全国高中数学联合竞赛一式参考答案及平分标准

1、2015 年全国高中数学联合竞赛一试一填空题：本大题共 8 小题，没小题 8 分，满分 64 分。1.设 a、b 为不相等的实数，若二次函数f(x) x2ax b满足f(a) f(b)，则f (2)的值为12. 若实数满足 cos tan ，则cos4的值为sin3.已知复数数列zn满足 z-i1, zn 1zn1 ni(n 1,2,)，其中i为虚数单位，zn表示z的共轭复数，则Z2015的值为4. 在矩形 ABCD 中，AB 2, AD 1,边 DC 上(包含D、C )的动点 P 与 CB 延长线上(包 含点 B)的动点 Q 满足 pP|BQ，贝 U 向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA

2、 PQ 的最小值为5. 在正方体中随机取 3 条棱，他们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy中，点集K (x,y)(x 3y 6)(3x y| 6) 0所对应的平面区 域的面积为7. 设w是正实数，若存在a,b( a b 2 )，使得 sinwa sinwb 2，则w的取值范围是8. 对四位数abcd (1 a 9,0 b,c,d 9)，若a b, b c,c d，则称 abcd 为 P 类数；若a b,b c, c d则称 abcd 为 Q 类数.用N(P), N(Q)分别表示 P 类数和 Q 类数的个数，则N(P) N(Q)的值为二解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分.解答应写

3、出文字说明、证明过程或演算步骤。9.(本小题满分 16 分)若实数a,b,c满足2a4b2c,4a2b4c，求 c 的最小值。10. (本小题满分 20 分)设a1,a2,a3,a4是 4 个有理数，使得求a1a2a3a4的值。211. (本小题满分 20 分)在平面直角坐标系xOy中，RE 分别是椭圆y21的左、右2焦.设不经过焦点 R 的直线 I 与椭圆交于两个不同点A, B,焦点 F2到直线 I 的距离为 d。如果直线 AF1,l, BF1的斜率依次成等差数列，求 d 的取值范围。2015 年全国高中数学联合竞赛加试、(本小题满分 40 分)设a1,a2, ,an(n 2)是实数，证明：

4、可以选取1,2使得：二、(本小题满分 40 分)设S A,A2, ,An，其中A,A2, ,An是 n 个互不相同的有限集合(n 2)，满足对任意A,AjS，均有AiAjS若 k mi nA 2.证明：存在1 i n inxUA,使得x属于AI,A2, ,An中的至少-个集合(这里 X 表示有限集合 X 的元素个数)ik三、(本小题满分 50 分)如图， ABC 内接于圆 O, P 为弧 BC 上一点，点 K 在线段 AP 上，使得 BK 平分 ABC. 过 K,P,C三点的圆 与边 AC 交于点 D， 连接 BD 交圆 于点 E， 连接 PE 并延长与边 AB 交与点 F.证明：ABC2 F

5、CB四、(本小题满分 50 分)求具有下述性质的所有正整数 k :对任意正整数n，2(k 1)n 1不整除皿n!2015 年全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分；其他各题的评阅，请严格按 照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。如果考生的解答和本解答的不同，只要给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参考本评分 标准适当划分档次评分，解答题中第 9 题 4 分为一个档次.第 10、11 小题 5 分为一个档次, 不要增加其他中间档次.一、填空题：本大题共 8 小题，没小题 8 分，满分 64 分。1.答案：42.答案：2

6、3.答案：2015 1007i【解答】由已知，对一切正整数于是z2015z,1007 (2 i) 2015 1007i4.答案：31,1,【解答】 由已知条件及二次函数图像的对称性， 可得:-，及 2a b20.所以【解答】由条件可知cos2sin，反复利用此结论,并注意到2CO.2sin1，得彳2 - 214cos sincossinsin2sin=(1 sin )(1cos2)2 sin2cosn，有得点 Q 的作标为(2, -t)，故 PA ( t, 1)，PQ (2 t, t 1)，因此【解答】不妨设A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，设P的坐标为(t,1)(其中 0 t2)，则

