸_e+ e_i(4) sh(十2)二sh z(ch + ch tish沁七2勺卜升二茁立厂勺+疋厂&4sh Zch Z2 + ch jsh17.证明：ch z的反函数Arcch z - n(z + V z2- 1).证设龙二di切，且 =Arcch 5：、由- ch w=寺(严+严)知2艺=屮十严,eJ- e22十牡 y2尹+尹_24已十亡一触十242121=ch(zi十北2)ch zjsh Z2亡&十匚一匀

25、即- 2zew十1二解方程得二工土J2二，故w二ln( z + V z2- 1).注:丿二！含有士两根.1&由于kiN为多值函数，指出下列错误，(1) Ln s2= 2Ln z.解因Ln = In 1 212+ i(25 + 24ir) k 0,士1* 2,而2Ln z二2 in |乂 | +i( 0 + 2虹)ln |2+ i(25 + 4尿)rk 0, lt两者的实部相同而虚部的可取值不完全相同.(2) Ln 1 = Ln - Ln z - Ln z - 0解Ln 1 = In 1 + i(0 + 2kit)=2知i, k = 0, 11 21-,即Lnl = 0仅当艮=Q时成立.

26、注：Ln(z!* 牝)=Ln + Ln及Ln石=Ln - Ln s2两个 等式的理解应是:对于它们左边的多值函数的任一值，一定有右边两多 值函数的各一值与它对应,使得有关等式成立;反过来也一样.19,试问:在复数域中(厂与少一定相等吗？解不一定，如：a = l + i,b R 2fc = yt= 1 + i9(ab)c= /2i*20.下列命题是否成立？(D? - e解成立，因ez= ej4l;y= efcos y + i siny) = (cas y - i siny)Xz) = p为多项式h2222解不一定级如p(z) - (a + ib)zy- (a - ib)zp(z)二a + bz.

27、(3) sin 5 = sin成立個r Jzne亡sin z -乙Ln疋=Ln2323Ln z = In | + i(0 + 2b兀刃=ln| z - i(tf + 2M),Ln z = In| z | + i(- & + 2kn) =ln| ? | - i(tf + 2航),=0, 1土2*.=0, + 1, 2/s解成立.1计算积分J；(工-了)+积分路径( (1自原点至1十i的直线段M2)自原点沿实轴至1，再由1铅宜向上至1 + i;(3)自原点沿 虚轴至b再由i沿水平方向向右至1十L尢计算积分帚看吐的值，其中 Q 为冷| =2;(2)|! = 4.解令宕弓 7豊则2424kJ1

28、+i10*|Xo 1.J-切叫+12厂=2时，为4m当r = 4时，为8m.证C：w = l十iy = l + i tan 6 -& 0-心Icos2#第3軀4.试用观察法确怎卜列积分的值说明理由，匚为|创=1.解积分值为0,因被积函数在41 W 1内解析.r 1(2)。血.JQ COS Z解积分值为0,理由同上.“ 1(3)0 - 1,分别作以0,1为中心的圆周GGG与G不相交侧*dz=。一dz - $ dz孑Jcw 1 Jew解f(z)7*计算解解法同上题,=2m - 2iri = 0*=3 (z - i)(z + 2产,%7- dz = 0,J 11 j =3 (x -)( t

29、+ 2)8.计算下列积分值.TCI sin zdz,Qsin zdz = - cos z(1)Jo1+iz dz.ni=1 - cos m.0JiTl + iz誉= (se4e1)I(3)(3孑 +2z)dz.丿o*iOe1十2z)dz = (3e* + z2)ie,+io=3el- 1 - 3 = 3e - 4.=2的右半周，走向为从通域,例如D：Re sfI z | 2626一个原函数-丄，则5K11.计算I二匕(1)14 1;1上2存1右一2)虛中C是(2)1 - 2| = 1;(3) | z:- 1i = y;(4) |定I = 3”27273i44 I3i3=2 nie2.z = 2

30、原式=2ffi(22- z + 1)=4疝.由于点在圆周4-i二在闭圆盘II上为解析， 故-3i10.计算下列积分.解土血=2品解将被积函数分解因式得到1 =1内部,而函数亠工十 m=C)1z + e4解(1)被积函数在|s| 1内仅有一个奇点瓷=-y,故M2T 2零2乂+ 11- dzC疋_ 2?ri , 4 m .二呂十眉其中G为二1心为-21=1.12,若/(刃是区域G内的非常数解析函数，且f(在G内无零 点，则f(z)不能在G内取到它的最小模.证 设(乞)二f(z)HO,则gz为非常数解析函数,所以菖(幻在G内不能取得最 大模，即*幻不能在G内取得最小模13,计算下列积分-弭2828Z

