(整理)概率论试题库

1、考试试卷分布说明：试卷共四个大题：选择题、填空题、判断题和解答题，共22个 小 题。其中：选择题共5个小题（4个基础题，1个能力题），每小题4分，共20分； 填空题共6个（5个基础题，1个能力题），每小题4分，共24分；判断题共6个（5 个基础题，1个能力题），每小题2分，共12分；解答题共5个（3个基础题，1个 能力题J个提高题），3个基础题每小题8分，能力题和提高题各10,共44分。满足: 基础题：能力题：提高题=7:2:1。一、选择题40小题。（每小题4分，共5小题，共20分）1、从四个乒乓球种子选手中选两个人代表学校出去比赛，在比赛前采用每两个人都 对决的选拔赛，则选拔赛共要举行的场数

2、为（A ）A、 6B、 30C、 4D、 32、下列不属于抽样调查的特点的是（D ）A、经济性 B、时效性C、广泛性 D、客观性3、书架上一共有3本英文书，2本法文书，5本中文书，从中任取一本，则取得的书是 外文书的概率（A ）A、B、0.1C、D、4、设某种电灯泡的寿命X服从正态分布N（，b'）,其中是未知的，现在随机的抽取4 只这种灯泡，测得其寿命为1500, 1455, 1368, 1649,是估计总体均值为（C ）A、 1500B、 1649C、 1493D、 13685、某人从A地到B地要经过两个有红、黄、绿灯的交通路口，则他一路是碰绿灯的概 率是（C ）6、下列表格是某随机

3、变量的分布列：则表中a的取值是（C）-2-1012345PaA、B、C、D、7、小明打开收音机，想听电台报时（1小时报一次时），则他等待的时间小于1刻钟的 概率是（A ）A、B、C、D、 8、随机变量，N（20, 25）,则随机变量W的标准差是（ D ）A、 20B、 25C、 45D、 59、甲、乙两人向同一目标射击，甲命中的概率为，乙命中的概率为，则目标被击中的 概率为（B ）A、B、0.88C、D、10、设事件4与8互不相容，且P（A）W0, P（8）WO,则下面结论正确的是（D ）A、不与豆互不相容；B、P（B|A）>0；C、P（AB）=尸（A）P（B）;D、P（AB）=P（A）

4、11、书架上一共有3本英文书，2本法文书，5本中文书，从中任取一本，则取得的书 是外文书的概率（A ）A、B、0.1C、D、12、甲、乙两人向同一目标射击，甲命中的概率为，乙命中的概率为，则目标被两人都 击中的概率为（D ）A、B、C、D、13、某人从甲地到乙地要经过三个有红、绿灯的交通路口，则他一路是碰绿灯的概率是（C ）A、一B、-C D s -428314、从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字组成一个不重复的3位数，其各位数 字之和为6的概率为（D ）15、设A、B、C为三个事件，则A、B、C至少发生一个的事件应该表示为（B ）A、ABCB、AUBUCC、ABCD、ABC16、2

5、为二维随机变量（1、n ）的两个分量，与n的相关系数，则W、n以概率1线 性相关的充要条件是（d ）A、|p|=0B、p =-1C、p-1D、p = ±17、每次试验成功的概率是p （0<p<l），重复进行试验直到第n次才取得“1 </<）次 成功的概率是（A ）B、UReP/c、p'(l-PD、cZp'-pY18、设胡艮从N (0,1)分布,且=站+4则£>()=( D )A、a-b B、a+b C、aD、a219、设A、B、C为三个事件，则A、B、C至少发生两个的事件应该表示为(A )A、ABUACUBC B、ABUACUB

6、CUABC C、ABC D、AUBUC20、某随机变量,服从参数为10的普哇松分布，则其数学期望是(B )A、 1B、 10C、 0D、 10021、若函数f (x)是某一随机变量X的概率密度，则一定成立的是(C )A、f (x)的定义域为0, 1;B、f (x)的值域为0, 1;C、f (x)非负；D、f (x)在(-8, +oo)内连续22、设随机变量;N"/,。:)，则下列各式中服从N(0,l)的是( A )5一g-bg-i“oa、-b、-c、-d> -bb23、设;与n为两个随机变量，则下列各式一定正确的是(C )A、。q+ )=。信)+。)B、D(舁7)= D(g)D