7、由DP|BQ1. .3当t-时，(PA PQ)max -245.答案：55【解答】设正方体为 ABCD EFGH，它共有 12 条棱，从中任意取出 -条的方法共有C-2220种。下面考虑三条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定-个互不平行的方向(即 AB、 AD、AE的方向)，具有相同方向的 4 条棱两两共面，因此取出的-条棱必属于-个不同 的方向.可先取定AB 方向的棱，这有 4 种取法。不妨设取的棱就是 AB，则 AD 方向只能 取棱 EH 或者 FG,共有2 种可能.当 AD 方向取棱是 EH 或者 FG 时，AE 方向取棱分别只 能是 CG 或者 DH。【解答】设K-(x,y)|x

8、| -y 6 0，先考虑 K-在第一象限中的部分，此时有x -y 6故这些点对应于图中的 OCD 及其内部.由对称性可知，K-对应的区域是图中以原点 0 为 中心的菱形 ABCD 及其内部。同理设K2(x,y)|3x y| 6 0，则&对应的区域是图中 0 为中新的菱形 EFGH 及其内部.由点集 K 的定义可知，K 所对应的平面区域是被KI,K2中恰好一个所覆盖的部分，因 此本题所要求的即为图中阴影区域的面积 S由于直线 CD 的方程为x -y 6，直线 GH 的方程为-x y 6，故他们的交点 P 的坐标为(爲)，由对称性可知:8SCPG7.答案：W 4,2【解答】由 sinwa

9、sinwb 2 可知，sinwa sinwb 1，而wa,wb w ,2w 故题目条件等价于：存在整数k,l(k l)，使得由上可知，-条棱两两异面的取法数为4*2=8，故所求概率为-2205524.答案：24w 2k 212w2 2当 w 4 时寸， 区1间w ,2w的长度不小于 4，故必存在k,l满足式,当 0 w4 时, 注意到w ,2w (0,8 )，故仅需要考虑如下几种情况:(1)w52w1，此时w且w5，无解；2224(2)w592w9，此时有w5；2242(3)w9132w，此时有13w-，得13w 4224248.答案:285【解答】分别记 P 类数、Q 类数的全体为 A、B，

10、再将个位数为 0 的 P 类数全体记为A0, 个位数不等于 0 的 P 类数全体记为A .对任一个四位数 abed A,将其对应到四位数 deba，注意到a b,b c,c d 1，故abedB.反之，每个 debaB唯一对应于 Ai中的元素 abed.这建立了 Ai与 B 之间的一一 对应，因此有：N(P) N(Q)= A|B A A |BAO下面计算AO:对任一个四位数 abeOAO, b 可取0,1, ,9，对其中每个 b，由 b a 9 及 b e 9 知，a和e分别有 9 b 种取法，从而因此，N(P) N(Q )=285.二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分.解答应写出文

11、字说明、证明过程或演算步骤。9.【解答】将2a,2b,2e分别记为x,y,z，则x,y,z 0.由条件可知：x y2乙x2y z222、2224故z y x (z y ) z 2y z y因此，结合平均值不等式可得，zy/-(2y2- -) -332 y2 1 13322y 4yy4、/y y4当2y2 1，即y丄 时，z的最小值为-V2(此时相应的x的值为工2，符合要求)y幼244由于 e log2z，故e的最小值为log2(332) log23 -4310.【解答】由条件可知，qaj(1 i j 4)是 6 个互不相同的数，且其中没有两个数是互为相反数，由此知，a1,a2,a3,a4的绝对

12、值互不相等，不妨设 印a?a3a，那么则y-!心 m,y2kx2m，所以有:aiaj(1 ij 4)中最小的与次小的两个数分别是aa2及 aja3,最大与次大的两个数分a4,及 a2)a4，从而必须有:于是a2-,a3丄,a4 24，故8aa2结合 a1Q，只可能取 a -411由此易知，31, a?34,846或3142经检验知这两组解均满足问题的条件。故a1a2a3a4941严4,a4 611. 【解答】由已知条件可知，点 尺丁2的坐标分别为(1,0)和(1,0).设直线 I 的方程为y kx m，点 A,B 的坐标分别为(为，)和(x2,y2)，则 x1,x2满足方程2-(kx m)21

