数列通项公式求法大全

1、数列通项公式的十种求法一、公式法_ 、累加法an 1anf(n)例 1已知数列an满足an 1an2n 1,印1, 求数列an的通项公式。2ann例 2已知数列an满足an 1an2 3n1,313,求数列an的通项公式。(an3nn 1.)三、累乘法an 1f(n)an例 3已知数列 an满足an 12(n1)5n1an,63，求数列an的通项公式。(ann(n 1)3 2n 152n!.)评注:本题解题的关键是把递推关系an 12(n 1)Tan转化为旦口2(n1)5n,进而求出_anaALa3a2Qi，即得数列 佝的通项公式。an 1Qn 2a2Q1例4已知数列an满足a11,ana2a

2、23a3L (n 1)an1(n 2)，求an的通项公式。(an!.)2评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1(n 1)an(n 2)转化为 也n 1(n 2)，an进而求出L3a2，从而可得当n 2时，an的表达式，最后再求出数列 an的an 1an 2a2通项公式。四、待定系数法an 1panq an 1panf na. 2pa. 1qa.(其中 p，q 均为常数)。例 5 已知数列 an满足an 12an3 5n,ai6，求数列a.的通项公式。(a.2n 15n)评注：本题解题的关键是把递推关系式an 12an35n转化为an 15n 12(an5n),从而可知数列an5n是等比数列

3、，进而求出数列an5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例 6 已知数列an满足an13an52n4，a“1,求数列an的通项公式。(an13 3n 15 2n2)评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an5 2n4转化为an 152n123(an52n2)，从而可知数列an5 2n2是等比数列，进而求出数列an5 2n2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。例 7 已知数列an满足an 12an3n24n 5, & 1，求数列an的通项公式。(an2n 43n210n 18)评注：本题解题的关键是把递推关系式an 12an3n24n 5转化为2 2an 13(n 1) 10(n

4、 1) 18 2(a*3n 10n 18)，从而可知数列2 2an3n 10n 18是等比数列，进而求出数列a.3n 10n 18的通项公式，最后再 求出数列an的通项公式。五、递推公式为Sn与an的关系式( (或Snfn) )式an.解法：这种类型一般利用anS1SnSn 1(n 1)(n 2)例 8 已知数列an前 n 项和Sn4 an求an 1与an的关系;2)求通项公例 5 已知数列 an满足an 12an3 5n,ai6，求数列a.的通项公式。an23n3的通项公式，最后再求数列an的通项公式。七、对数变换法 （当通项公式中含幕指数时适用）n 5例 10 已知数列an满足an 12

5、3an，a17，求数列an的通项公式。n nn c解：因为an 12 3an,印7，所以an0,an 10。在an 12 3an式两边取常用对数得lg an 15lg ann lg3 Ig 2设lgan 1x(n 1) y 5(lg anxn y)将式代入式，得5lgann lg3 lg 2x(n1)y 5(lg anxn y)，两边消去5lg an并整理，得(lg3 x)n x y lg 2 5xn 5y，贝U例 9 已知数列an满足an 13an3，求数列an的通项公式。解：an 12 3n1两边除以n 1an 13，得TTT3an2(n 1)3n(1 3n 1)12n33n3n评注：本题

6、解题的关键是把递推关系式an3an2 3n1转化为an 1an2进而求出译罷）（罷巽a2a1(2 13231号，即得数列an3nlg3 x 5x斗，故x y lg2 5ylg34lg3lg21641所以数列lg an里n 竺是以lg 7 里 为首项，以 5 为公比的等41644164比数列，则Igan里n空也（lg 7里里也）5“1，因此n41644164lg an(lg 7lg3lg3lg2)5n1lg 3nlg3 lg24164464111n1(lg7lg 34lg36lg24)511lg34lg 316lg21 11n11lg(73431624)5n 1lg(3431624)1 11n1

7、 1lg(7 3431624)5n1lg(3431624)5n1n5n 115n 11lg(75n134316524n 1/)5n 4n 15n 11lg(75n 131624)5n 4n 15n 11则an7513162评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an12 3na；j转化为lg an 1也（门1） 5（lg ann 2），从而可知数列41644164lg3lg3lg 2lg3lg3lg2lg ann是等比数列，进而求出数列lg ann的通项41644164公式，最后再求出数列an的通项公式。代入式，得lg an 1孚(n 1)4lg376lg245(lg annlg3 ig

8、2)T 16_T)由igQlg314lg316lg24ig7lg34lg3 lg2160及式,得lg anlg316lg24lg an则 -lg376lg24lgann也厲161八、迭代法例 11 已知数列an满足an 1an（n 1）2,a15，求数列务的通项公式。3(n 1)2n3n 2n 13(n 1) 2n 23n 2n 1解：因为an 1an()，所以anan 1an(21评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例 13 已知数列an满足an 1 (1 4an1 24an), &1612又印5，所以数列an的通项公式为an

9、5n(n 1).3n 1n! 22-) 。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an1an(n 1)2n两边取常用对数得lg an 13(n1) 2nlg an，即lg an 1lg an3(n1)2n，再由累乘法可推知lga”譽瞥Llg an 1Igan 2lga3lg a2lgalgclgai3n 1n! 2lg5n(n 1)23n 1n!2.，从而an5n(n 1)2。九、数学归纳法例 12 已知数列an满足an 1an8(n1)2 2?(2n1)2(2 n 3)28，求数列an的通项公式。9解：由an 1an8(n 1)(2n 1)2(2 n 3)28及a

10、1，得9由此可猜测an(2nD21，往下用数学归纳法证明这个结论。(2n 1)2(1)当n 1时,(2 1 1)21C2(2 1 1)28，所以等式成立。9(2)假设当n k时等式成立，即akk 1时,由此可知，当n k 1时等式也成立。根据(1)，( 2)可知，等式对任何nN都成立。n 项，进而猜出数列的通项1，求数列an的通项公式。解：令n ,1 24an，则an刃(bn121i-故an 1(bn 11)，代入an 1(1 4an. 1 24an)得2416即4b：1(b 3)2因为bn,240；0，故bn11 24an10ntt13则2bn 1bn3，即bn 1 g2 21可化为bn 13 (bn3),21所以bn3是以b 3 . 1 24a131 24 1 3 2为首