7、(")C、成4+)=石©) + 石()d、Ei) = E(MES)24、设随机变量的;的分布律是:-2-1012P5025151 5则n = 2 2的分布律是(D )A、n = 241014P502551 5B、n = 241014p12502425I 25125n = ”014p251 525c、n = ”014212P555D、25、将3个不同的球随机地放入4个不同的杯中，有一个杯子放入2个球的概率是(B ).A、43B、43C、34D、3426、下列函数中，可看作某一随机变量X的概率分布密度函数的是(C)A、/(%) = 1 + 尸,<x< +oo;B、f

8、W = -oo < X < +oo；1+JCC、 1f(x)=<X<+O0；4(1+ 厂)D、2/ M =T-,-oO <X<+oO.乃(1 + X )27、己知随机变量相互独立且都服从正态分布N(2,4),则(B ).A、X + hN(4,4)B、X + hN(4,8)C、XyN(0,4)D、X-V不服从正态分布28、己知随机变量X服从二项分布8(10,0.2),则方差£>(X)= ( D ).A、1；B、；C、；29、如果x,y满足o(x + y)= o(x-y),则必有(a、 x与丫独立b、x与丫不相关c、D(Y) = 0 D、

9、3;)(X) = 030、对于事件A和8,下述命题正确的是(B ) (A)如果A与8互不相容，则A与8相互对立 (B)如果A与8相互对立，则A与8互不相容(C)如果a与8相互独立，则A与3互不相容 (D)如果A与B互不相容，则A与8相互独立31、若P (B|A) =0,则下列命题中正确的是(B )(A) BUA(B) AB=0)(C) A<=B(D) A-B=32、相互独立且都服从正态分布八,(1,于)，则。(24-)=(c )(A) -8(B)9(C) 45(D)60(以下是能力题)33、某商家生产甲、乙、丙三种不同型号的商品，产品数量之比为3： 4： 7,现在分层 抽样法抽取一个容量

10、为n的样本，其中样本中乙种型号商品有24件，则此样本容量n 为(C )A、 160B、 80C、 84D、 96x34、连续型随机变量，的密度函数为p(x)=则O Q)为(D )、0,xe0,21 312A、一B、C> D、一2 1020935、连续型随机变量1的密度函数为p(x) = F"则。(/为(c )0,x0,l1 311A、一B、C、D、一2 1020436、离散型随机变量X的分布函数为F(x),则P(X=x0=( D )A、尸(XjKXWx*)；B、尸(飞)一%)；C P(x, <X < xM) ；D F(xk) - Fxk_)37、设某机器产生的产品有

11、缺陷的概率为，则20件产品之中至少有1件有缺陷的概率 为(A )A、B、0.1C、D、38、设样本空间 U=1, 2, 3,，10, A=2, 3, 4, B=3A5,C=5, 6, 7,则 A(BuC) 表示的集合是()A、3, 4 B、1, 3, 8, 9 C、4, 5 D、1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 1039、5、己知随机变量X的期望E(X) = 方差。(X) = 4,则(a )B、P|X-D、PX8 - 9<- 6) < ¥8 - 9<-U6>-40、一盒产品中有只正品，力只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率A、B、 （aT）、

12、（+ /?）（+人-1）二、填空题填空题48小题。(每小题4分,共6小题，24分)1、设一个容量为7的样本是:2, 11, 8, 4,3, 6, 15,则样本中的中位数是2、将一枚硬币均匀投掷三次,则三次中恰好出现两次正面向上的概率为3。83、若事件A、B相互独立，且P (A) =, P(B)=,则P(A+B)=。4、设随机变量，则n=三EN (0, 1) o (75、设随机变量X服从二项分布B(100则其数学期望E(X)=406、随机变量Q的数学期望E ( )=4,方差D" )=20,则E"勺=24。7、设随机变量、n的数学期望分别是e ( ) =3, E(n )=5,则

13、e(2 c+3n)= 21。8、已知<!)=,设随机变量，服从N,16),则P(Z<340)= _，若随机变量n服从N(l, 2),则p(n<i)=09、将一枚硬币均匀投掷四次，则四次中恰好出现两次正面向上的概率为2。8_M 设 0(X) = 4,O(y) = l,R(X, 丫) =。.6,则 B = AiB + A2B + AiB_。11、设二维随机变量(x，y)的分布列为:12、设A、B 是随机事件，p(A)= 0.7,尸(A-8)=0.3,则尸(A8)= _。13、已知随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,且随机变量Z = 2X-2,则E(Z)=2 o14

