第3章--第7节--正弦定理和余弦定理.docx

1、20092013年高考真题备选题库三角函数、解三角形正弦定理和余弦定理考点1. （2013新课标全国I , 5分）正、余弦定理及其应用已知锐角ABC的内角A, B, C的对边分别为s b,c,23cos2A+cos 2A=0, a=7, c=6,则 5=()A. 10B. 9C. 8D. 5解析：选D 此题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三解形以及方程思想.化简 23cos顼+cos 2A=0,23cos2/4-2cos2 A 1 = 0,解得 cqsA=§.由余弦定理，知a2=b2+c22/?c*cos A,代入数据，解方程，得 b=5.2. （2013山东，5分）ABC

2、的内角人，B, C所对的边分别为s b, c.假设B=2A, a=1, b=® 则 c=（）A. 20C.皿解析：选B 此题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思 想.由已知及正弦定理得志=蛊=溥&=赢¥，所以cosA=乎，人= 30°.B. 2D. 1结合余弦定理得12=（,）2+双一2cX,X乎，整理得（？一3。+2=0,解得?=1或c2.当c=l时，ZVIBC为等腰三角形，A = C=30。，B=2A=60°,不满足内角和定理，故c=2.3. （2013辽宁，5分）在ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c

3、.假设osin BcosC+csin B cos A=*b,且 a>b,则A6B-3卜5兀DT解析：选A此题主要考查正弦定理、诱导公式、三南形内甬和定理，意在考查考生对三角函数基础知识和基本技能的掌握情况.边换角后约去sin B,得sin（A + C）=§,所以sin5=2，但匕B非最大角，所以4. （2013 北京，5 分）在中，。=3, b=5, sinA=§,则 sin B=（） -5A. -5A.5-9B.D. 1解析：选B 此题主要考查正弦定理，意在考查考生对正、余弦定理掌握的熟练程度, 属于容易题.依题意，由湍7=念，即：=赤，得 sin 8=3,选 B.

4、5. （2013陕西，5分）设C的内角A, B, C所对的边分别为。, 假设 bcos C+ccos B=a sinA,则ABC 的形状为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形D.不确定C.钝角三角形解析：此题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用.依据题设条件的特点，由正弦定 理，得 sin 5cos C+cos Bsin C=sin2/,有 sin（B+C）=sin2A,从而 sin（B+C）=sin A=sin2A,解得sinA=l, .A=*故选B.答案：B.6. （2100湖南，5分）在ABC中，角人，B, C所对的边长分别为a, b, c.假设ZC= 120°, c=yf2a,

5、则（ ）A. a>bB. a<bC. a=bD.。与的大小关系不能确定解析：法一：由余弦定理得 2（T2=a2+Z?22abcos 120°,屏+"/，一/=0, 即£）吧=°，b 1 +,a= 2I，故 b<a.法二：由余弦定理得2.2=屏+屏一2泌cosl20。，b2+aba1=0,人=仁7，由 a<a+b 得，b<a.答案：A7. 2012 广东，5 分）在ABC 中，假设ZA=60°, 4=45。, BC=3重,则 AC=（ ）A. 43B. 23C.甫D. 2解析：由正弦定理得：盖=荔即品与京所以就=垩乂

6、半=2®2答案：B8. 2012陕西，5分）在ZXABC中，角A, B, C所对边的长分别为a, b, c.假设a=2,8=g, c=2甫,则人=.解析：由余弦定理得胪=疽+*2scosB=4+122X2X2,X乎=4,所以h=2.答案：29.2011新课标全国，5分）ABC中，3=120。，人C=7, AB=5,则ABC的面积 为.解析：设BC=x,由余弦定理得49=25+.-IOacos 120°,整理得：采+524=（）,即x=3.因此 Szc=?ABXBCXsinB=；X3X5X平=坪耳答案：毕10. （2010江苏，5分）在锐角ZXABC中，角A、B、C的对边分别

7、为。、b、c,假设£+3=6cosC,3=6cosC,lanC tanfi的值是解析：取 a=b= 1,则 cosC=§,4由余弦定理得（2=/+屏一2沥cosC=§, .2a/3 c 3，在如下图的等腰三角形ABC中，可得 taM = tanB=S，义 sinC=, tanC= 2-7$,.tan C tan C tanA tanB '-i b , a , 八 g 屏 «2+/?2c2 > , , 3 ,另解：由-+=6cosC4, ah =6-云另一，即。+人=3，.tanC tanCcosA cosBsi/C,'tanA 十