31、z 21.12(迟亠2)(2)被积函数在“ -21盂1内仅有奇点寛=2,故2x + 1 内_ 业ZTTI0JcTti丄亠5 2=OJc z4兀i =2=TT27T1(3)被积函数在“-1 V*内处处解析，故f =0,(4)被积函数在kl0,故发飙斤fOOfJ-*883.试证级数Y（2川当|2|时绝对收敛* 证 当I I y时，令|z|=r*,二oos 2nd + i sin 2n63131(2W)T= 2八I J” 1,I(2N严 | =(2r)n故农=丄（3） im I仓+I = lir桂亠II棺亠故K = 8.5.将下列各函数展开为工的需级数*并指出其收敛区域.宅(n +1)!一=0.（2

32、）a-“）a 占）（心0工 53)(1 +解占(4)ch s；(5)sin2j(6-1,1 （一0）=g（F原点到所有奇点的距离竄小值为匕故Ul 1.1f蕊 62)( 0)(2；-占)a b丄亠b uXL話一詁zI =0ff=1=三(-11心-SUl1(2)!(2Q!I zl 8.33333)(1 4- z2)2丄2宜*sa2 = Tyf(八 =Q 春冷)+ & _1)3 & _ 1)：= 1 - 2j - jy-+因为1为 g 的唯二寄点1原点到1的距离为 X 故收敛半径R 1.6.证明对任意的 s 有二SJz|+所以1 1沐1n !tTJ1又因为;所以|ez- l|e!z|

33、-U |求下列函数在指定点细处的泰勒展式.賀=1;z(3) -小4 -3才解吉2?3434幻-W 牛“1也垃上虫厂(0)= 12和+斗1十*十7 n !+2!(1 +2!kM 黑|(1 +丨+右丨盅|“T +)(2)sin宜，龙 =1；(4)tan, o = 4.一站)一加HOG一工()” n(z-l)nFl 1g=工(一1尸(起+la-l)“，|z- 1 ci.H=：0(2)sirt z sin(容-1 + 1)=sin(s一l)cos 1 + sin lcos(疋-1)&一1)2小(-1严1 J1=D83评S(i-3i)fl+1Uzr,/2tnz（it 小（一別口刃二為；，f（孑）

34、=2.2 f (z) * cos2g 2/(z)2cos sin zoos z3i3仏-仃十Dl(4)令f(器)=tanzf/(XQ)= Lcog? + siDzcoszz/IQ3=叫CDS Z I/(i)=2-肆_1尸m= 0Q$1S S + l)!+ z 彳仏-1丹(-1尸+ 叫(2n)!_1_ =_1_4一3( z-ZQ)- 3宕o 1 3i3(x -ZQ)1 亠3i丄f _、1 _ 3i，艺)-HR |占3535cos勺龙TC78-将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数.(2) t2elzS0 kl oo；4(4) cosp.O -1 01 i北解(1)0 时，(w)cos n + 4

35、 f(宅)sin wtan衷-1 + 2&于）十2&于尸十号卜z2- 2z + 5a二2)&+j)| 2;-1-11-He e2 2Z Z(2(2ho1Z1,1十21+2一以1丿m*1_F十7OOXr二1+8Sn =7373M-2 2-IX-IX 1 12-2-16,4 *zT)二i(1_rr)=n n3636=-左奔R+ 丈-1)小72 1 z2.ft =0上M(4)G | 迄一11 8 时，_TLL 1i el_ar+ ei_tcos v1 r29将fz)= 亍三在立尸1处展开洛朗级数.N SZ十Z解 心)=( (Z - 2Xz - 1) = Z 2 _土r十(小的

36、奇点为 矶=1,苍=2/(#)在0V|工一1|1解析.当0 丨 W -li 1时,0fU)=72 bZ - 11z -_一工-1*=s( (H=o v10将门丄在在空二i的去心邻域内展开成洛朗级数.(/ + 1)解f(J的孤立奇点为士if(z)在最大的去心邻域0 s -i| 2內解析.当0 |-i|w二卜1严=139391问空=0是否为下列函数的挺立奇点？(1 )e1/z；(2)oot丄琴*zsm z解(l)e1在0丨 s 解析，在= 0处不解析- 0是e1/F的孤立奇点(2)因cot =壽脇，在土 =肚处，即怨=(k=1,2*)，乂= 0处cot丄不解析，且iim缺=0*故0不为cos丄的孤