14、、设A与8为互不相容的两个事件，P(B)> 0 ,则尸(Al 8) =0。15、事件 A 与 8 相互独立，p(A) = 0.4, P(A += 0.7,则 P(B)=。416、某人投篮命中率为?，直到投中为止，所用投球数为4的概率为运。17、设随机变量X与丫相互独立，X服从“0一1”分布，=。-4； y服从4 = 2的泊松分布P(2),则E(X + y)= , D(X + r)=o18、已知。(*) = 16,£>(/)=9,。“=,，则 °(X-2Y)=36。19、若X 且X与丫相互独立，则工=乂+丫服从N(M+2，b：+b；)分布。20、3人独立编写同一计

15、算机程序，他们各自能成功的概率分别是,，则能将此程序编 写成功的概率是_。21、X、Y相互独立且都服从正态分布N(3,2)，则D(2X-Y)=2P。22、设随机变量X与y相互独立，X服从二项分布8(5,06), Y服从二项分布 N(，bb，且 E(X + y)= 6,O(X-y)= 1.36,则 = 1； cr= Vo?76 o23、设随机变量X的分布列为-2-1012Xa则。=，X的期望E(x)= o24、离散型随机变量1的分布律为P(W=k)=：M = l,2,3,则c= 36/49。k-25、从总体X中抽取样本，得到5个样本值为5、2、3、4、1。则该总体平均数的矩估 计值是 5,总体方

16、差的矩估计是 15/2。26、设随机变量X服从参数为一匚的指数分布，则E(X)=1000 o 100027、若 D(X)=49,D(Y)=16, X 与 Y 的相关系数为，则 cov (X, Y) =14。28、设A、B、C为事件，则事件A、B、C同时不发生表示为 ABC o (用事件运算表示)29、已知随机变量X期望值为2,方差为8,则E(X2)=一。30、(X,Y)为二维随机变量，如果X与Y不相关，E(X)=2, E(Y)=25,则E(XY)= 50 。31、已知随机变量X服从二项分布b(n, p), E(X)=12, D(X)=8,则n= 36 。32、若 D(X)=36,D(Y)=49

17、,cov (X, Y) =21,则 X 与 Y 的相关系数为。33、飞机的雷达发射管的寿命X (单位：小时)服从参数为一的指数分布，则 200D(X)=40000.34、随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为。35、已知 P(4)=,P(8|4)=,则 P/ B)= o36、3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑 的概率为。36、一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33,O(X)=4, 10个这种动物的平均体重记 作匕则D(y)=。37、假设 X B(5,(二项分布),YN(2, 36),则 E(X+Y)=。38、三

18、个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是，则飞机被击中的概率 为。39、甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是和.先由甲射击，若甲未射 中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为。r1740、离散型随机变量，的分布律为P(，=k)=上水= 1,23，则c="。2k11(以下是能力题)41、在中国象棋的棋盘上任意的放上一只红“车”和一只黑“车”，则它们正好可以互相“吃掉”的概率是 8942、 设 d(x)=4,n(r)=i,/?(%, 4)=o.6,则 D(x-y)=_o43、 43、设离散型随机变量X的分布函数为尸(x)=。,一1 < X

19、 < 124 x < 23a + b,x > 2且 P(X=2) = 1 ,则 4 = 1 / 26644、设两个事件4、8相互独立，P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 ,则尸(A 8)=,P(A B) = o45、加工一个产品要经过3道工序，第一、二、三工序不出废品的概率分别为，假 定各工序是否出废品是相互独立的，则经过3道工序而不出废品的概率为。46、设随机变量X服从正态分布N(3,4，P(X>c);P(X Kc),那么常数c=3.47、A,B为两个随机事件，若P(A)=, P(B)=,若A,B互不相容，则P(A-B)=_,P(Xc月)=o48、设某人射击

20、的命中率为，则他射击10次至少命中2次的概率为：l-0.510-5x0.59 ； 三、判断题，对的打“ J ”，错的打“ x ” 48小题。（每小题2分，共12分）1、”将一只白球一只黑球随机地放入4个不同的盒子里”是古典概型。（J ）2、“某射击手一次射击命中的环数”是儿何概型。（X ）3、在十进制中，2+5=7是必然事件。（V ）4、在常温下，铁熔化是不可能事件。（X ）5、必然事件U的概率不是1。（ X ）6、两个边际分布都是一维正态分布的二维随机变量，则它们的联合分布是一个二维正态分布。（X ）7、二维随机变量（；、n ）N（l,2,32,52, 2）的 Cov «、n ）为

