概率论与数理统计随机变量及其分布ppt课件

1、第2章 随机变量及其分布o问题一：为什么引入随机变量?o问题二：随机事件与随机变量的区别是什么？o问题三：随机变量的一些例子？ 概率论是从数量上来研讨随机景象内在规律性的，为了更方便有力的研讨随机景象，就要用数学的方法来研讨，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将恣意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念。 引入随机变量后我们就由对事件及事件概率的研讨转化为随机变量及其规律的研讨。问题一：为什么引入随机变量？问题二：随机事件与随机变量的联络与区别是什么？o随机实验中能够发生也能够不发生的事情为随机事件，比如，对1、2、3的数集抽取，A是抽中1，B是

2、抽中2，C是抽中3，那么A、B、C就是随机事件。随机变量是定义在样本空间上的变量，比如我们设抽中的是X，那么X能够是1，也能够是2，或是3。X完好的描画了该样本空间，即X能够值的全部是样本空间。o随机事件是从静态的观念来研讨随机景象，而随机变量那么是一种动态的观念。问题三 随机变量的一些例子o在随机实验中，实验结果很多本身就由数量表示o1每天进入教室的人数Xo2某个时间段吃饭排队的人数Xo3电灯泡运用的寿命To而在另一些随机实验中，比如检查一个产品能否合格，此时样本空间S=合格品，不合格品，假设用1对应合格品，-1对应不合格品，这样就都有独一确定的实数与之对应。1.随机变量的引入o从上面的例子

3、可以看出随机实验的结果都可用一个实数来表示，这个数随着实验的结果不同而变化，它是样本点的函数，这个函数就是我们要引入的随机变量。2 随机变量的定义o随机变量：设随机实验的样本空间为S，称定义在样本空间S上的实值函数X=X( )为随机变量。o随机变量的表示：o常用大写字母X,Y,Z或希腊字母 等表示o随机变量所取的值，普通采用小写字母x,y,zo 2 随机变量的定义o留意：o(1)随机变量与普通的函数不同o 随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数)。o (2)随机变量的取值具有一定的概率规

4、律o 随机变量随着实验的结果不同而取不同的值, 由于实验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.2 随机变量的定义o讲课本例1，例2o练习题:o(1)在有两个孩子的家庭中,思索其性别 , 共有 4 个样本点:o假设用X表示该家女孩的个数时，那么应该怎样表示？).,(),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee2 随机变量的定义(2)设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,用随机变量 X(e) 的一切能够取值是什么？3设某射手每次射击打中目的的概率是0.8,现该射手不断向目的射击 , 直到击中目的为止,用随机变量 X(e) 的一切

5、能够取值是什么？4某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车经过, 假设某人到达该车站的时辰是随机的, 用随机变量X(e) 的一切能够取值是什么？,)(抽抽得得的的白白球球数数 eX,)(所需射击次数所需射击次数 eX,)(此人的等车时间此人的等车时间 eX2.2 离散型随机变量及其概率分布o1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，假设它全部能够的取值只需有限个或可数无穷个，那么称X为一个离散随机变量。o延续型随机变量：假设一个随机变量X的能够取值充溢数轴上的一个区间a,b,那么称X为一个延续型随机变量。o例1投掷一颗骰子点数X的能够取值只需1，2，3，4，5，6，那么X是什么型的随机变量？o2电灯

6、泡的运用寿命T，能够取值T0,所以T是一个什么型的随机变量？2.2 离散型随机变量及其概率分布o2.概率分布o定义1 设离散型随机变量X的能够取值为 ， o称为X的概率分布或分布律，也称概率函数。oX的概率分布常用表格的方式来表示。o讲课本例1o练习题：设离散随机变量X的分布列为oX -1 2 3 o 0.25 0.5 0.25o试求P(X0.5),P(-1X2.5)ix,1,2,.iiP Xxp iip2.2 离散型随机变量及其概率分布o分布律的阐明：o当知一个离散型随机变量X的概率分布时，o而且X所成的任何事件的概率都可以求出来，iiiiia xba xbP axbPXxpiiiixIxI

7、P XIP Xxp2.2 离散型随机变量及其概率分布o3 常用离散分布o两点分布0-1分布：假设一个随机变量X只需两个能够取值，且其分布为o那么称X服从 处参数为p的两点分布。o对于一个随机实验E，它只需两种能够的结果A和 ，即Ao要么发生，要么不发生，那么这种实验E总可以用01分布来描画，这种实验在实践中很普遍例如，抛掷硬币实验,oA = “出现正面， “出现反面；在射击实验中， A=“命中目的, o “未命中目的;它们都可用01分布来描画01分布是实践中经常用到的一种分布12, 1(01)P Xxp P Xxpp 12,x xAAA2.2 离散型随机变量及其概率分布o二项分布：假设一个随机

