电磁感应与麦克斯韦方程组2010

1、第第20章电磁感应与麦克斯韦方程组章电磁感应与麦克斯韦方程组 m变化变化 回路中产生回路中产生Ii电磁感应电磁感应典型情形：典型情形： 不变不变, ,回路变回路变. (动生动生)BB回路不变回路不变, ,变变. (感生感生)BL法拉第定律法拉第定律动生电动势动生电动势感生电动势和感生电场感生电动势和感生电场互感与自感互感与自感磁场的能量磁场的能量麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组主要内容主要内容：表示法表示法 方向：方向：(-)(-)(+)(+)(V(V低低V V高高) )物理意义：物理意义：qA)()(大小：开路电压大小：开路电压( =Vb-Va)20.1 法拉第定律法拉第定律电动势电动势 - -

2、 + +ba把单位正电荷从把单位正电荷从(-)(-)输运到输运到(+)(+)所做的功所做的功. .电源内部存在非静电场电源内部存在非静电场)()()()(l dFA非非静电场场强非静电场场强)()(l dE非场的观点场的观点)()(l dEq非一般：一般：LLl dE非dtdmi计算计算：设定回路设定回路L L的方向的方向( (此即此即 i的正方向的正方向) )右手螺旋右手螺旋法线方向法线方向n法拉第定律法拉第定律 m m法拉第定律法拉第定律 i(0, 则实际方向与所则实际方向与所L, iBn设方向一致；设方向一致；0, 则相反则相反)N匝线圈：匝线圈：dtdmi楞次定律楞次定律感应电流的方向

3、感应电流的方向, ,总是使它产生的磁场总是使它产生的磁场抵抗引起这个感应电流的磁通的变化抵抗引起这个感应电流的磁通的变化Note:磁链磁链mmN其中其中解：解：一导线被弯成半径为一导线被弯成半径为 R的三段的三段圆弧圆弧, ,分别位于三个坐标平面内分别位于三个坐标平面内.均匀磁场沿均匀磁场沿X轴正向轴正向, ,磁感应磁感应强度随时间的变化率为强度随时间的变化率为k(k 0),则回路则回路abca 中感应电动势的数中感应电动势的数值为值为, ,圆弧圆弧bc 中感应电中感应电流的方向为流的方向为.BXYZabcoBL, i感应电动势感应电动势dtdmidtdBR 24kR24 bc中感应电流方向中

4、感应电流方向：从：从c到到b例例20-1金属圆环半径金属圆环半径r=10cm, ,电阻电阻R=1 , ,水平水平放置放置.若地球磁场磁感应强度的竖直分量若地球磁场磁感应强度的竖直分量为为5 10-5T, ,则将环面翻转一次则将环面翻转一次, ,沿环流过沿环流过任一横截面的电量任一横截面的电量q=.解：解：BL设回路设回路L正方向如图正方向如图, ,则有：则有：RIiitt+dt内内：dtIdqiRdtdmRdm例例20-2mmmqdRdq10作积分：作积分：)(1mmRqRBr22)(122BrBrRC61014. 3如图如图, ,电量电量Q均匀分布在长均匀分布在长为为L L的绝缘圆筒上的绝缘

5、圆筒上. .若圆筒若圆筒以角速度以角速度 = 0(1-t/t0)线性线性减速旋转减速旋转, ,则矩形线圈中的则矩形线圈中的感应电流为感应电流为. .解：解：穿过线圈的磁通始终为零穿过线圈的磁通始终为零 i=0Ii=0思考思考 筒内磁场随时间变化的规律？筒内磁场随时间变化的规律？例例20-3特点特点：磁场不变，导体运动：磁场不变，导体运动ab运动运动, ,其中电子受其中电子受洛仑兹力洛仑兹力:BveF洛非EeBvE非20.2 动生电动势动生电动势 Bvcdab动生电动势：动生电动势：abLabl dE非普遍计算式普遍计算式bal dBv)(例例20-4解：解： 转轴在中点转轴在中点两侧各线元上的

6、两侧各线元上的d i两两抵消两两抵消0i导体棒长导体棒长L,L,角速度角速度 . .若若转轴在棒的中点转轴在棒的中点, ,则整则整个棒上电动势的值为个棒上电动势的值为；若转轴在棒的；若转轴在棒的左下端左下端, ,则电动势的值则电动势的值为为. . B r+drrl d转轴在端点转轴在端点于是于是Liidl dBvdi)(则则 rr+dr线元线元: :设设 L方向指向右上端方向指向右上端.vBdrrBdrLrdrB0221BL 思考思考 转轴位于转轴位于L/3L/3处，结果？处，结果？abc Babc为金属框为金属框, ,bc边长边长为为L , ,则则a、c两点间的两点间的电势差电势差Va-Vc