21、 30。（ V ） 8、两个随机变量；、n是独立的，它们分别服从参数4、%的泊松分布，则分布4=+ 服从参数为4+%的泊松分布。（V ）9、2008年8月8日奥运会在北京举行是必然事件U。（ V ）10、函数p（x）=-2x（x<0）是某个随机变量的密度函数。（X ）11、在六十进制中，2+5=7是必然事件。（X ）12、若随机事件A、B相互独立，则事件A、B互斥。（X ）13、事件A的概率P （A）等于0,事件A也有可能发生。（V ）14、X函数的期望值等于X期望的函数。（X ）15、若随机事件A、B相互独立，则事件X与B也相互独立。 （J ）16、事件的概率与试验的先后次序无关。（X

22、 ）17、若事件XI的相关系数分.=0,则相互独立。（X ）18、估计量/ = %xg-1）?是总体方差的无偏估计量。（X ）19、如果二元随机变量（X, Y）有D（XY）=D（X+Y）,贝”与Y不相关。（J ）20、随机变量X服从泊松分布时，则必有E（X） = O（X）。（ V ）21、两事件A、B若满足P（AB）=P（A）P（B）,则称A、B独立。（V ）22、两事件A、B若满足P（A+B）=P（A）+P（B）,则称A、B独立。（X ）23、独立事件的任一部分也独立。（J ）24、小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件。（V ）25、古典概型与儿何概型的相同之处是两者基本事件

23、发生的可能性都是相等的。（V ）26、古典概型与几何概型的不同之处是古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求 基本事件有无限多个。（V ）27、公车5分钟一趟，求等待时间不超过3分钟的概率。（J ）28、在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发 现草履虫的概率是。（J ）29、一批玉米种子的发芽率为，从中任取4粒种子做试验，求恰好有两粒种子发芽的概率, 这是可以看着是一个贝努里概型。（V ）30、随机变量（X,Y）服从二维正太分布，则X的边际分布为正态分布，Y的边际分布也 为正态分布。（V ）31、随机变量的分布函数与特征函数相互唯一确定。（V ）32、

24、两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于他们的特征函数之和。（义）33、为任意二随机事件，则 P（AUB）=P（A）+P（B）o （ X ）34、设X为随机变量，a、b是不为零的常数，则。（X ）35、设X、Y是随机变量，X与Y不相关的充分必要条件是X与Y的协方差等于0。（V ）36、设A、B、C为三事件，若满足：三事件两两独立，则三事件A、B、C相互独立。（X ）37、任意连续型随机变量均有方差存在。（义）38、事件“ABC表示三事件A、B、C至少有一个发生。（X ）39、设随机变量石信） = 3,。信）=1.2,则n为5。（ V ）40、假设事件4与事件8互为对立，则事件4 8发生的概率为

25、1。（X ）（以下是能力题）41、若，、n是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为和；的普哇松分布，则随机变量的分布列为P< = k）/刀。（V ）k42、已知甲型H1N1流感的发病率为一匚，某中学校园内共有5000师生，则该校园内1000患有这种疾病的人数超过5的概率大约为。（V ）43、事件表达式4 8的意思是事件A与事件8至少有一件发生（V ）44、已知随机变量 X,y 相互独立，XN（2,4）,yN（ 2,1）,则 X+yU（2,4） o （ X ）45、已知随机变量X,y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2+P服从自由度为2的2分布。 （J ）/（A-） = -346、设连续

26、型随机变量，的概率分布密度为X-+2X + 2 ,a为常数，则P（ W 0）=-o4（V ）47、设随机变量X N（10,o2）,且pIOvX <20 = 0.3,则尸0<Xv20 =。（ V ）48、设随机变量X/（）（ >1）, 丫 =上，则 丫 F （n,l） o （ V ）X-四、解答题。（写出详细过程，不能直接写出答案。）（124小题每题8分）1、某射击手一次射中10环的概率为，射中9环的概率为，射中8环的概率为，求这位 射手：（1） 一次射击至少射中9的概率；（2） 一次射击至少中8环的概率。（8分）解：（1） += （4 分）（2） += （8 分）答：此处略。

