数列综合应用(放缩法)

1、1 1数列综合应用(1)- 用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常岀现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.二、典例讲解1 1.先求和后放缩例 1 1 正数数列的前n项的和Sn，满足 2 2 . .S S=a an-1-1,试求：(1)数列an的通项公式；1(2)设bn，数列 的前n项的和anan卅为Bn，求证:BnJ22.先放缩再求和1.放缩后成等差数列，再求和例 2 2 已知各项均为正数的数列an的前n

2、项和为Sn, ,且anan=2Sn. .an1242.放缩后成等比数列，再求和例 3 3. (1 1 )设a，n N N*，a 2 2，证明:a2n-(-a)n一(a 1) an；(2 2 )等比数列an中，_ ?，前n项的和为 A A，22a且A，A,A成等差数列设bn，数列bn1an1前n项的和为Bn，证明：Bnm2 2)个不同数的排列RPPn中,若 1 1 ivjP(即前面某数大于后面某数),则称P与P构成一个逆序. .一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. .记排列(n1)n(n _ 1)321的逆序数为an，如排列 2 21 1的逆序数a1=1=1，排列 321321 的 逆

3、序数a3=6(1)求as a5,并写出an的表达式;(2 2)令 n n = =an .an1，证明：an半an2n：d b2bn：2n 3,n= =1,2,高考真题再现：1.1. ( 0606 浙江卷)已知函数f(X)=X3，X2，数列xn( (xn0)0)的第一项X1= 1 1，以后各项按如下方式取定：曲线y = f (x)在(xn d, f (xn 1)处的切线与经过(0(0，0 0)和(Xn，f (Xn)两点的直线平行(如图)求证：当n三N时,an 1- an_3-(汁“尸3 32.2. (0606 福建卷)已知数列 fajfaj 满足a1=1,an耳=2an1(n：= N*).(i

4、i)求数列：a an n? ?的通项公式；(iiii )证明：n 1a1a2a.n*.(n = N ).23a2a3an 123.3. (0707 浙江)已知数列订/中的相邻两项a2ka2k是关于x的方程x2-(3k2k)x 3k 2k= = 0 0 的两个根，且a2k二Sn;T_(-1)f(2)+(-1严J-1严 + (-1)fEai a283843536a2n32n求证：1Tnsin n4 4(1 x)m1 mx；(1m1(iiii )对于n6，已知1 - 2 2，证明：2nnn a _(-a) _(a 1) a；(2 2)等比数列an中，a，前n项的和为 A,A,22a a且A,A A成

5、等差数列设 b b = =，数列bn1-an1前n项的和为b，证明：B13求证:2an m2 2)个不同数的排列RPPn中，若 1 1 ivjP(即前面某数大于后面某数),则称P与P构成一个逆序. .一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. .记排列(n 1)n(n -1)321的逆序数为an，如排列 2121 的逆序数a1=1=1，排列 321321 的 逆序数a3=6(1 1 )求as a5,并写出an的表达式；(2 2)令 n n = =an an1，证明：an +an2n 5bn 0)0)的第一项X1= 1 1，以后各项按如下方式取定:曲线y二f (x)在(xn1, f(xn 1

6、)处的切线与经过(0 0，0 0)和(xn，f (xn)两点的直线平行(如图)求证：当n三N*时,(I)X：xn=3i- 2召1；an 1- an_3-9 91、n,1n _2(U)(；)S XS()。221010(山)记f(n)二12sin nisin nTn(T)f (2)(-1严(T)f (4)讦,川,(-1)f (n 1)求证：1Tnn N*)6n242.2. (0606 福建卷)已知数列 fajfaj 满足= 1,an耳=2an1(n：= N*).(I(I)求数列：a an n? ?的通项公式；(II(II )证明：n 1a1a2a.n*.(n = N ).23a2a3an 123.3. (0707 浙江)已知数列中的相邻两项a2ka2k是关于x的方程x2-(3k2k)x 3k 2k=0的两个根，且&2心 n;aia283841111(iiiiii )求出满足等式3n 4n川 (n - 2)n的所有正整数n.4.4.(0707 湖北)已知m, n为正整数，(I)用数学归纳法证明：当x . _1时,(1 x)m1 mx；(ii(ii )对于n6，已知|1求证1一代冷，心2，n;=(n 3)m12125.5.（0808 辽宁）在数列 CaJJbJCaJJbJ 中，印=2上=4, ,