理论力学--第六章--刚体的简单运动

1、第六章刚体的简单运动6-6-刚体的平行移动刚体的平行移动 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置，这种运动称为平行移动，简称平移。位置，这种运动称为平行移动，简称平移。1、定义、定义3 3、速度和加速度分布、速度和加速度分布ddddBABArrvvttddddBABAvvaatt刚体平移刚体平移点的运动点的运动2 2、运动方程、运动方程ABBArrrABd0drt因为所以4、在任一瞬时各点的速度矢量、在任一瞬时各点的速度矢量,加速度矢量加速度矢量二、刚体平动的特征二、刚体平动的特征平动刚体的运动可以简化为平动刚体的运动可以简化为1、其上任一直线、其

2、上任一直线2、任一点的轨迹、任一点的轨迹3、 平动时各点轨迹形状平动时各点轨迹形状始终平行于它的初始位置；始终平行于它的初始位置；可能是直线也可是曲线；可能是直线也可是曲线；相同，相同，都相同。都相同。一个一个点的运动点的运动。且彼此平行；且彼此平行； 荡木用两条等长的钢索荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长长为长l，度单位为，度单位为m。当荡。当荡木摆动时钢索的摆动规律木摆动时钢索的摆动规律为为 ，其中，其中 t 为为时间，单位为时间，单位为s；转角；转角0的单的单位为位为rad，试求当，试求当t=0和和t=2 s时，时，荡木的中点荡木的中点M的速度和加

3、速的速度和加速度。度。OABO1O2ll（+）例例 题题 6- 1MMA点的运动方程为将上式对时间求导，得A点的速度tltsv4 cos4dd0解：AOBO1O2ll（+）0sin 4slt再求一次导，得A点的切向加速度A点的法向加速度2t0dsin d164valtt 2222 n0cos164valtlM代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：OABO1O2ll（+）0002 （铅直向上）0 （水平向右）00an (ms2)at (ms2)v (ms1)(rad)t (s)04l016l202166-2 6-2 刚

4、体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动2、运动方程 tf转轴 ：两点连线 刚体上刚体上( (或其扩展部分或其扩展部分) )两点保持不动，则这种运动称为两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。转角：单位:弧度(rad)1、定义、定义 3、角速度和角加速度角速度ddddtt：大小大小方向：逆时针为正方向：逆时针为正22ddddtt角加速度d0dt0t匀速转动0200dcontd12tttt匀变速转动n与与 的关系为的关系为:30602nn6-3 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度2、速度vsRR1、点的运动方程sR速度分布图

5、结论结论: 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分 别与这些别与这些点到转轴的距离成正比。点到转轴的距离成正比。2tantnaa2224tnaaaR结论结论: 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的大小与的大小与该点到轴线的垂直距离成正比，方向与半径间的夹角该点到轴线的垂直距离成正比，方向与半径间的夹角 都相同。都相同。 3、加速度Rstvat dd2221RRRvan加速度分布图思考思考1：试画出图中刚体上：试画出图中刚体上两点在图示位置时的两点在图示位置时的速度和加速度。

6、速度和加速度。) (2121ABOOBOAOvMvNaNaM思考思考2：试画出图中刚体上：试画出图中刚体上两点在图示位置时的两点在图示位置时的速度和加速度。速度和加速度。) (2121ABOOBOAOvMvNaMtaMnaNtaNn 滑轮的半径滑轮的半径r=0.2 m，可绕，可绕水平轴水平轴O转动，轮缘上缠有不可转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴（如图），已知滑轮绕轴O的的转动规律转动规律 =0.15t3 ，其中，其中t以以s计，计， 以以rad计，试求计，试求t=2 s时轮缘上时轮缘上M点和物体点和物体A的速度和加速度。的速度

7、和加速度。 AOM 首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度245. 0tt 9 . 0 代入 t =2 s， 得, srad 8 . 112srad 8 . 1轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为 sm 36. 01rvMvMAOM解：AOM加速度的两个分量vM2tsm 36. 0ra22nsm 648. 0ra总加速度 aM 的大小和方向 sm 741. 022n2taaaM,556. 0 tan229atanaM1sm 36. 0MAvv2tsm 36. 0 aaA它们的方向铅直向下。它们的方向铅直向下。OAMvMatanavAaA例已知：重物A的2m/s1Aa（常数）初