8、变量X的概率分布由式o给出，那么称X服从参数为n,p的二项分布。记为Xb(n,p)(或B(n,p).o注：当n=1时，o随机变量X即服从0-1分布o在实践中，把概率很小普通要求在0.05以下的事件称o为小概率事件由于小概率事件在一次实验中发生的能够性o很小，因此，在一次实验中，小概率事件实践上是不应该发o生的. 这条原那么我们称它为实践推断原理需求留意的是,实o际推断原理是指在一次实验中小概率事件几乎是不能够发生o的，当实验次数充分大时，小概率事件至少发生一次却几乎o是必然的。o如何证明以上这个结论是正确的呢？(1),0,1,., .kkn knP xkC ppkn1()(1)(0,1)kkP

9、 Xkppk2.2 离散型随机变量及其概率分布o二项分布在经济管理方面的运用：o在实践问题中，很多商品的销售量都是服从二项分布的。由于每件商品都只需售出和库存两种形状，而每件商品售出的概率在一段时间内是根本固定，因此商品的进货量即为二项分布中的参数n，参数p的值可利用数理统计方法进展估计，估计公式为p /n。 为所出卖的商品的件数。o在不添加本钱的前提下, 追求利润的最大化是迫切需求处理的问题。其真实有些情况下, 产品可靠性数据可按二项分布加以分析, 我们只需作出小小的调整,就能收到良好的效果。nmnm2.2 离散型随机变量及其概率分布o二项分布的图形特点：o1当n+1p不为整数时，二项概率o

10、PX=k在k=(n+1)p时到达最大值o2当n+1p为整数时，二项概率oPX=k在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时到达最大值o讲课本例3和例4o留意二项分布b(n,p)和两点分布的关系2.2 离散型随机变量及其概率分布o在实践中，我们经常要计算n次独立反复的贝努利实验中恰好k次胜利的概率 ，至少有次胜利的概率为 等，当n很大时，要计算出它们确实切数值很不容易,那我们应该怎样做呢?(1)kkn knC pp1(1)niin iniC pp2.2 离散型随机变量及其概率分布o泊松分布：假设一个随机变量X的概率分布为o那么称X服从参数为 的泊松分布，记为XP( )o泊松流:假设随机事件流具有

11、平稳性、无后效性、普通性，那么称该事件流为泊松流。o对泊松流，在恣意时间间隔0，t内，事件发生的次数服从参数为 的泊松分布。 称为泊松流的强度。,0,0,1,2,.!kP Xkekk2.2 离散型随机变量及其概率分布o在实践中，许多随机景象都可用泊松分布来描画例如,一批产品的废品数；一本书中某一页上印刷错误的个数；某汽车站单位时间内前来候车的人数；某段时间内，某种放射性物质中发射出的粒子数等等，均可用泊松分布来描画.泊松分布是概率论中的又一个重要分布，在随机过程中也有重要运用。2.2 离散型随机变量及其概率分布o在经济管理决策中，利用泊松分布可以合理安排任务岗位。 o例如某车间有90台一样的机

12、器，每台机器需求维修的概率均为0.01，在同一时间每人只能维修一台机器，在岗位设置中，不同的设置的方法使得机器出现缺点而等待维修的概率是不同的。假设三个人明确分工，每人担任30台，此时=0.3，机器需求维修的概率为PX1=0.0369；假设三个人共同担任90台，此时=0.9，机器需求维修的概率为PX3=0.0；经过概率的对比可知，共同协作比各自为政的维修效率有所提高。o讲课本例52.2 离散型随机变量及其概率分布o当实验次数n很大时，对二项分布b(n,p)的概率计算起来不方便，此时须寻求某种近似计算方法，其中一种就是二项分布的泊松近似。o定理1泊松定理：在n重伯努利实验中，事件A在每次实验中发

13、生的概率为pn(留意这与实验的次数n有关)，假设 时， 为常数，那么对恣意给定的k,有 o b(k,n, pn)=o讲课本例6，例7 n nnp0limnlimn(1)!kkkn knnnC ppek2.3 随机变量的分布函数o1.随机变量的分布函数o定义1 设X是一个随机变量，称F(x)=PXx o 为X的分布函数。有时记作XFxo这个概率具有什么特点呢?o具有累积性o这个概率与x有关，不同的x此累积概率的值也不同。o注：X是数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间 的概率。()x (, x0( )1F x2.3 随机变量的分布函数o对 ，随机点落在区间 的概率o随机变量的分布函数完好地描画了随机变量的统计规律性。o分布函数的性质：o1单调非减。假设 ，那么o (2) o3右联络性，即o讲课本例1 1212,()x xxx12( ,x x122121()( )P