差分方程的解法

1、第三节差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差分方程的解方程a0xnka1xnk1.akxnb(n)8）其中a0,a1,ak为常数，称方程（8）为常系数线性方程。9）又称方程a0xnka1xnk1.akx为方程（8）对应的齐次方程。n如果（9）有形如xn的解，带入方程中可得：kk1a0a1.ak1ak010)称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。基本结果如下：1）若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：nnnxnc11c22.ckk，2）若（10）有m重根，则通解中有构成项：m1n（c1c2n.cmn）(3)若(10)有一对单复

2、根e2arctan，则(9)的通解中有构成项：nn.CicosnC2Sinni(4)若有m重复根：i,e,则(9)的通项中有成项：minm1n_(c1c2ncmn)cosn(cm1cm2n.c2mn)sinn综上所述，由于方程(10)恰有k个根，从而构成方程(9)的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为：如果能得到方程(8)的一个特解：，则(8)必有通解:+(11)(1)的特解可通过待定系数法来确定。例如：如果b(n)bnpm(n),pm(n)为n的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如bnqm(n)形式的特解，其中qm(n)为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：qm(n),将其代入(8

3、)中确定出系数即可。2、差分方程的z变换解法对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z变换F(z)来表示出的Z变换，然后通过解代数方程求出F(z),并把F(z底z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的例1设差分方程xn23xn12xn0，x°0，x12解：解法1:特征方程为 32 0,有根：11，22故：xnc1(1)nc2(2)n为方程的解。nn由件x00,x11得.xn(1)(2)解法2:设F(z)=Z()方程两边取变换可得：21z2(F(z)x0x1-)3z(F(z)x0)2F(z)0zzF(z)由条件X。0，x11得Lz23z2由F(z)在z2中解析，有11F(z)

4、z(-) - z 1 z 219k,kkk(1)(1)(12)z所以，xn (炉(2)n3、二阶线性差分方程组xa(n) A ( 设 z(n) yn , cb d)形成向量方程组z(n 1) Az(n)(z(n 1)Anz(1)(13)(13)即为(12)的解。为了具体求出解(13),需要求出，这可以用高等代数的方法计k0zk0算。常用的方法有:(1)如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成:AP1P,AnP1nP,z(n1)(P1nP)z(1)oAn(/)n/./(/)n1A(.).().从而，z(n1)Anz(1)(/广.Az(3)或者将A相似于约旦标准形的形式，通过讨论A的特征值的性态，找出的内在构造规律，进而分析解的变化规律，获得它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果(1) k阶常系数线性差分方程(8)的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程(10)所有的特征根i，i12.k满足i(2) 一阶非线性差分方程(14)xn1f(xn)(14)的平衡点x由方程xf(x)决定,将f(xn)在点x处展开为泰勒