27、2、从5男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量，表示所选的3人中女 生的人数。（8分）（1）球，的分布列；（2）求&的数学期望;（3）求“选3人中女生人数 <1”的概率。解：1）、J可能取的值为0, 1, 2。（1分）ci -（3 分）P(& = k) = 2 J ,左=0, 1, 2o 06所以，J的分布列为:4012P153515（2）、由（1）,的数学期望为:画出图形，阴影部分满足条件（4分）（分），（3）、由（1）, “所选3人中女生人数441 ”的概率为:4p（g < 1）= p记=0）+ p隹=1）= - （8 分）答：此处略。3、已知 A与8

28、 相互独立/（A）=。6 P（B） = 0,4,求 P（A U B）,及尸(A-8)。3分)解：PA U 8)=尸(A) + P(B)-P(A)(8)=0.6 + 0.4 0.6 x 0.4 = 0.76 (4 分)P(A-B) = P(A) - P(A)P(B)=0.6 0.6 x 0.4 = 0.36 (8 分)4、小王、小张两人相约7： 00到8： 00在老地方会面，约好了先到者等候另一人20分 钟，过时方可离去，假定两个人到达相会地点的时间可在7： 00到8： 00的任一时 亥IJ,且等可能性，试求小王、小张能会面的概率。（本题8分）解：用X、y分别表示小王、小张两人到达约会地点的时间

29、则 0WxW6010yW60,（1 分）他们两人能会面的充要条件是卜一）'1420 （2分）尸（A）=C；C：5_ 30228(5 分)（8分）由图形可知P(A) °° -40_ = 26(y9答：此处略。5、在20件产品中，有15件是一等品，5件是二等品，从中任取3件，其中至少有1件是二等品的概率是多少（本题8分）解：3件产品中至少有1件是二等品包括以下三种：A1恰有1件二等品；A2恰有2件二等品；A33件都是二等品-（3分）应用古典概型公式得:尸（a）=cq=竺A r 228(4分)L20(6分)n/ 4 A A n/ 4 x n/ 4 n/ a 1053021

30、37P(A +A2 +AJ -+= 228 + 228 + 228 = 228（8 分）答：此处略。6、设连续型随机变量X的概率分布函数为0,x < 0,F（x） = < kx2, 0 < x < 1,1x>l.试求（1）常数与（2）概率P°<X<03； （3）X的概率密度函数.（8分）解：/（1-。）二尸（1），得攵=1， （2分）（4 分） P0.1<X< 0.3 = F(0.3) - F(0.1) = 0.08,（3） X的密度函数:其它,0<x<l（8分）7、现将两信息分别编码为A和3后传送出去，接收站接收时，

31、A被误收为8的概率为,3被误收为A的概率为，信息A与信息8传送的频繁程度之比为2:1,若接收站收到的信息是A,问原发信息也是4的概率是多少（本题8分）解：记人="收到信息A， 8二“发送信息A，则0(A|8) = 1-P(AB) = 1-0.02 = 0.98,2_（4分）产(乖)=0.01,尸(8) = 3 P(B) = §,由贝叶斯公式，所求概率为P(BA)=P(8)P(7 8)19697（8分）8、一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计投篮的次数，求X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：X的分布律为（3 分）（6 分） （8 分）PX=k = 0.

32、551 x0.45 % = 1,2,X取偶数的概率为PX=偶数 = 0.552t-1 X 0.45_ 0.55x0.45 _ 111-O.552 "II9、两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为，第二台出现废品的概率为， 已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求: 任意取出的零件是合格品（A）的概率。解：设Bi="取出的零件由第i台加工" = L2）Q分）（3 分），尸（乙）=:（4 分），尸（人肉）=。勿_门分），P（坐2）=。98_ "分），有全概率公式得：P（A）= P（4 ）P（A4 ） + P（层）P（A

33、|层）=2.0.97 + - 0.98 =。§73（8 分）答：此处略。10、已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。求 下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第 二次取出的是次品。（本题8分）解：（1） 一只是正品一只是次品的概率为：上卓=二（2分）Cr 7O（2）第二次才取得次品的概率为： （4分）8x7 14（3）令4表示“第一次取出的是正品” ，为表示“第一次取出的是次品“（6）B表示“第二次取出的是次品”第二次取出的是次品的概率为：P(B) = P(BI A,)P(A1) + P(BIA2)P(A2) =

