随机信号基础第五章习题王永德答案

1、 随机信号分析基础 第5章习题讲解 四川大学电子信息学院5.8 解：由题可知，要求系统输出过程的均值：设设X(t)是有界的平稳过程，其均值为是有界的平稳过程，其均值为m mX X，则，则 ) 3 . 2 . 5()()()()()()(dhmdtXEhdtXhEtYEX显然，显然， 是与时间无关的常数。是与时间无关的常数。dhmtYEmXY)()(（1）系统输出的均值2( )XRabe22lim( )XXRmaXma 首先计算系统输入过程均值已知有关系式：0 ( )( )( )XYE Y tmhdaedamt 系统所示的传函为：1( )( ),( )1tRCj RCh tteHR

2、Cj RC为求得输出的自相关函数，分别从时域和频域可得两种方法。2( )( )( )* ()( )( )( )YXYXRRhhGHG5.11 要求的是输出的自相关函数5.11 从时域角度)()()()(),(212121YXYRddhhRttR )()()()(hhRRXY 若随机输入过程若随机输入过程X(t)X(t)是宽平稳的，那么线性时不变是宽平稳的，那么线性时不变系统的输出过程系统的输出过程Y(t)Y(t)也是宽平稳的随机过程。实际上，也是宽平稳的随机过程。实际上，对于严平稳随机过程结论同样也成立。若输入是各态对于严平稳随机过程结论同样也成立。若输入是各态经历过程，输出也将是各态经历过程

3、。经历过程，输出也将是各态经历过程。（2）系统输出的自相关函数系统输出的功率谱密度若输入随机过程若输入随机过程X(t)为平稳过程，则输出的自相关为平稳过程，则输出的自相关函数为：函数为：)(*)(*)()(hhRRXY利用傅立叶变换，可得输出的功率谱密度利用傅立叶变换，可得输出的功率谱密度 式中式中H()是系统的传输函数，其模（绝对值）的平是系统的传输函数，其模（绝对值）的平方方H()2称之为系统的功率传输函数。称之为系统的功率传输函数。 )()()()()()(2XXYGHGHHG5.11 从频域角度5.11 解：先求出输入电压的自相关函数00000( )( )(

4、)(cos(2)(cos(2 ()11cos2 ()()32XRE X t X tE XtXt 记忆cos的傅里叶逆变换结果-+( )( )FTXXRG所以输入的功率谱密度：2( )( ) (2 )(2 )32XG (t) 11 2()cos0t (0)(0)2sin(t / 2)t / 2 rect()ea 2aa22eacos0 aa2(0)2aa2(0)21,10,else sin2(2)(2)2从计算复杂度考虑，我们从频域的角度来计算输出的自相关函数2222222( )( )( )2( )(2 )(2 )1322YXGHGRCRC 22222214 (2 )(2 )2 1 4R CR

5、C 2222222( )( )cos214YYR CRFGR C5.16 解：要求传输函数和输出Z(t)的均方值，由系统图可知： ( )()*( )Z tX tX tTU t( )* ( )()* ( )( )* ( )()X ttt TU tX tU tU t T( )( )()h tU tU tT所以传函为：H() Fh(t) Tsin(T / 2)T / 2exp(jT2)（2）解： EZ2(t)12GY()d122N0sin2T22dN0T4GY() H()2GX()N02T2sin2(T /2)(T /2)2)()()(HGGXXY)()()(HGGXYX若输入随机信号为白噪声过程，

6、其若输入随机信号为白噪声过程，其Gx()=NGx()=N0 0/2/2，则有，则有 )(2)(0HNGXY)(2)(0HNGYX因此当系统性能未知时：若能设法得到互谱密度，就可因此当系统性能未知时：若能设法得到互谱密度，就可由式由式(5.2.42)(5.2.42)确定线性系统的的传输函数。确定线性系统的的传输函数。 系统输入与输出之间的互谱密度5.18 解：要求互功率谱密度( )Hj( )( )( )( )XYXXGGHj G所以：22( )( )( )( )YXXGHGG已知微分器传递函数为5.23 解：要求自相关函数和功率谱密度由图可知：( )( ) ( )Z tX t Y

7、t( ) ( ) () ( ) ( ) () ()ZRE Z t Z tE X t Y t X tY t( )( )XYRR由维纳辛钦定理可得：1( )( )( )*( )2ZZXYGF RGG5.26 解：由题可知，所求的系统为一白化滤波器，有：2( )( )( )1YXGHG2228()3H(8)(8)(3)(3)jjjj把已知的有色噪声通过某系统后变为白噪声，这把已知的有色噪声通过某系统后变为白噪声，这个系统称为白化滤波器。个系统称为白化滤波器。对于对于物理可实现系统物理可实现系统，当，当t0时，有时，有h(t)=0，所以有：，所以有：dtXhdthXtYt)()()()()(0如果一个

