正弦定理与余弦定理的应用(精)

1、1.3 正、余弦定的应用课前回顾课前回顾（1）三角形常用公式：）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：）正弦定理应用范围： 已知已知两角和任意边两角和任意边，求其他两边和一角，求其他两边和一角 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角。的对角。(注意解的情况注意解的情况)正弦定理：正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R（3）、余弦定理）、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

2、。的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222cbcaBa2cos222 abcbaC2cos222（4）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：（1）已知三边求三个角；）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。了解有关测量术语了解有关测量术语:a.仰角和俯角仰角和俯角是指与目标视线在同一垂直平是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平其中目标视线在水平视线的目标视

3、线上方时叫仰角视线的目标视线上方时叫仰角,目标视线在水目标视线在水平视线的下方的时叫俯角平视线的下方的时叫俯角.b.方向角方向角是指从指定方向线到目标方向线的是指从指定方向线到目标方向线的水平角水平角,如北偏东如北偏东300,南偏西南偏西450.c.方位角方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目是指从正北方向是顺时针旋转到目标方向线的水平角标方向线的水平角.d.坡度坡度是坡面与水平面所成的角的度数是坡面与水平面所成的角的度数.下面是几个测量距离问题例、如图，为了测量河对岸两点、之间例、如图，为了测量河对岸两点、之间的距离，在河岸这边取点，测得的距离，在河岸这边取点，测得ADC=85, BDC=60

4、, ACD=47, BCD=72,CD=100m.设，在同一个平设，在同一个平面内，试求，之间的距离（精确到面内，试求，之间的距离（精确到m）解：在解：在中，中， ADC85, ACD=47, 则则 D=4，又，又100，由正弦定理，得：，由正弦定理，得：)(05.13448sin85sin100sinsinmDACADCDCAC在在中，中， BDC=60, BCD=72,则则DC=又又100，由正弦定理，得由正弦定理，得)(54.11648sin60sin100sinsinmDBCBDCDCBC在在中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得ACBBCACBCACABcos2222222134.05

5、 116.54cos253233.95134.05 116.54所以所以（m）.答：，两点之间的距离约为答：，两点之间的距离约为m.如图如图,隔河看两目标隔河看两目标A、B，但不能到达，但不能到达，在岸边选取相距在岸边选取相距 千米的千米的C、D两点，并测两点，并测得得ACB=75ACB=750 0,BCD=45,BCD=450 0,ADC=30,ADC=300 0，ADBADB=45=450 0(A(A、B B、C C、D D在同一平面在同一平面) )，求两目标，求两目标ABAB之间的距离。之间的距离。3ABCD学生练习一学生练习一（1）准确地理解题意；）准确地理解题意；（2）正确地作出图形

6、；）正确地作出图形；（3）把已知和要求的量尽量集中在有关三）把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；序地解这些三角形；（）再根据实际意义和精确度的要求给出（）再根据实际意义和精确度的要求给出答案答案解三角形应用题的一般步骤：解三角形应用题的一般步骤：下面是几个测量角度问题例、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出例、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为渔轮在方位角为，距离为，距离为10n mile的的处，并测得渔轮正沿方位角为处，并测

7、得渔轮正沿方位角为105 的方向，的方向，以以n mile/h的速度向小岛靠拢我海军舰艇的速度向小岛靠拢我海军舰艇立即以立即以n mile/h的速度前去营救求舰艇的速度前去营救求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1 ,时间精确到时间精确到min）北北北北BC105方位角：方位角：指从正北方向指从正北方向顺时针旋转到目标方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角的水平角北北北北BC105解：设舰艇收到信号后解：设舰艇收到信号后xh在处靠拢渔轮，则在处靠拢渔轮，则21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222 10 9 cos120(21 )(9 )10 xxx 化简得：化简得：0109362 xx解得：解得：x=（h）=40(min)(负值舍去）负值舍去）由正弦定理，得由正弦定理，得143