7、=? Hint:整个框整个框 i= ab+ bc+ ca= 0 bc= BL2/2 ca =- BL2/2 ab=0=Va-Vc 例例20-520-5 vI=40A, ,v=2m/s, ,则金则金属杆属杆AB中的感应电中的感应电动势动势 i= , ,电势较高端为电势较高端为端端.解：解：oXxx+dx1m1mIABl d设设 i正方向为正方向为ABl dBvdi)(则则对于对于x-x+dx线元线元, ,有有vBdxxIvdx20于是于是iid2102xdxIv2ln20IvVIvi50101 . 12ln2 i=VB VA0A端电势较高端电势较高思考思考 若金属杆弯曲若金属杆弯曲?20.3 感

8、生电动势和感生电场感生电动势和感生电场1.感生电动势的计算感生电动势的计算特点特点：回路不变，磁场变化：回路不变，磁场变化dtdmiaaIbL, ixx+dxXo如图如图, ,金属框与长直金属框与长直载流导线共面载流导线共面, ,设导设导线中电流线中电流I=I0cos t, ,求金属框中的感生求金属框中的感生电动势电动势 i.例例20-6解：解：设定回路的正方向如图设定回路的正方向如图, ,此即此即 i i的正方向的正方向. .任意时刻任意时刻t t的磁通：的磁通：SdBm BdSbdxxIaa2022ln20Ib感生电动势：感生电动势：dtdIbdtdmi22ln0tbIsin22ln00思

9、考思考若金属框以速率若金属框以速率v右移右移, ,在在t时刻时刻 i=?SdBmbdxxIvtavta202vtavtaIb2ln20dtdmitvtavtabvIcos)121(200tvtavtabIsin2ln200XoL0L1iadcbvL2如图如图, ,t=0时时, ,ab边与边与cd边边重合重合. .金属框自感忽略不金属框自感忽略不计计. . 如如i=I0cos t , ,求求ab边边运动到图示位置时运动到图示位置时, ,金属金属框中的总感应电动势框中的总感应电动势解：解：建立坐标轴如图建立坐标轴如图. .设框中正方向为顺时设框中正方向为顺时针针, ,则在则在t t时刻时刻, ,穿

10、过框的磁通为穿过框的磁通为例例20-7SmSdBSBdSvtdxxtILLL1002cos00dtdmi)cossin)(ln201000tttLLLvI令令 t=L2/v，得得)cossin)(ln222201000vLvLvLLLLvIi思考思考结果中的结果中的“感生感生”项与项与“动生动生”项项? ?感应电动势感应电动势: :01000ln2cosLLLtvtI2.感感生生电场电场来自某种非静电场来自某种非静电场感感生生电场电场非FiE(Maxwell首次提出首次提出)感生电动势感生电动势中：中：洛非FF感生电场与变化的磁场相联系：感生电场与变化的磁场相联系：dtdmiLiil dESS

11、dBdtdSSdtBSLiSdtBl dE对于非导体回路或空间回路对于非导体回路或空间回路, ,上式上式都成立都成立. .Notes:感生电场线是闭合曲线感生电场线是闭合曲线, ,感生电场感生电场又称涡旋又称涡旋( (vortex) )电场电场. .感生电场不是保守场感生电场不是保守场. . 答案：答案：(D)(D)(A)(A)闭合曲线上处处相等闭合曲线上处处相等 在感生电场中电磁感应定律可写成在感生电场中电磁感应定律可写成式中为感生电场的电场强度式中为感生电场的电场强度, ,此式表明此式表明iEdtdl dEmLiiE(B)(B)感生电场是保守场感生电场是保守场. .(C)(C)感生电场的电

12、场线不是闭合曲线感生电场的电场线不是闭合曲线. .(D)(D)在感生电场中不能像对静电场那样引在感生电场中不能像对静电场那样引入电势的概念入电势的概念. .例例20-8* *1.互感现象互感现象互感现象互感现象I12121I21212I1I2(I2所产生所产生)1221(I1所产生所产生) 21 1220.4 互感与自感互感与自感定义互感系数：定义互感系数：212121IIM 2.自感现象自感现象II m m i iB载流线圈中载流线圈中: :自感现象自感现象自感系数自感系数 L L表征线圈产生自感的能力表征线圈产生自感的能力定义：定义：ILm穿过线圈的磁通穿过线圈的磁通线圈中电流线圈中电流I

13、 I BSI单位：单位：H (Henry)，1H=1Wb/A1mH=10-3H1 H=10-6H L L仅依赖仅依赖于线圈的几何及周围磁介于线圈的几何及周围磁介质性质；无铁磁介质时质性质；无铁磁介质时,L,L与与I I无关无关. .对于一个对于一个N N匝线圈：匝线圈：ILm线圈的磁链线圈的磁链Notes:例例20-9当线圈的几何形状、大小及周围磁介当线圈的几何形状、大小及周围磁介 质分布不变质分布不变, ,且无铁磁性物质时且无铁磁性物质时, ,若线若线圈中的电流强度变小圈中的电流强度变小, ,则线圈的自感则线圈的自感系数系数 L L答案：答案：(C)(C)(A)(A)变大变大, ,与电流成反

