《函数的单调性和最大(小)值》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】

1、函数的单调性与最大（小）值教学设计第一课时函数的单调性教材分析J通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大 （减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。 掌握用定义证明函数单调性的步骤。函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。教学目标、【知识与能力目标】1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义；2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质；3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。【过程与方法目标】借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会

2、数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。【情感态度价值观目标】通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。 教学重难点【教学重点】函数单调性的概念。【教学难点】判断、证明函数单调性。 课前准备-从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、 交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。 教学过程（一）创设情景，揭示课题德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。他经过测试，得到了以下一些数据:时间间 隔 t刚记忆 完毕20分钟 后60分钟 后8-9小时后1天后2天后6天后一个月 后

3、记忆量 y（百分 比）loo58.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数。艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”如图：思考1：当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2： “艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？（二）研探新知观察下列各个函数的图像，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1）随x的增大，y的值有什么变化?2 能否看出函数的最大、最小值?3）函数图像是否具有某种对称性?画出下列函数的图像，观察其变化规律:

4、思考1:这两个函数的图像分别是什么？二者有何共同特征？思考2:如果一个函数的图像从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时,函数值y的变化情况如何？思考3:如图为函数f(x)在定义 域I内某个区间D上的图像，对于该区间上任意两个自变量x1和x2,当x1<x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系如何?10 / 9思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数 f(x)在区间D上是增函数”？1、函数单调性定义(1)增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自变量x1 , x2,当x1<x2时，都有 f(x1)&l

5、t;f(x2),那么就说 f(x)在区间 D上是增函数 (increasing function )。思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义。(学生活动)注意：1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质;2)必须是对于区间 D内的任意两个自变量Xi , x2；当xi<X2时，总有f (xi)< f(x2)。2、函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D叫做y=f(x)的单调区间。(三)例题讲解例1、如图是定义在闭区间-5 , 6上的函 数y=f(x)的图像，根据图像说出

6、y=f(x)的单 调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数。k例2、物理学中的玻意耳定律 P k(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当 V其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性定义证明。x 1例3、试确定函数f(x) 在区间(0,)上的单调性。 x3、判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定白区间D上的单调性的一般步骤：任取 xi, xz D,且 xi<x2；作差 f (xi) f (x2)； 变形(通常是因式分解和配方)； 定号(即判断差f(xi) f (x2)的正负)；下结论(即指出函数 f (x)在给定白区间D上的单调性)。(四)

7、课堂练习：1、课本P38练习第3题；12、证明函数y x 一在(1, +oo)上为增函数。 x3、借助计算机作出函数 y = -x2 +2 | x | + 3 的图像并指出它的的单调区间。1思考：回出反比例函数 y 的图像。 x 这个函数的定义域是什么？它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论。说明：本例可利用几何画板、函数图像生成软件等作出函数图像。(五)课堂小结函数的单调性一般是先根据图像判断，再利用定义证明。画函数图像通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值一作差一变形一定号一下结论。(六)布置作业1、书面作业：课本P45习题1 . 3 (A

8、组)第1- 5题。2、提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f (xy)=f(x)+f(y),1)求 f(0)、f(1)的值;2 若f （3）=1 ,求不等式f（x）+f（x-2）1的解集。教学反思略。第二课时函数的最大（小）值教材分析在函数单调性基础上， 学生已经体会了在定义域范围内函数值大小的变化，本节课将这种函数值大小更加具体化， 进一步认识在定义域范围内函数的最大、 最小值，并初步接触简 单的求函数最大、最小值的方法，同时对于常见函数模型有进一步的接触和认识。教学目标J【知识与能力目标】1、理解函数的最大（小）值及其几何意义；2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质。【过程与方法目

9、标】通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图像的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图像的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识。【情感态度价值观目标】利用函数的单调性和图像求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性。教学重难点-）【教学重点】函数的最大（小）值及其几何意义。【教学难点】利用函数的单调性求函数的最大（小）值。课前准备引导学生进行课前复习和预习，加强对函数单调性的认识，对函数最大、最小值有个初步的认识和了解。教学过程(一)创设情景，揭示课题问题提出：1、确定函数的单调性有哪些手段和方法？2、函数图像上升与下降反映了函数的单调性

10、，如果函数的图像存在最高点或最低点, 它又反映了函数的什么性质？(二)研探新知观察下列两个函数的图像:思考1:这两个函数图像有何共同特征？函数图像上最高点的纵坐标叫什么名称？思考2:设函数y=f (x)图像上最高点的纵坐标为 M则对函数定义域内任意自变量 x,f(x) 与M的大小关系如何？思考3:设函数f(x)=1-x：则f(x)w2成立吗？ f(x)的最大值是2吗？为什么？思考4:怎样定义函数f(x)的最大值？用什么符号表示？函数最大(小)值定义(1)最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ,如果存在实数 M满足:(1)对于任意的xC I ,都有f(x) wm；(2)存在 xo I ,

11、使得 f (xo) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值(Maximum Value)。思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值(Minimum Value )的定义。(学生活动)注意：函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在xo I ,使得f(X0)= M ; 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的xCI,都有f(x)(f(x)M)。(三)例题讲解2例1、(教材P37例4)求函数y 在区间2 , 6上的最大值和最小值。x 1例2、(新题讲解)一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价(元)住房率(%

12、)16055140651207510085欲使每天的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系。设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为x(160 x)元时，住房率为(55 10)% ,于是得20xy =150 - (160 x) - (55 10)%。20由于(55 10)% <1,可知 0w x w 90。20因此问题转化为：当 0wxw90时，求y的最大值的问题。将y的两边同除以一个常数 0.75 ,得y由于一次函数y 1在x=25时取得最大值，位应是16025=135

13、(元)，相应的住房率为以该客房定价应为135元。(当然为了便于管里说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔1=- x +50x +17600。可知y也在x=25时取得最大值，此时房价定67.5%,最大住房总收入为 13668.75 (元)。所1,定价140元也是比较合理的)细审清题意，适当设出变量，建立适当的函2数模型，然后利用二次函数的性质或利用图像确定函数的最大（小）值。利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法。利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值;2）利用图像求函数的最大（小）值;3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。如果函数y=f（x）在区间a, b上单调递增，在区间b, c上单调递减则函数 y=f（x）在 x=b处有最大值f （ b）;如果函数y=f（x）在区间a, b上单调递减，在区间b, c上单调递增则函数 y=f（x）在x=b处有最小值f （ b）;注意：利用函数的单调性求函数的最大（小