34、|x1 + lx| = i(8 分)11、甲、乙两人独立地进行两次射击，假设中的命中率为，乙的命中率为，以X和丫分 别表示甲和乙的命中次数，试求：（1） X和y的联合分布律：（2） X和y的边缘分布 律。（本题8分）解：（1）x和丫的联合分布律为：P(X = w, Y = )=仁”(0.2尸(0.8产"G (0.5)"(0.5产"=m, 分别为0,1,2（4 分）（2） x和y的边缘分布律:由于x与y相互独立，所以x和y的边缘分布律为：P（X = m） = Cf （0.2尸（0.8尸,m = 0,1,2。P（P = ） = G（0.5）”（OS）2-",

35、 n = 0,1,2o （8 分）12、两台车床加工同样的零件，第1台出现不合格品的概率是，第2台出现不合格品的 概率是、两台车床加工的零件放在一起，第1台加工的零件占70%,第2台加工的零件 占30%,现随机地任取一件零件，求此件零件为不合格品的概率.（本题8分）解：记A =任取一件为第1台车床加工的零件,4=任取一件为第2台车床加工的零件,B=任取一个零件为不合格品 （2分）由全概率公式，所求概率为P（8） = P（4），（8/A）+ P（4）P（8/A2） （6 分）= 0.7x0.03+0.3x0.05（7 分）=.（8 分）13、甲、乙、丙三人参加英语四级考试，假定中、乙、丙能考试合

36、格的概率依次为、，各人能否考试合格相互独立，求下列事件的概率：（1）甲，乙合格而丙不合格；（2分）（2） 3人都不合格；（3分）（3） 3人中至少有1人合格.（3分）解：记4，A2，A3依次表示甲、乙、丙考试合格的事件，由题意，（1）所求的概率为潮（4人2不）=0.8x0.6x0.3 = 0.144; （2分）（2）所求的概率为尸（%不用）=0.2 x 0.4 x 0.3 = 0.024： （5分）（3）所求的概率为nAU&UAsXi PGAHA；）。3分）= 1-0.2x0.4x0.3 = 0.97614、随机变量X的密度函数为fW = <-x,0<x<2 20,其

37、他求：（1） E（X）； （2 分）（2） D（X）； （2 分）（3） P（-2 < X < 1） ； （2 分）（4） y = 2X 的密度函数.（2 分）笛 14解：（1） E（X）= Yx-xdx = - （2 分）Jo 23E（x2）= h；" = 2,）4 2/. D（X） = E（X"）-E（X） = 2一一 = -（4 分）11（3）尸（2vX vl）=一戊=-（6 分） （4）Jo 24凡（y） = P（y « y） = PQX < y） = P（x < !），）= px（1，）L（Ly）.L<Ly<2乙 乙乙

38、乙（8分）= ly,0<>'<40,其他0,其他15、（X,Y）的联合分布律为：X-101-101/81/81/82/81/82/8求X,Y的边缘分布律；（2分）（2）X,Y独立吗为什么（2分）X、Y是否不相关为什么（2分） （4）求Z=X+Y的分布律。（2分） 解X10X的分布律为:p35/8/8Y的分布列律为：(2) V p(X=0,Y=0)=l/8*5/8，X与Y不独(3)因为 E(X)=3/8,E (Y) =0, E (XY) =0, 即 E (XY) =E (X) E (Y),所以X, Y不相关。一一(6分)(4) X+Y的分布列为：x+Y2101P1/83

39、/82/82/8(8 分)16、设A, B是两个随机事件，尸(4) = 04 ,尸(A U 8) = 0.7,(1)若A, B互不相容，求P (B)；(2)若A, B相互独立，求P (B)；(3)若P(回A) = 0.6,求 P (B)。(本题 8 分)解：P(AJ B) = P(A) + P(B)_ P(AB)(1)、P(4U8) = PG4) + P(8) = 0.7,0(8) = 0.7 0.4 = 0.3-(2分)(2)、P(AB) = P(A)P(B)P(B) =P(AU3)-P(A)(5分)(3)、P(AB) = P(A)P(BA)挑出来，算是成功一次。求（1）某人随机地去猜，问他

40、试验成功一次的概率是多少（2） 某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试推断他是猜对的, 还是确有区分能力（设各次试验相互独立）解：（1）A= “成功一次” ，p（A） = q = -）-（3 分）70（2）设此人没有区分能力，令丫= "连续试验10次，成功的次数”则y 以10,焉），（5分） 169= 3 = C（）3（）7« 0.0003 , - （7 分）可见，猜对的概率很小，故 此人确有区分能力。（8分）21、已知随机变量X服从在区间（0,1）上的均匀分布，Y=2X+1,求V的概率密度函数。解：已知X的概率密度函数为/x（x） = L（2分）0