8、瞬时速度（常数）初瞬时速度m/s5 . 10v方向如图示。方向如图示。 求：求： ,m5 . 0R m30 .r滑轮滑轮3s内的转数；内的转数；重物重物B在在3s内的行程；内的行程；重物重物B在在3s时的速度；时的速度；滑轮边上滑轮边上C点在初瞬时的加速度；点在初瞬时的加速度；滑轮边上滑轮边上C点在点在3s时的加速度。时的加速度。2Crad/s 25 . 01Ram/s5 .1vvAC）常数（）,m/s12ACaa转）(86.22n2m/s1Aam/s5 . 10v,m5 . 0R m30 .rrad/s35 .05 .1Rv C0rad18322133t21t220滑轮滑轮3s内的转数内的转

9、数m4 .5183 .0rs m/s7 . 293 . 0rvB2m/s1Aam/s5 . 10v,m5 . 0R m30 .r重物重物B在在3s内的行程内的行程rad/s 9323t 0重物重物B在在3s时的速度时的速度滑轮边上滑轮边上C点在初瞬时的加速度点在初瞬时的加速度 2ACm/s1aa2222nC2CCm/s 61. 45 . 41)a()a(a2m/s1Aam/s5 . 10v,m5 . 0R m30 .rt = 0 时2220nCm/s5.435.0Ra 5 .12 ,222. 05 . 41aatgnCC滑轮边上滑轮边上C点在点在3s时的加速度时的加速度22nCm/s5 .40

10、95 . 0Ra241. 1 ,0247. 051.401tgt=3s 时2m/s1Aam/s5 . 10v,m5 . 0R m30 .r2ACm/s1aa222Cm/s51.405 .401a例例3：O1A=O2B=2r， 0为常量，齿轮为常量，齿轮1固结在直杆固结在直杆 AB上，上，带动齿轮带动齿轮2绕绕O轴转动，两齿轮的半径均为轴转动，两齿轮的半径均为r，且，且O1O2=AB，求：轮，求：轮1和轮和轮2轮缘上任一点的加速度。轮缘上任一点的加速度。O1O2AB12 0 0OMO1O2AB12 0 0OaAvAaMvMMaNvNN运动分析运动分析AB杆作平动杆作平动aM = aA = 02

11、2rvM = vA 2 = vM / r= 0 2r 2 = 0= 2 0轮轮2轮缘上任一点的加速度轮缘上任一点的加速度a2 = a2n = 22 r = (2 0)2 r = 4 02 rO1O2AB12 0 0OaAvAaMvMMaNvNN运动分析运动分析AB杆作平动杆作平动MO/aM6-6-轮系的传动比轮系的传动比、齿轮传动啮合条件1122ABRvvR传动比12212211RziRz 、带轮传动1122AABBrvvvvr121221rir 减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮和安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为z1=36，z2=112 ，z3=32和z4=128 ，如主动

12、轴的转速n1=1 450 rmin1，试求从动轮的转速n4。n1解：用n1， n2 ， n3和n4分别表示各齿轮的转速，且有32nn 应用齿轮的传动比公式，得, 122112zznni344334zznni将两式相乘，得31424231zzzznnnn因为n2= n3，于是从动轮到齿轮的传动比为4 .1231424114zzzznni由图可见，从动轮和主动轮的转向相同。最后，求得从动轮的转速为 minr 11711414innn16-5 6-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度1、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量ddt大小作用线 沿轴线滑动矢量指向右手螺旋规则k角加速度矢量ddddkktt2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度ddddvarttddddrrttrvtartnaasinrRvvr大小方向 右手法则速度速度加速度加速度M点切向加速度()navrM点法向加速度例 刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速度矢为 。5sin5cos5 322ttijk 求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及加速度矢。10 31510ijk 5sin5cos5 322023ijkttvr解:dd