8、tanBtan(、做十 sin8)cosCsiMsinB屏+胪 ,答案：411. (2013福建，12分)如图，在等腰直角OPQ中，ZPOQ=90。，OP=2,点、M 在线段PQ上.(1) 假设OM=$,求PM的长；(2) 假设点N在线段MQ上，且ZMON=30。，问：当ZPOM取何值时，0MN的面积 最小？并求出面积的最小值.解：此题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三南函数等基础 知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合 思想、化想与转化与想.在ZkOMP 中，NOPM=45。，OM=y5, ()P=20 由余弦定理，得 OM2=

9、OP2 +MP2 一 2 X OP X " X cos 45°,得"24依+3=0,解得MP=或MP=3.(2)i殳 2P0M=a, 0°WaW60。，()Mnp在中,由正弦定理,得慕诙两=慕由'所以sin(45°+a)故 S“mn=?X OMX ONXsin /MON_ 1"sW 45°4 sin(45°+a)sin(75°+a)sin(45°+a)sin(45°+a+30。)sin(45°+a辛 sin(45°+a)+§cos(45°

10、+a)=1平 $静(45° + a)+sin(45° + i)cos(45° + a)=11 -cos(90°+2a)+|sin(90°+2«)=1=7孑+sin 2a+cos 2a=1乎+§sin(2a+30°)因为 0°WaW60°,则 3O°W2a+3O°W15O°,所以当 a=30°时,sin(2a+30°)的最大值为1,此时ZiOMN的面积取到最小值.即NPOM=30°时，ZiOMN的面积的最小值为84寸112. (2013浙

11、江，14分)在锐角 A8C中，内角人，乱C的对边分别为a, b, c,且2osin B=yf3b.(1) 求角A的大小；(2) 假设。=6, b+c=8,求ABC的面积.解：此题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式及三角运算等基础知识，同时考查运 算求解能力.由2osin B=y3b及正弦定理、得sin A =令.0111 Zi 0111 因为A是锐角，所以A=*(2)由余弦定理 a2=h2+c12/?ccos A,得 lr+c2bc=36.28义 b+c=8,所以 bc=.由三角形面积公式S=§Z?csinA,得ABC的而积为马13. (2013天津，13分)在ABC中，内角A,

12、B, C所对的边分别是m b, c.己知际in2A=3csin B,。=3, cos B=§.(1) 求"的值；(2) 求 sin(2B_.)的值.解：此题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦 公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力.(1)在ABC 中，由-?可得加in A=osin义由 /?sin 4 = 3csin可得"=sin /i sin d3c,义。=3,故 c= 1.由 Z?2=/+c22qccos B, cos B=T，可得 b=g.(2)由 cos B=§,得 sin B=辛，从而得 cos

13、 2B=2cos? 81 =一志，sin 2B=2sin Bcos B= 459 .所以 sin(2B§)=sin 2Bcoscos28sin §=4寸/审It3.14. （2012江西，12分）在人中，角A, B, C的对边分别为。，b, c.己知3cos（B C)1= 6cos Bcos C.(1)求 cos A；假设0=3, AABC的面积为2皿，求所解:(1)由 3cos(BC) 1 =6cos ficos C,得 3(cos Bcos Csin Bsin C) = 1,即 cos(B+C)=从而 cos A=cos(8+O=亍12F>(2)由于 0<A

14、<n, cos人=§,所以 sinA=M.解得bc=6.义 Saabc= 2寸,即Resin A 2y/2,由余弦定理er=屏+c22/?ccos A,由余弦定理er=屏+c22/?ccos A,得屏+c'= 13,解方程组bc=6, 屏+=13,b=Lc=3,b=3,c=2.15. (2011安徽，13分)在ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C所对的边长，a=屯, b=yf2, l+2cos(8+C)=0,求边 BC 上的高.解：由 1 +2cqs(8+C)=()和 B+C=tiA,得f312cosA=0,所以 cosA = 2， sirk4= 2 再由正弦定理，得sinB=-由b<a知B<A,所以8不是最大角，B<,从而 cosB=/7-sirPB=.由上述结果知 sinC=sin（A + B）=*x（+：）=rW. 设边BC上的高为h,则有,?=bsinC=气"1.16. （2010辽宁，12分）在/WC中s b, c分别为内角A, B, C的对边，且2osinA = (2/?+c)sinB+(2c+0)sinC.(1) 求A的大小：(2) 假设sin+sinC=l,试判断ABC的形状.解：(1)由已知，根据正弦