14、比关系与电流成反比关系. .(B)(B)变小变小. . (C)(C)不变不变. . (D)(D)变大变大, ,但与电流不成反比关系但与电流不成反比关系. .例例20-10长直螺线管的自感系数长直螺线管的自感系数(管长管长d, ,截面积截面积S, ,单位长度上匝数单位长度上匝数n)解：解：设通电流设通电流I，则管内，则管内 B= 0nI m=N B S螺管体积螺管体积L= m/I= 0n2V若管内充满某种磁介质若管内充满某种磁介质, ,则则 L= 0 rn2V. 细细螺绕环的自感系数表达式同此螺绕环的自感系数表达式同此.Note:= 0n2VI=nd0nI S自感电动势自感电动势dtdILdtd

15、mi( i与与I两者正方向一致两者正方向一致)上式仅适用于无铁磁介质上式仅适用于无铁磁介质 (L不随不随I变化变化)的情形的情形.L的另一定义的另一定义dtdILiNotes:I I , , i iB20.5 磁场的能量磁场的能量1.载流线圈的磁能载流线圈的磁能baLii：0I i阻碍电流增长阻碍电流增长电场力克服电场力克服 i做功做功, , 此此功转化为磁能功转化为磁能.ii+di过程过程(tt+dt), ,电场力做功：电场力做功：dA= - idq i= Ldi/dt= Ldi/dt idt =Lidi0I过程过程, ,电场力做的总功：电场力做的总功：2210LILidiAI载流线圈的磁能

16、：载流线圈的磁能：221LIAWm上式适用于上式适用于L一定一定(即即L不随不随I变化变化) )的任意的任意载流线圈载流线圈用线圈的自感系数用线圈的自感系数L来表示载流线圈来表示载流线圈磁场能量的公式磁场能量的公式Wm=LI2/2 (A)只适用于无限长密绕螺线管只适用于无限长密绕螺线管.(B)只适用于单匝圆线圈只适用于单匝圆线圈. (C)只适用于匝数很多且密绕的螺线环只适用于匝数很多且密绕的螺线环 (D)适用于自感系数适用于自感系数L一定的任意线圈一定的任意线圈.答案：答案：(D)(D)例例20-11QP 线圈线圈P的自感和电阻分别是的自感和电阻分别是线圈线圈Q的两倍的两倍, ,两线圈间的两线

17、圈间的互感忽略不计互感忽略不计, ,则则P与与Q的的磁场能量的比值为磁场能量的比值为(A)4 (B)2 (C)1 (D)1/2解：解：W=LI2/22)(QPQPQPIILLWW2)21(221)(D思考思考若两线圈串联，结果？若两线圈串联，结果？例例20-122.磁场能量密度磁场能量密度载流细螺绕环：载流细螺绕环：管内管内 B= 0nI管外管外 B=0磁能磁能221LIWm22021IVnVB022 I 磁场能量密度：磁场能量密度：022Bwm3.磁场的能量磁场的能量dVwWmmrmBw022若环内充满某种磁介质若环内充满某种磁介质, ,则则磁场能量磁场能量密度为密度为(普遍成立普遍成立)N

18、ote:两个长度相同、匝数相同、截面积不同两个长度相同、匝数相同、截面积不同的长直螺线管的长直螺线管, ,通以相同大小的电流通以相同大小的电流.现现将小螺管放入大螺管里将小螺管放入大螺管里, ,且使两者产生且使两者产生的磁场方向一致的磁场方向一致, ,则小螺管内的磁能密则小螺管内的磁能密度是原来的度是原来的倍倍. 解：解：单个螺管单个螺管: B= 0nI放入后放入后, ,小螺管内小螺管内: B =2B022Bwm4/22BBwwmm思考思考系统的磁能是否与原来相等？原因？系统的磁能是否与原来相等？原因？例例20-13,(202）小大VVBW）小小大VVVBW4(20220.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 In 1864, , J.C.Maxwell：Dynamical Theory of the Electromagnetic FieldVSdVSdD自由电荷密度自由电荷密度的高斯定律的高斯定律D(反映电场的有源性反映电场的有源性)0SSdB磁场的高斯定律磁场的高斯定律( (反映磁场的无源性反映磁场的无源性) )SLSdtDJl dH)(普遍的安培环路定理普遍的安培环路定理( (反映电流和变化的电场与磁场的联系反映电流和变化的电场与磁场的联