37、立奇zz点.(3)因亠除零二仏二0,1,2,外处处解析，所以0为sin z其孤立奇点2.找岀下列各函数的所有零点，并指明其阶数.9；(2)sin 5T；(3)z2(ez一1).解(1)今9 =(器十玄4乂一空),显然士二玉为其一阶零点.zz因所以# =0为rsin z的二阶零点.又x = iff时，疋曲n 2 = 0,所以z kit为zsin z的零点，左= 1, 2,*令于(黑)=疋sin zfkz) = sin z + zees z,f(址兀)=sin + woos z L=洽=(1 1)左TT工G k = 1r 2,)，故z= 4TT为zsin z的一阶零点.令/() =由 g =0可解

38、得 = 0或z2=心即疋=/ 2 Tti (k二1, 2,).因f(z) - 1) = z2z2 +ff+WR=0(-1)咗小(2n + !)!4040所以 W =0为只辽)的四阶零点収/(z) 2芒(討-1) + Z22容詰,/(TWu) = 2 ( /2kni)3工0(占二 1, 2,)， 所以北=J 2血(k = 1,2,)为f(z)的一阶零点.3.下列各函数有哪些奇点？各属何类型(如是极点，指岀它的阶 数h12(eT- 1) tan( w - 1)z 1解令心 J；戸0，五为心的奇点,zf(z)=-壽，所以芒=0为简单极点又所以乂二2i为二阶极点,同理山=-2i亦为二阶极点.因辱2宁二

39、忸誓“所以为二阶极鼠令则/&)的零点为z=加一于4 = 0, 1, 2,，因(1)(3)-sin z + cos z右Ilim(r 2i)2L2Iz 琴(十4尸= limir*2iz - 1z(z +2i)2i + 2321一sin z + cos z72sin( z+ 于)十于)工+于二J2oos(丸4141二厲(-1)0,所以武=&一于O = 0,土1,*)都为简单极点. 令fx =e-Y由=占*_6则呛的零点为z 2rifA 0,土112i*p.因令fR) =烹),工=0为其孤立奇点因AFlirnf (z) = lim - = 1,LHJ雷7Q 1十空所以X = 0为可去

40、奇点*(6)令二0为其可去奇点又所以 h =2ki6(k = 1, 2,)为/()的一阶零点，即为/(乞)的简4242_ 丈(h -I)/() 一z - eT+ 1=0为点的三阶零点，故为fz)的三阶极点又/(呛)L*=(2zX - 1) +/胡冲叶H0,故Z = 2忑希为由的一阶零点，即为f(z)的简单极点.鼻=0和2kv:(k - 1 2)为其孤立奇点因忸川=叫-IF=忸莎7吕龙_（文一- 1）y（）的孤立奇点为z = 1和$ =虹+号+1。=0, 1,土2,）* 因故Z=1为其可去奇点,又荻二虹+于+1,勺为cos（s - 1）的一阶零点，故为f（z）的简 单极点.1_（事 一1）36（

41、黑二I）只土）sin（z - 1）而（于（；）占*利工0,故获=AK+ y + 1 f（z）的简单极嵐4,证明:设函数八北）在0 |-|5（031 g（z）=（工PO）W）,0（Z）在北0解析冷（疋0）H 0,1鼻1.因而吧册趣（厂給_ y拠（h列尸7$（壬）+ （空一勺严讨（勺）*0 o）_10（s） + （s 苟）（w（j）= lim-6 -和）嚅斗干旳n0（切当皿=H时，（1）式=於;警=（2）式， 当m n时，（1）式二（2）式=0,当wt l时解析，故 8 是其孤立奇点且lim严=0,故 8 为可去孤立奇点L8 1 + g + N（2）的孤立奇点为zk- 2kni9k = 0, 1,

42、 2,，由于e 1Km2&ni =001B故 K 不是其孤立奇点.7求出下列函数的在孤立奇点处的留数”z（4）2sin ;QO品;耗-艺- 2)2+1厂一;4545解（1）令/Q）=三二L孤立奇点仅有,0 - limy（2r） = limfe1- 1） - 0-（2）z - 2为简单极点二土i为二阶极点.ResyQ) ,2 = lim(z - 2) 7仃2.L 工( + 1)vz7128 Res/(s)fiJ lim|i*-i(z 2)(z十i)2/1. 7,(富 一2)(落+ 1) - z7z + 2 +lim 立十12 + i(2 2)2(z + i)32 - i10同理可计算- i-(3)z二1为其三阶极点.Resfytz),一1=寺lim(sin 2zY =吉(-4sin 2z)=2sin 2丹卍=(占-応+走-)一 N 一丄+丄一7 3!Z5!Res/(),0 =_ 書-的孤立奇点为龙=0皿上兀(山- 1, 2#D sin zz三0为二阶极点，这是由于=一1zsin zz釜+T弓走？呛在“处解析且希z24646-4)）其中，2 112* ;-迄sinzJi- sin r JCCOSz=um - - 5-厂却sin2sinNCOSz二42,）为简单极