排列组合精讲

1、 元   素 通常人们把被取的对象 (不管它是什么)叫做元素。 如若我们研究对象为数字 (如1、2、3、4、5等)那么，这些数字也叫做元素；若我们研究的对象为地名(如：北京、上海、广州、南京等)，那么这些地名也一样可叫做元素；若我们研究的对象为字母(如：a、b、c、d等)，那么这些字母也可叫做元素；若我们研究的对象为分子(如：Cl、Br2、H2、HCl等)，那么这些分子也一样可叫做元素；若我们研究的对象为一个人(如：张三、李四、王五等)，那么这些人也可叫做元素 排   列 那么，一般地说，从 n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元

2、素中取m个元素的一个排列。 例如：已知 a、b、c、d这四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列。 对于初学者可以先画下图来算出： 看上图 V所指的字母及第二排字母三个排成一列即可得到下列排列(这就是a、b、c、d这四个元素中每次取3个元素所得的所有排列)： 有共 24个排列，这个数值24是可以根据乘法原理算出来的。数学中的乘法原理为：做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm2×m1×m3××mn种不同的方法。据此从a、b、c、d这四个元素中每次取出三个排

3、成三位数的方法共有N××种。 数学中有一个排列数公式： 从 n个不同元素中取出m(m - n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号Pnm表示，(P是“排列”一词的英文Permatation的第一个字母)，在数学课本中根据乘法原理可推出排列数的公式为：     Pmnn(n）(n）(nm） 公式中的 n,mN,且m n 例如：从 8个元素中每次取3个元素出来排列，所得的排列数则为 38×（）（）×× (种) 例如：从 8个元素中每次取5个元素出来排列所得的排列数为 58×

4、（）×（）×（）×（）×××× 例如：从 8个元素中每次取2个元素出来排列，所得的排列数为 28×（）× 例如：从 8个元素中每次取4个元素出来排列，所得的排列数为P48×（）×（）×（） ××× 在排列数公式中，当 mn时，有： nnn（n）（n）×× 这表明， n个不同元素全部取出来排列的排列数等于自然数1到n的连乘积。n个不同元素，全部取出的一个排列叫做n个不同元素的一个全排列。自然数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!表

5、示，所以n个不同元素的全排列数公式则为： nnn! 前面所讲的排列数公式可作如下变形： mnn（n）（n）（nm） 因此排列数公式还可写成下列形式： (注意：为了使这个公式在mn时也成立，我们规定0!1，这时nnn!)例如，从8个元素中全部取出来的排列数则为：8的阶乘。 P88××××××× 从上述几个例子的分析可见，从 8个元素中分别取2、3、4、5、6、7、8个出来排到所得的排列数的总和高达数万。要是我们将几个思维法进行排列，也会得出许许多多不同思维顺序的新思维法；要是我们思考问题时使用几种思维法去思维，若这几种思维法的

6、使用先后顺序不同，也会产生许许多多不同的思维效果。可见，排列是一种很重要的方法。组   合 一般地说，从 n个不同元素中，任取m(m n)个元素出来拼成一组，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 从 n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示，C是“组合”的英文Combination的第一个字母。 例如，前面讲到的从 a、b、c、d这四个元素中取3个元素出来的排列与组合的关系如下：组合数           排列数

7、 由上分析可以看出，对于每一个组合都有 6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取3个元素出来排列的排列数为P34，可接下列两步来考虑。 第一步：从 4个不同元素中取出3个元素作组合，共有C34个组合； 第二步：对每一个组合中的 3个不同元素作全排列，各有P336个排列。 这样，再根据乘法原理即得： P3434×33； 而从上式得： 将上述公式变成通式： 一般地说，求从 n个不同元素中取出m个元素排列的排列数为Pmn，可按下列两步来考虑： 第一步：先求出从这 n个不同的元素中取出m个元素的组合数为Cmn； 第二步：求每一个组合中 m个不同元素的全排列数Pmm。根据乘法原理则得到： P

8、mnmn×mm 因此而得： 即 注意：这里的 n,mN，且m n，这个公式就叫做组合数公式。又因为所以上述组合数公式还可以写成： 例如：从 8个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合数为：例如：从 4个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合数为： 例如：从 8个不同元素中每次取5个元素出来组合所得的组合数为： 显见，这个组合数与前面从 8个不同元素中每取3个元素出来组合所得的组合数是相等的，即C5838，同理C1434、C62C46、C52C35、 因此有公式： CnmCn-mn(这为组合数的性质定理1) (注意：为了使这个公式在nm时也成立，我们规定C0n) 这是组合数的其中一个性

9、质，此外，组合数还有另一个性质为： CmnCmnCm-1n(这为组合数的性质定理2)。 例如：计算 C98100和C320C220 解：由组合数的性质定理 1可得：而由组合数的性质定理 2可得：下面我们就详细算一算从 5个不同元素中每次分别取1、2、3、4、5种元素出来组合所得的组合数： 这 5个不同元素进行不同的组合所得的组合数共为5我们从5种不同元素中每次分别取出1、2、3、4、5种元素出来排列所得的排列数分别为：P15 P25×P35××P45××× P55×××× 这样从 5种不同元素中每次每1、2、3、4、5种元素