41、, 其匕.（5分）所以y的分布函数Fy（y）为:FY（y） = PY<y = P2X + <y = PX<- = F'x因此y的概率密度函数为/“、） =用（y）=（8 分）2' 2 '0,其它.22、设有两个口袋，甲口袋中有两个白球，一个黑球，乙口袋中有一个白球，两个黑球。 由甲口袋任取一个球放入乙口袋，再从乙口袋中取出一个球，求最后取到白球的概率。解：设A =从甲袋子中任取一球为白球B=取得白球（3分）p（b）=p（b|a）p（a）+p（b|a）p（A）（5 分）=1/2X2/3 +1/4X 1/3（7 分）=5/12 （8 分）23、将4个球随机

42、地放在5个盒子里，求下列事件的概率 （1）4个球全在一个盒子里；恰有一个盒子有2个球.解：把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果-一（3分）（1）A=4个球全在一个盒子里共有5种等可能结果，故P（4）=5/625=l/125 （4 分）（2） 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有C；C：=30种方法（5分）4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B=恰有一个盒子有2个球共有4X3=360种等可能结果.（7分）360 72/八、故尸（8）=（8分）625 12524、有10盒种子，其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20%.随机选取其中1盒，

43、从 中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1 盒的概率是多少解：由全概率公式及公式P（该种子能发芽）=x + x= （4分）P（该种子来自发芽率高的一盒）=X/ = l/3 （8分）（25-32小题为能力题，每小题10分）25、设二维随机变量（，、具有密度函数产。盛。"试求（1）常数C; （1分）（2）分布函数F（X）; （2分）（3）边际分布函数月小'b”及相应的边际密度；（4分）（4）求（，、n ）落在如图的区域G内的概率。（3分）解:（1）、匚匚（北）"必，=染-"1显分=1即c 1 ye-xe-Vv = c-l

44、l = i, c=i-（1 分） 乙 乙(2)、F(x,y) = j J p(,v)dudv = <4"3+"力,0<x < -+<o,0 < y <-o°0,其他由此得到：/（x,y） = <1 - 1 11 - )0 < x < +s,0 < y < +s0,其他（3分）pu,v)dudv =' £ £A4e0,x<0dudv,x>0 =-e2x>0 y 分)0,x<0于是得到：=/(x)= 2e'x>0 c分) 仁 50,x&l

45、t;0同理可得:产户）=i-e、小。o,y«oPF；（y）=2e->。,y40（7分）1 p-yP0)£G= JJ pydxdy = f4e-2(x+y).；) ax VJy(4)、-1 =D(XJI )G（10 分）C 一2,/一2(1一»、. 勺 -22e(1-6 k/y = l-3e26、证明对任意的随机变量，若EW=a,乂存在DW,则对任意的正常数£, 有尸（格-等。（契贝晓夫不等式）设碧一个随机变量，密皿P（X）,（1分）r+8则 P（t-a>£）= J 一口 p（x）dx （3 分）证明：V 翼I*（%一,）P（x）dx

46、 （5分）£1 +8 /C ”式f（xapdx = 一（7分）在上述证明过程中，把密度函数改成分布列，把积分符号改成求和符号，即得到离 散型情形的证明。（10分）27、二维随机变量（X, Y）的概率密度为Ae-(E0,（3）问X, Y是否独立。（本题10分）解:（1）由 1=J二匚/（9 田温y=广 IT=Ae-Xdxe-Iydy=-A 所以 A = 22（2分）(2)X的边缘密度函数：fx（x）= J:/（XQ）力=：x>0 其他（5分）Y的边缘密度函数：fY（y） = f（x.y）dx=<0,y>0 其他（8分）x > 0, y > 0其他 求：（1

47、）系数A； （2） X, Y的边缘密度函数;（10 分）且 px=o,y=3=|g'3_1"8（3分）（4分）因/（x，y） = /x（x）Jy（y），所以 X, Y 是独立的。28、将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数 与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X, Y）的联合概率分布；（2） PY>X.（本题10分）解：由题意知，X的可能取值为：0, 1, 2, 3； Y的可能取值为：1, 3.（2分）gy=i七霉=；（5 分）px=3,y = 3=9） =1（6 分）于是，（1） （X, Y）的联合分布为00£81380

