必修四三角函数的图像与性质题型归纳

1、三角函数的图像与性质题型归纳【知识点1正弦曲线、余弦曲线】L定义：正弦函数），= sinx（xeR）和余弦函数y = cosx（x/?）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。2 .图象函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx定义域RR值域-1. 1-1，1奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期27r最小正周期2万单调区间增区间24万一巳2k4 +2；减区间+二,2k冗+ 1 2222增区间2）一乃,2k柯 减区间2k7T,2k7r +利最值点最大值点（2攵乃+二）；最小值点（2%乃一二,一1） 22最大值点（2攵万,1）最小值点（2左乃+4,一1）对称中心（左%,0）（k九十三,0） 2对称轴X

2、= k7r + 2x = k九【知识点3正弦型函数和余弦型复合函数的性质】函数y = Asin（cox + （p）与函数y = Acos（zr +。）可看作是由正弦函数y = sin x ,余弦函数y = cosx复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数），=$足工，余弦函数），=COS X类似地得到：（1）定义域：R；（2）值域:-AA；（3）单调区间求形如），=Asin（5 + o）与函数y = Acos（5+q）（Am0）的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把5+夕视为一个“整体”，分别与正弦函数），=41*余弦函数），= cosx的单调递增（减） 区间对应解出x,即为

3、所求的单调递增（减）区间.比如：由兼江一的+942女江+2（攵2）解出才的范围所得区间即为增区间，22由2攵；r + &x+9W2jbr + 二王（攵eZ）解出x的范围，所得区间即为减区间.22（4）奇偶性正弦型函数y = Asin（勿x + 0）和余弦型函数y = Acos（3x+0）（A,g0）不一定具备奇偶性.对于函数V = Asin（式+砂），当0 = e z）时为奇函数，当* = k乃工（4e z）时为偶函数： - 2对于函数y = Acos（）x + q）,当。=k膜k e z）时为偶函数,当0 =攵乃3（4e z）时为奇函数.（5）周期函数y = Asin（0x +0）及函数y

4、= Acos（5 + g）的周期为7 =.co（6）对称轴和对称中心与正弦函数y = sin x比较可知，当x +夕=丘巳（k e z）时，函数y = Asin（）x + （p）取得最大值（或 2最小值），因此函数y = Asin（）x + 8）的对称轴由5 +夕=攵笈巳（攵ez）解出，其对称中心的横坐标2cox +（p = k7r（k ez）,即对称中心为-.0 （k e z）.1 口 J同理，y = AcosQx+0）的对称轴由皿+ 9 =攵乃（攵uz）解出，对称中心的横坐标由cox +（p = k7r（k e z）解出.【知识点4正切函数的图象】正切函数y = tanx xeR,且x W

5、巳+攵4攵e Z）的图象，称“正切曲线” 21 .定义域：jxlxWs +攵肛 7卜2 .值域：R由正切函数的图象可知，当+且无限接近于巳+攵江时，tanx无限增大，记作22tanx（ tanx趋向于正无穷大）；当x巳+攵江伙wz），tanx无限减小，记作tanx f-oo（ tanx 2趋向于负无穷大）.也可以从单位圆上的正切线来考虑.因此tanx可以取任何实数值，但没有最大值和最小值.称直线x = k/r +巳为正切函数的渐进线.23 .周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是开4 .奇偶性：正切函数是奇函数，即tan（-x） = -tanx .【知识点5正切型复合函数的性质】1 .定义域

6、：将“公t + 0视为一个“整体令Gx + Wk;r +三,Aez解得x.22 .值域：（f ,*o）3 .单调区间：（1）把“ 5 + 3”视为一个整体”：（2） A0（40,使上的系数为正值，然后求单调区间.kn4 .奇偶性：当8 =（攵金2）时为奇函数，否则，不具备奇偶性.5.周期：最小正周期为7 =乃I 69 I题型梳理（一）求正弦函数余弦函数以及正切函数的定义域例1. （2019浙江高一期中）函数y =+ 的定义域是（）124）A.xx2k7T + ,k eZ)2C. X I x W -I ，攵 Z 28B.xlxW4A;r +eZ2D.xx k7T +.k eZ87T . . 7T

7、/ n 7T【解析】令5X+N#屈(kwZ),解得：x#2Wt+n (kZ),故函数的定义域为xlx#2Wr+g, kZ MB例2. （2019秋安福县校级期中）函数），=,2-收+ /g（2cos2x +1）的定义域为【答案】解：I函数y = /-F +/g（2cos2x + l），化简可得-/2 x 2x 2k”至,k e Z 332-x202cos2x +1 0解得受vxv受33-/2x 2【变式训练11（2019 .山西省长治市第二中学校高一期中）函数y = tan 2x的定义域为.【解析】由于正切函数V = tanx为*+解不等式+ k/r（keZ）,得xw 2k：+.（kwZ）,2

