工程有限元方法几何非线性要点PPT39页

1、有限元方法与应用有限元方法与应用几何几何非线性非线性张有为张有为 工程力学系工程力学系几何非线性要点几何非线性要点 几何几何非线性问题分类非线性问题分类 大位移、大转角、小应变大位移、大转角、小应变 大大位移、大转角位移、大转角、大应、大应变变 几何非线性有限元分析几何非线性有限元分析 应变和应力的度量应变和应力的度量 几何非线性有限元格式几何非线性有限元格式 有限元方程及其解法有限元方程及其解法 大变形本构关系大变形本构关系 稳稳定定性分析性分析1 几何非线性问题的分类几何非线性问题的分类几几何非线何非线性的来源：性的来源：结构的位移使体系的受力状态发生了显结构的位移使体系的受力状态发生了显

2、著的变化，以致不能采用线性体系的分析方著的变化，以致不能采用线性体系的分析方法法 (1) 大大位移、大转动、小应位移、大转动、小应变变如高层建筑、大跨度钢架结构的结如高层建筑、大跨度钢架结构的结构分析大多属于此类问题构分析大多属于此类问题分析类型分析类型特点特点描述方法描述方法应力和应变应力和应变大位移大位移大转动大转动小应变小应变线元的位移和转动充分线元的位移和转动充分大，但线元的伸长和线大，但线元的伸长和线元之间的角度改变无限元之间的角度改变无限小，应力应变关系是线小，应力应变关系是线性的或非线性的性的或非线性的完全完全Lagrangian描述描述Kirchhoff应力应力Green应变应

3、变更新更新Lagrangian描述描述Cauchy应力应力Almansi应变应变1 几何非线性问题的分类几何非线性问题的分类 (2) 大位移、大转动、大应变大位移、大转动、大应变如金属的压力加工问题如金属的压力加工问题分析类型分析类型特点特点描述方法描述方法应力和应变应力和应变大位移大位移大转动大转动大应变大应变线元的伸长和线元之间线元的伸长和线元之间的角度改变充分大，线的角度改变充分大，线元的位移和角度也可以元的位移和角度也可以充分大，应力应变关系充分大，应力应变关系是线性的或非线性的是线性的或非线性的完全完全Lagrangian描述描述Kirchhoff应力应力Green应变应变更新更新L

4、agrangian描述描述Cauchy应力应力Almansi应变应变2 应变和应力的度量应变和应力的度量 2.1 应变的度量应变的度量 构型描述构型描述结构初始构型结构初始构型2 应变和应力的度量应变和应力的度量 坐标变换坐标变换正变换正变换逆变换逆变换Lagrange描述描述基于变形前的构型表述变形后的构型。以基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数，描述各变形前的各点坐标为基本未知数，描述各个量。个量。Euler描述描述基于变形后的构型表述变形前的构型。以基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数，描述各变形后的各点坐标为基本未知数，描述各个量

5、。个量。2 应变和应力的度量应变和应力的度量 变形梯度变形梯度PQ两邻近点的矢径差两邻近点的矢径差变形梯度变形梯度2 应变和应力的度量应变和应力的度量 例例1：平面三角形单元的转动和拉伸：平面三角形单元的转动和拉伸已知线性三角形单元三节点坐标随时间变化的关系如下，求单元转动和拉伸过程中的变已知线性三角形单元三节点坐标随时间变化的关系如下，求单元转动和拉伸过程中的变形梯度形梯度坐标转化坐标转化结合结合变形梯度变形梯度2 应变和应力的度量应变和应力的度量2 应变和应力的度量应变和应力的度量 Green应变张量及应变张量及Almansi应变张量应变张量Green-Lagrange应变张量应变张量Al

6、mansi应变张量应变张量Green-Lagrange应变张量简称应变张量简称Green应变张量，其是用变形前坐标表应变张量，其是用变形前坐标表示的，即它是示的，即它是Lagrange坐标的函数坐标的函数Almansi应变张量是用变形后坐标表示的，即它是应变张量是用变形后坐标表示的，即它是Euler坐标的函数坐标的函数Green和和Almansi应变张量的转换关系应变张量的转换关系2 应变和应力的度量应变和应力的度量 应变应变-位移关系位移关系Green应变张量应变张量Almansi应变张量应变张量小变形情况下，小变形情况下，Green应变张量和应变张量和Almansi应变张量中的二次项较小，

7、可以应变张量中的二次项较小，可以忽略，同时可忽略参考位形之间的差别，则有忽略，同时可忽略参考位形之间的差别，则有2 应变和应力的度量应变和应力的度量 例例2：一维问题中几种应变的计算：一维问题中几种应变的计算Green应变应变Almansi应变应变工程应变工程应变2 应变和应力的度量应变和应力的度量 例例2：一维问题中几种应变的计算：一维问题中几种应变的计算Green应变应变Almansi应变应变工程应变工程应变2 应变和应力的度量应变和应力的度量 例例3：刚体转动情况下：刚体转动情况下Green应变张量的不变性应变张量的不变性链式求导法则链式求导法则2 应变和应力的度量应变和应力的度量真实应

8、力，即当前时刻单位真实应力，即当前时刻单位面积上的力构成的张量，是面积上的力构成的张量，是对称张量对称张量变形后表面上的应力变形后表面上的应力变形前表面上的应力变形前表面上的应力2 应变和应力的度量应变和应力的度量 变形前后相应面上力的关系变形前后相应面上力的关系Lagrange规定规定Kirchhoff规定规定与坐标变换规律相同与坐标变换规律相同二维二维Lagrange和和Kirchhoff应力规定示意图应力规定示意图2 应变和应力的度量应变和应力的度量 应力的定义应力的定义2 应变和应力的度量应变和应力的度量 应力之间的关系应力之间的关系由质量守恒可得由质量守恒可得应力之间的关系应力之间的