8、线性时不变系统，对任意有限输入其响应有如果一个线性时不变系统，对任意有限输入其响应有界，则称此界，则称此系统是稳定系统是稳定的。的。 5.1.3 系统的稳定性与物理可实现的问题系统的稳定性与物理可实现的问题 5.26 解：要求系统稳定稳定的最小相位系统的稳定的最小相位系统的H(s)的极点在左半的极点在左半S平面，而平面，而零点不在右半零点不在右半S平面。平面。 H () 8 j3 j稳定系统的冲激响应稳定系统的冲激响应h(t)应应绝对可积的，即满足绝对可积的，即满足 dh)(系统传函的极点在系统传函的极点在S平面的左半平面或平面的左半平面或Z平面的单位圆平面的单位圆内。内。5.26 解:5.2

9、7 解：这是求解一个形成滤波器形成滤波器 对于某个具有有理谱密度的零均值平稳随机序对于某个具有有理谱密度的零均值平稳随机序列，可以把它看作是一零均值单位谱高的白序列通列，可以把它看作是一零均值单位谱高的白序列通过离散线性系统形成的，这个离散线性系统的传递过离散线性系统形成的，这个离散线性系统的传递函数为函数为H(z)（稳定的最小相位系统），称滤波器（稳定的最小相位系统），称滤波器H(z)为这个随机过程的形成滤波器。为这个随机过程的形成滤波器。 类似离散序列，任意一有理谱密度的平稳过程类似离散序列，任意一有理谱密度的平稳过程可以认为是零均值单位谱高的白噪声通过因果线性可以认为是零均值单位谱高的白

10、噪声通过因果线性定常系统定常系统H(s)后形成的。后形成的。)()()()(2jHjHjHGY稳定的最小相位系统的稳定的最小相位系统的H(s)的极点在左半的极点在左半S平面而平面而零点不在右半零点不在右半S平面。平面。同题5.26选取稳定的最小相位系统：(2)( )(1)(3)jHjj2()()XGH(2)(2)(1)(1)(3)(3)jjjjjj自回归或自回归或AR(Autoregresive)模型模型 滑动平均滑动平均(MA)模型模型 自回归滑动平均自回归滑动平均(ARMA)模型模型 npllnlnXYaY1qmmnmnXbY0qmmnmpllnlnXbYaY01常见的随机序列的模型5.3

11、0 要求自相关函数和功率谱密度5.30 （1）解：1nnnWXX显然这是一个一阶MA过程，该过程输出的自相关函数满足下列方程2,00,1,( )0,q kXi i kiWbbkqRkkq该方程可参考教材107页式（5.5.5）输入随机序列在-1到1间均匀分布，所以：213X由上述方程可以算出：211(0);(1);( 1)333WWWRRR 功率谱为：112( )( )(1 cos)3kj kWWkGRk e（2）解：122nnnnZXXX X213,q 2,b01,b1 2,b21这是一个二阶MA过程2,04,13( )1,230,2ZkkRkkk 2222( )( )( )412()()3

12、32(34coscos2 )3ZWj kZkjjjjGF RkRk eeeee可求得功率谱为：（3）解：112nnnYYX 这是一个一阶AR过程，输出的自相关函数可由Yule-Walker方程表示为：121(),0( )( ),0piYiYpiYXia Rki kRka Rik40,( )9140,( )()29YkYkR kkR k P 1,a1 12 RY(k) RY(k)14( )()29kYRk 功率谱密度为：0041( )()92411()()192241512coskj kYkjkjkkkGeee解法二：先计算功率谱，再得到自相关函数112nnnYYX 11( )( )( )2Y

13、ZZ Y ZX Z 对方程两边作Z变换有：得传函为：1( )1( )( )10.51()10.5jY ZH ZX ZZHe输入和传函知道了，就可得到功率谱：2( )( )( )1145 4cos315 12cosYXGHG计算相关函数之前，熟悉一下一个变换对222222(1)(1)2 coskXXbbaaaa该变换对见教材111页式（5.5.29）和式（5.5.30) 利用上述公式可得：1 3141( )()()1 1 4292kkYR k 5.31 解：要求差分方程由题可知2()()()YXGGH21( )1.64 1.6cosH得到：2111( )1.640.80.811(0.81)(0.81)H ZZZZZ从稳定性和系统特性考虑选取：11()10.8H ZZ数字滤波器的概念 滤波器是对输入信号的波形或频谱进行某种滤波器是对输入信号的波形或频谱进行某种变换，以得到一定的输出信号。实现滤波的系统变换，以得到一定的输出信号。实现滤波的系统是离散的称为数字滤波。是