8、k JT + 7t因此，函数y = tan2x的定义域为jxxw二一,keZ故答案为：X .v,keZ4【变式训练21.（2018.福建高一月考）函数），=心11（1一名心1的定义域为（）A. x 12k + x 2k 7r + .k eZ B.x k7r + xk7r +,k eZ 6666C.xI 2k7t + x 2k7T +&ZD.xk + -x0, HP sm2xi , 2行 九57r. 兀 5江则 2k7rl2x2kn+ , k Z,则 knHxk7t+ , k Z,661212即函数的定义域为“山4+攵4+ ?,&Z,故选：D.XN正的X的取值范围是（ 2B.7t 57rc.5

9、71W,nD.（二）求正弦函数余弦函数以及正切函数的值域 例3. （2019.黑龙江鹤岗一中高一期末（文）在0,2句上，满足sin【解析】（），2河上，满足siiuz正，结合正弦函数图象可知x的取值范围：-% .故选：D. 233例4.设为常数，且则函数/（x） = cos2R+2siiu-l的最大值为（）A. 2t7 1B. 2。+1 C. 2。1D. ci【解析】f （x） = cos2x+2osinx-1 = 1 sin2x4-2asinx1 = （sinx-4r）+2, /.0x 2, /.-lsial,又所以最大值在siiu = l是时取到，.,./（x）gx =（1 一a）?+2

10、=%一1,综上 所述，故选8.【变式训练1】.（2019宁县高一期末）函数y = +asinMa0）的最大值为一1,最小值为-5,则y = tan（M+/?）x的最小正周期为.【解析】令，=sinx1,1,所以y = +。，由于“/3 -1,即/(x)的值域为 【变式训练3工（2019.济南市历城第二中学高一期中）已知函数/（x） = JIcos（2x 2）,xe/?.4（1）求函数/*）得单调增区间：（2）求函数/（X）在区间一,1的最值. o 2【解析】（1）由一冗+ 24冗 2.r- - 2kn ,得左4一至+巳，k eZ 4883的单调区间是左乃一,攵）十2keZ8871 71(2)V

11、 xe,则2工一o 2：以*）2=近，/（X）min=7.（三）求正弦函数 余弦函数以及正切函数的单调性 例5.函数y = tan； 2x + ? 的单调递增区间是【答案】k兀 3九k乃 n | , 丁 ,+ 1,k e Z28 28)【解析】令女方一二2x + 3vbr + ,%Z,解得匕一些vx生+二次ez. 2422828Z例6. （2019.浙江高一期末）函数/（X）= sin 2x-f 的最小正周期为：单调递增区间为4 J（ 兀、f 242乃【解析】因为/（x） = sinj2x 一向，所以丁 =同=了 =4，因为一二+ 2攵江W 2%一工4二+ 2攵笈=一2+攵4WxW三 十攵况（

12、k e Z）, 24 288所以增区间为一三 + k小三+（keZ）o o【变式训练1工（2018.浙江高一期中）函数），=倔公的定义域为,值域为【解析】由题意，可知sinxNO,根据正弦函数图象，得2Qrx（2k + l）;r（AwZ）,即函数的定义 域为2壮,（2% + 1）乃（人Z）,此时OWsinxWl,则函数）的值域为。，1,从而问题可得解.【变式训练21.(2019.宁夏高一期末)函数/(x) = sin 2x-y的单调减区间为()万，57r , + k/r,+ K7： 366 )A.(A Z) B .一二 + 攵乃, + 女笈(k e Z)_ 63_C. 一 + k7r. - +

13、 k7r (k e Z)D. 一名+ k况一 + 忆乃 (k e Z)121263【解析】.,y = sinx的单调减区间为2+ 2k加，工+ 2k九（keZ）, 22+ 2k元lx- + 2k乃( e Z)，解得+ k冗+ k4(k e Z) 26236函数的单调减区间为 +女4,乎十 4乃（kZ） ,故选A. 3631【变式训练31若函数y = 一。sinx的最大值为大，最小值为一 22（1）求。，匕的值； （2）求函数y = -asinx取得最大值时的x的值;（3）请写出函数丁 = -sinx的图象的对称轴.【解析】（1）因为所以当。0时，有11解得 51 a =2 b = .1a =