9、关系2 应变和应力的度量应变和应力的度量 例例4：纯转动物体的应力：纯转动物体的应力已知二维物体纯转动时的变形梯度以及初始状态的已知二维物体纯转动时的变形梯度以及初始状态的Cauchy应力分别为应力分别为转动后的转动后的Cauchy应力应力转动后的第一转动后的第一Piola-Kirchhoff应力应力转动后的第二转动后的第二Piola-Kirchhoff应力应力纯转动中纯转动中PK2应力是不变的，即应力是不变的，即PK2应力应力可 以 看 作 是 嵌 入 在 材 料 中 的 ； 或可 以 看 作 是 嵌 入 在 材 料 中 的 ； 或Lagrange坐标随着物体转动而转动，而坐标随着物体转动而

10、转动，而PK2应力分量始终与应力分量始终与Lagrange坐标取向保坐标取向保持关联持关联PK1应力物理意义不明确，非零应力成为应力物理意义不明确，非零应力成为了剪应力；很难被用于本构方程，主要了剪应力；很难被用于本构方程，主要用于简化动量方程和有限元方程用于简化动量方程和有限元方程2 应变和应力的度量应变和应力的度量 例例5：单轴应力：单轴应力考虑如图所示的单轴应力杆件，将考虑如图所示的单轴应力杆件，将PK1、PK2和单和单轴轴Cauchy应力联系起来应力联系起来Cauchy应力应力(单轴应力状态单轴应力状态)PK1应力应力PK2应力应力PK2应力物理意义不明确应力物理意义不明确变形梯度变形

11、梯度3 几何非线性有限元格式几何非线性有限元格式 3.1 虚位移原理虚位移原理(虚功原理虚功原理)3 几何非线性有限元格式几何非线性有限元格式无穷小应变变分为无穷小应变变分为(1)3 几何非线性有限元格式几何非线性有限元格式几点讨论几点讨论3 几何非线性有限元格式几何非线性有限元格式T.L.格式的增量形式的虚功原理，虚功原理由当前位形转换到初始位形上格式的增量形式的虚功原理，虚功原理由当前位形转换到初始位形上(3) 3.2 完全完全Lagrangian格式格式3 几何非线性有限元格式几何非线性有限元格式(5) 3.3 更新更新Lagrangian格式格式3 几何非线性有限元格式几何非线性有限元

12、格式(1) 本构关系的线性化本构关系的线性化 3.4 平衡方程的线性化平衡方程的线性化假定应力增量和应变增量成线性关系，即假定应力增量和应变增量成线性关系，即T.L.格式格式U.L.格式格式3 几何非线性有限元格式几何非线性有限元格式(2) 求解格式的进一步线性化求解格式的进一步线性化T.L.格式格式引引入线性本构关系入线性本构关系线性项线性项非线非线性项性项T.L.格式格式U.L.格式格式U.L.格式略格式略4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法 4.1 有限元方程有限元方程(1) 静力问题静力问题节点及位移插值节点及位移插值4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法T.L.格式有限元方程格

13、式有限元方程两式中均引两式中均引入了非线性入了非线性4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法U.L.格式有限元方程格式有限元方程4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法(2) 动力问题动力问题T.L.格式有限元方程格式有限元方程U.L.格式有限元方程格式有限元方程4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法 4.3 方程求解方程求解1.基本思想基本思想：在每个时间步：在每个时间步(增量步增量步)中，采用非线性方程的求解方法，中，采用非线性方程的求解方法，进行迭代求解。进行迭代求解。a)常用方法：直接迭代法，常用方法：直接迭代法，N-R方法等方法等2.几何非线性问题的求解包括两层迭代几何非线性问题的

14、求解包括两层迭代(循环循环)：a)外层循环外层循环(增量增量)：对时间步或荷载增量步循环：对时间步或荷载增量步循环b)内层循环内层循环(迭代迭代)：求解各时间步：求解各时间步(增量步增量步)导出的非线性方程，导出的非线性方程，通过迭代求解该时间步通过迭代求解该时间步(增量步增量步)后的相应未知量后的相应未知量4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法 4.4 T.L.和和U.L.格式的区别格式的区别1.参考构形不同参考构形不同2.T.L.法包含初位移矩阵，法包含初位移矩阵， U.L.法不含此矩阵，平衡方程更为简洁法不含此矩阵，平衡方程更为简洁3.T.L.法中，计算初应力和节点力时均采用法中，计算

15、初应力和节点力时均采用Kirchhoff应力应力(PK2应力应力)，在求解过程中应力可直接叠加，在求解过程中应力可直接叠加，U.L.法中计算初应力和节点力时采法中计算初应力和节点力时采用的是用的是Cauchy应力，因此须将求得的应力，因此须将求得的Kirchhoff应力应力(PK2应力应力)增量增量进行变换，才能叠加进行变换，才能叠加4.T.L.的坐标变换矩阵在增量求解的过程中保持不变，而的坐标变换矩阵在增量求解的过程中保持不变，而U.L.每个迭每个迭代步都需重新计算坐标变换矩阵代步都需重新计算坐标变换矩阵5.U.L.更容易引进非线性本构关系，更适于非弹性大应变分析更容易引进非线性本构关系，更适于非弹性大应变分析5 大变形本构关系大变形本构关系 5.1 大位移、大转动、小应变情况大位移、大转动、小应变情况(1) 弹性弹性5 大变形本构关