48、238030£8(7分）（2） py>x= px = o,y=3=- （io分）829、（10分）二维随机变量（X , y ）的概率密度为,0 = 4 20,其他求：(1) E(X), (2) O(X),(3) E(XY) ,(4) COV(X,Y)o (本题 10 分) 求：(1) A, B 的值；(2) X 的概率密度/(x)； (3) PX>10 |X>3。(本题 10 分)解：27E(X ) = ! ! X g(x + y)dxdy =-（2分）(2)后32）=炉*加丽|,D(x) = E(X2)-(E(X)2=-1136（4分）(3) E(XX) = Ji

49、(x + y)dxdy = (7 分)(4) E(K) = ££>-(x + y)dxdy =-4 7 71COV(X,Y) = E(XY) E(X)E(Y) = -x-=- 3 o o36（10 分）30、设随机变量X的分布函数为F（x）=A + Bex0x>0x<0解：(1) A = , A + B = 0 , B = - (2 分)iv x>0FM =0x<0r > 0(2) f(x) = Fr(x) =, (6 分)0x<0(3) PX>1O|X>3 = P(X>7 = 1-F(7) = <?-7 (

50、10 分)31、某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别 为，和。己知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部 件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为；如果有两个部件不是优质品，则仪器的 不合格率为；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为。(1)求仪器的不合格率；(2)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大。(10分) 解：设8=仪器不合格,4=仪器上有i个部件不是优质品/ = 0.1.2,3,显然4),%,4，A3构成样本空间的一个完备事件组,(1分)且P(8l%) = 0，尸但IAi)= O2,P(BIA2)= O

51、6,P(5IA3)= O9,(2 分) 尸(A) = 0.8X0.7X0.9 = 0.504, P(A) = 0.2x0.7 x0.9 + O.8xO.3x0.9 + 0.8x0.7x0.1= 0.398 (3 分)P(A3) = 0.2x0.3x0.1 = 0.006/ P(A2) = 1-P()-P(A1)-P() = 0.092 (4 分)3由全概率公式有:P(8) = ZP(4)P(BIA) = 01402 (5分)/=0(2)由贝叶斯公式有:P(A。18) = 0,(6 分)796=1402,(7分)(8分)P(A2)P(BA2) _ 552P(B) 1402所以X与因不相关.(10

52、 分)(10 分)-(5 分)(8分)i) = 332=*,一(9 分) P(B) 1402从计算结果可知,一台不合格仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.一32、设 E(X) = 2, E(r)= 4 , D(X) = 4, D(Y)=9, pXY = 0.5 ,求(1)u = 3x2-2xy+y2_3的数学期望；(2) V = 3X丫 + 5的方差。(本题满分10分)解：(l)E(U) = E(3X2-2Xy + y2-3) =3£(x2) - 2E(Xy)+ E(y2)- 3 (2 分= 3Q(X) + 32(X)-2(£(X)E(y)+ PxyjD(X)jD(y)

53、+ D(y)+ E2(y)j_3=24;(2) D(V) = D(3X -K + 5) = 9D(X) + D(Y)-6cov(X,K) (7 分)= 45-6pxyjQ(X)jQ(Y) =27. (10 分)(3340小题为提高题，每小题10分)33、设X 的密度函数为/(x) =, xe(_s,+s)2 求X的数学期望E(X)和方差D(X)； 求X与国的协方差和相关系数，并讨论X与|X|是否相关解： E(X)=x#Qt = 0 (2 分)D(X)=E(X2)-E(X)2(3 分)二父爪-0 = x exdx = 2(5 分) Gm，(X,|X|) = £(X|X|)-E(X)E(

54、|X|)=：小口0-叫戊一0 = 0-*234、设随机变量xN(o, 1), r = x2+i,试求随机变量y的密度函数. 解：随机变量X的密度函数为 -(1分)f(x) = J2 © 2(- < x < 4-oc)设随机变量y的分布函数为弓(y),则有Fr(y)=pr <y=px2+l<y=px2 <y-l(2 分)(1)、如果 y-l«O,即1 ,则有尸y(y) = O;(3 分)(2)、如果y>l,则有4()，)=PX2 < y-l=网-乒1 <X< g2坪.士即4(y)=不 I e ldx y>X(6分)°y<2 -二 1(9分)，c , v所以， /r(y)=4(y)h 同2Jy-1 ,0y<1 -二C 2 y > 1即 4(y)= V27VPT.(10 分)0y<-1<X<1其它35、设随机变量X的概率密度函数/(%). =/(1一工厂( 1)试确定常数k; (3分)求X的分布函数；(4分)(3) 求尸OvX