14、92/? = -1.,3a-b =,7当vO时，有1解得 a+b=_,2(2)由(1)知。=L,所以函数y = -asinx = -sinx ,所以当x = 2E-2(k wZ)时，函数y = -asinx 2.22取得最大值.（3）函数y = -asinx = -sinx,所以其图象的对称轴方程为工=q+攵兀（ e Z）.22（四）五点法画函数图像 例7. （2018.内蒙古一机一中高一月考（理）已知函数y=2sinG-；）+3,xuR （1）用五点法作出函数的简图：（2）写出函数的值域与单调区间.【解析】（1）列表如下：7TY 3071271a打T27rX71357r T4ttTii677

15、rTy35313（2）由上图可知函数y = 2sin（x 一柒十3,x e R的值域HL5,当%一江2e一三2忆兀+可（忆e Z）,即当 e上而一/2E +引（k e外时为增函数.当力一 江2k7r+p2k7r+（/c eZ）,即当 e 2g+ 9,2丘+宁0幻时为减函数.，屈数y=2sin（九一）十3的单调增区间为：卜而一不 Wr +屈（kuz）,减区间为：2+9,2:而+常 【变式训练1】.已知函数/（x） = 2sin12x + t）（1）求函数/）的最小正周期及其单调递减区间：一 77r 57r（2）用“五点法”画出函数y = /（x）在一二，二 上的图象（列表并作图），由图象研究并写

16、出y = /（x）的图象在区间上的对称轴和对称中心.141乙【解 M rJ ( 1)最小一正.周期 T =-=兀.由 2E +W2x + 2kn + - (k w Z)， 2262得攵兀+ ?令W%兀+ ( e Z), 6312 12工函数/（X）的单调递减区间为k兀+ g,k兀+ J （keZ）. 63X771 127T3兀 n瓦65兀 n2x + - 6一兀n20兀271y0-2020（2）列表如下,77r 5兀从图象上可以直观看出，函数y = /（x）的图象在区间一卷， 上有一个对称中心一右，无对称轴（五）求正弦函数余弦函数以及正切函数的周期例8. （2019.北京高考模拟）已知函数 =

17、而的（。0）在（0.上有最大值，没有最小值，则。的取值 4范围为.【解析】因为函数），= sinr （30）在（0, ?）上有最大值，没有最小值，4所以，只需工。二土，解得2。三6.故答案为20W62co 4 2co例9. （2019,浙江高二期中）设函数/（x） = 2sin2x ?|,则函数的最小正周期为:单调递增 区间为.【解析】,切=2,.7 =.=2=笈，由一三+ 2k/rW2x-：W： + 2k)，k gZ , co 224 2乃3冗3得一y + Z/F令二-+ 4乃，女 WZ ,故答案为：(1).乃 (2). TT + kTT.- 7T + k7T ,k w Z 8888例10.

18、 （2019,永昌县第四中学高一期末）函数y = 3tan；x :的最小正周期是（）JIJiA. B. C乃D. 27r42汽【解析】由题意可知，函数y =的最小正周期丁 =1=2,故选：D.2【变式训练1】.（2019湖南武冈市第一中学高一期中）下列函数中，最小正周期为江的是（）A. y = sinx B. y = |sinx| C. y = tan - D. y = cos4x 2【解析】A选项，函数的最小正周期为2乃，所以该选项错误：B选项，根据函数的图像得函数的最小正周期为江，所以该选项正确；巳=24C选项，函数的最小正周期为一，所以该选项错误；2D选项，函数的最小正周期为主二工，所以

19、该选项错误.故选：B 42【变式训练2】.（2019广东高一期末）下列函数中，最小正周期为江的是（）A. y = sinx B. y = cosx C. y = sin-x D. y = cos2x 2【解析】对于选项A, y = sinx的最小正周期为2乃，对于选项B, ） = cosx的最小正周期为2乃，对于选项C,），=由,工的最小正周期为4万， 2对于选项D, y=cos2x的最小正周期为江，故选D.（六）奇偶性对称轴与对称中心例11. （2019江西省奉新县第一中学高三月考（理）函数/（x） = 2sin（x + J）在其定义域上是（A.奇函数B.偶函数C.既非奇函数也非偶函数D.不

20、能确定【解析】函数/（x） = 2sin（x + f）=2cosx,此时函数为偶函数，故选：B.例12. （2019天水市第一中学高一期末（文）函数y = 3sinxq；图像的一条对称轴方程为（）7CTC7T-九A. x = B. x = C. x = D. x =3366【解析】依题意有 f = ： + A;r,keZ,解得“=巳+与区keZ，故选B 6 23 2【变式训练1】.（2019云南高一期末）已知函数f（G = tan%,则下列结论不正确的是（）A.27r是左）的一个周期= 干）C/G)的值域为RD/fX)的图象关于点,0)对称【解析】A. %) = tan%的最小正周期为tt,所