13、，即:2(2k21)x24kmx (2m22)0由于点 A,B 不重合，且直线 I 的斜率存在，故 x1,x2是方程的两个不同实根，因此有的判别式：即有2k21 m2由直线 AF1,I,BF1的斜率x11k、-依次成等差数列知,x21y1yx-i1x21化简并整理得,(m k)(x1x22)若 m k，贝U直线 I 的方程为ykx k，即 I 经过点F( 1,0)，不符合条件因此有为 x22 0，故由方程及韦达定理知,2k4km2k21(为X2)2，即2j由可知，2k21 m2 (k刃2，化简得*只，这等于k孑nai)2i 1n2(aii 1naj)2丄1(nn1)(a2)i 1即对i 1,

14、,n，取2的整数部分）事实上，的左边为:1，对i21,n，取1 符合要求（这里，X表示实数 xn2(aii 1naj)2n 12aii 12aj) =2( a)nn2(aj)2可n2叽印）2(nna：)（柯西不等式）反之当m,k满足及 k空时，I 必不经过点 Fi（否则将导致 m k，与矛盾）2而此时m,k满足，故 I 与椭圆有两个不同的交点 A,B，同时也保证了 AFi,BFi的斜率存在,盾。）考虑到函数f（t） 2（t3）在1,、.3上单调递减，故由可得，fc、3） d f（1），即2 t2015 年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准说明：1评阅试卷是，请严格按照本评分标准的评分档

15、次给分；2如果考生的解答方法和本题解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评 分标准适当划分档次评分，一、证明：我们证明：（否则 X1,X2中某一个为-1，结合 X1X220 知 x1x21与方程有两个不同的实根矛点 F2（1,0）到直线l :m的距离为（1, .3），上式可改写为t石|) 2 (tt 2 2210 分为一个档次，不要增加其他中间档次。kxk m注意到k，则t3)- (21d1 k2.k22jBi, B2, ,Bs,设包含A的集合有 t 个，重新记为Ci,C2, ,Ct，由已知条件，（BjAi）S即（BiAi） Ci，C2，,CJ，这样我们得到一个映射:显然f是单映射

16、，于是s t设Ai3i,32, ,3k.在A,A2, ,An中除去Bi,B2, ,Bs,Ci,C2, ,Ct后，再剩下的 n s t 个集交非空，即包含某个3i，从而三、证明：设 CF 与圆 交于点 L（异于C），连接 PB,PC,BL,KL. 注意到此时C,D,L,K,E,P 六点均在圆因此FBLsFCB,因此： FLB即B,K,L三点共线。再根据FBLsFCB 得：1FCB FBL FBE ABC，2四、【解答】对正整数 m,设 V2（m）表示正整数 m 的标准分解中素因子 2 的方幕，则v2(m!) m S(m)这里S（m）表示正整数m在二进制表示下的数码之和。a2)i i2(宁)(.J

17、na：)：i2n(a2)i i(nn2i）（ aj）J吩i从而本题得证。(利用x x)所以式得证，二、证明：不妨设 A k，设在Ai,A2, ,An中与 Ai不相交的集合有s 个，重新记为合中，设包含ai的集合有Xi个（ik），由于剩下的 n s t 个集合中每个集合与 A 的不妨设x-imax xi，则由上式可知i i k集合至少有ndJ 个.又由于Ak合个数至少为n s t+t =n s （k i）t n s kkXiCi(in匚丄，即在剩下的 n s t 个集合中，包含ai的k1, ,t），故Ci,C2, ,Ct都包含 ai，因此包含 ai的集k-（利用k 2，n（利用七s，上，结合 A

18、,B,P,C 四点共圆，可知:FBC APC KPC FLK ,即 ABC 2 FCB由于 2(ki)ni不整除 皿 等价于v2(如)(k i)n，即 kn V2(kn!)n V2(n!)n!n!综上所述的两个方面可知，所求的 k 为2 (0,1,2,)进而由可知，本题等价于求所有正整数k，使得S(kn) S(n)对任意正整数 n 成立.我们证明，所有符合条件的 k 为2a(a 0,1,2 )一方面，若 k 不是 2 的方幕，设k 2aq,a 0，q是大于 1 的奇数。下面构造一个正整数 n，使得S(kn) S(n)，因为S(kn) S(2aqn) S(qn)因此问题等价于我们选取 q 的一个倍数 m,使得S(m) S(m