21、以27r是/()的一个周期，所以该选项正确：B. f(一节二lj(y) = -1,所以该选项是错误的：C. = tan算的值域为R,所以该选项是正确的；D.小)=tan%的图象关于点年,0)对称，所以该选项是正确的.故选：B【变式训练2】.(2019湖南高一期末)函数f=3cos (败+学)图像的一个对称中心是()心。)B.a0)陪0)D,0)【解析】由题得轨+1=上肝?%2,所以“冷一 W(kZ),所以f=3cos+学)图像的对称中 心是(等一3)伊当k=l时，函数的对称中心为仁,0).故选：B【变式训练3】.(2019辽宁高一期中)函数/(x) = tan(x + f)的图象的一个对称中心

22、是() 6(,0)B. (,0)C. ( ,0)D. (,0)k朽【解析】由正切函数的对称中心(,0),(% Z)可以推出/(A)对称中心的横坐标满足 2xJ* = X =-三卫(k 0,带入四个选项中可知，当k = l时，x = , 62623故0)是图像的一个对称中心，选A.(七)求正弦函数余弦函数以及正切函数的综合应用例13. (2019.山西高一期中)函数)，=38$2工+ 4。/?)是()A.最小正周期为灯的偶函数B.最小正周期为2乃的偶函数C.最小正周期为乃的奇函数D.最小正周期为2乃的奇函数-2乃【解析】r =网=乃，/(-x) = 3cos(-2x)+4 = 3cos2x+4

23、= /(x),所以函数最小正周期为江，是 偶函数，因此本题选A.例14.已知函数/(x) = 2cos14x-21.4)求函数/*)的最大值以及相应的X的取值集合：若直线X = 2是函数2的图像的对称轴，求实数，的值.=2k4, k e Z , 4【解析】(l)：/(x) = 2cos八一工，八x)的最大值为2,此时4x 4 J二所求x的取值集合为|川工=三+竺(kZ)16 2rrLrr jr(2)令4x 一 一 = kKk eZ),则x =+ (k e Z).直线x = m是函数f。)的图像的对称轴,44 16k九 zf 丁、m f一(k e Z).4 16【变式训练1】.(2016.天津高

24、一期末)给出下列五个命题：函数y = 2sin(2比一弓的一条对称轴是二二皆；函数y = tanx的图象关于点 J。)对称： 2122正弦函数在第一象限为增函数；若sin(2% 一=sin(2x2-令,则一/=hr,其中k Z：函数八为=smx + 2|smx|z % e 0, 2n图像与直线y = 4有且仅有两个不同的交点，则4取值范围为(L3). 以上五个命题中正确的有(填写所有正确命题的序号)【解析】将%代入可得函数最大值2,为函数对称轴；函数y = tanx的图象关于点 年十皿0),(皿0)(4己2)对称,包括点2 0/).就十2兀*i吒+270 cs呜，错误;利用诱导公式 京M一。)

25、=sina,可得不同于2皿=而的表达式：对算进行讨论，利用正弦函数图象，得出函数 = sinr + 2|smr|, x e 0, 2可与直线y = Jc仅有有两个不同的交点，则k w (1,3).故答案应填./ 【变式训练2】.己知函数/(x) = sin公 +二(G。)的最小正周期是4乃，则口=,若J八乃、3/ 8=二，贝ijcos=.【解析】根据周期的公式7 =尹;，所以0 =至=2=, T 4/r 2则：f 0 + ： = sin( + +) = cos = -, |t|cos0 = 2cos2 - -1 =- 3)26 32 5225四、迁移应用1. （2019春南湖区校级月考）已知函

26、数/（x） = ,2sin（2x-m-1的定义域为【答案】k7r + -x0）,且以3为最小正周期. 43（1）求/（X）的解析式；（2）求/（x）的对称轴方程及单调递增区间.解：（1） / （x） =3sin （3.x+工）.（2）对称轴方程为x = +三# Z.增区间为 三三一工，二 十二,kwZ.31234 3126 . （2018秋嘉兴期末）已知函数/（x） = 2sin（2x-） + R）的最小值为1.（I ）求加的值及取此最小值时的x值：（II ）求函数的最小正周期和单调递增区间.【答案】，1=3.x = k九一上，k eZ.6（11） 7T,增区间为k加一上，k冗+ 三 ,keZ .7 . （2019春郑州期末）已知函数/G） = sin（5 2）30, xwR）的最小正周期为万.4(I)求/(二)： 4(II)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y = /(x)在区间-2，勺上的图象. 22解：(1)立；(2)画出函数在区间上的图象如图所示：略 28 .判断下列函数的奇偶性：(1) /(x) = V2sin2x ； (2) fU) =sin(+ ) ： (3) /(x) = Jl -cos+Jcosx-l . 42【答案】(1)奇函数：(2)偶函数：(3)既是奇函