60曲面及其方程(精)

1、04、5、6、7、转曲面：f一. x2 y2,z = oXox2+y2+（z ZofXo =：x2y2得f _ x2y2,z旋转双曲面:椭圆抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面圆锥面=x2y2, z=Zo代入方程f x, z=0z = ax2 y2称为旋转抛物面2 2x y2az二ax22xyab2x2a2 2 2勺=i,（单）zT-caby2ab o2z2=1c2 2y- Ji2 2b c2 22x_ . L _z_2.22a b cz2= ax2by260曲面及其方程 常用二次曲面的方程及其图形1 球面 设 PoXo,yo,Zo是球心，R 是半径，Px,y,z 是球面上任一点，贝UpoP 二

2、 R，即2 2 2 2x -Xo亠 iy _yo亠 iz -Zo i；=R2 2 2 2x y - z R2 22、椭球面笃笃a b3、旋转曲面设 L 是 xoz 平面上一条曲线f（x,z）= ,L绕 z 旋转一周所得旋y =0212Icc28、柱面 抛物柱面y =ax2a . 02 2椭圆柱面笃与=1a b圆柱面x2y2= R260空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程（以后讲）_x = X t参数式y = y tz二z t般式鶯；：0-x-X在 x0y 面上投影曲线方程：在/Fjxyz）-0 中消去乙，再与 z=0F2（x, y,z）=0联立。曲线戶 x，yF2（x,y,z ）=0在三坐标面

3、上投影方程多元函数微分学10二元函数及其极限与连续1、z 二 f x,y，定义域为平面上某一个平面域几何上 z =f x,y 为空间一张曲面2、二元函数极限 P186例 1、讨论函数I0在。的4x2y44x2K4x44K2x2解：lim2= lim2= lim2= 0工(y4+x2 2T(K4X4+x2 2T(X2K4+124y4y4而limy y2=4二 f x y 在(0,0)极限不存在. ：/y4y423、连续P18720多元函数的偏导数与全微分1、偏导数定义：z =f x, y在点X0,y处对 x 的偏导数,同理：fyg,y0)=f(x0，y0+；I(x0，y0)fx,fy在 X,y存

4、在，称 z =f x,y 在 x,y可导。记作:-Z:xx竺0 y 0:xx =xo y =yorZx X=x y =y。f；x,y即:fxXo,yf X。：x, y-f x, yzx4x2y4f x,y = y4x2 22 + 2” 0 x2y/ 在 0,0 极限是否存x y =0-x-X解zy斗yx:z:y=xyl nx:z：:z例 2、P188,例 5, 6设 z = y -11 x2sin x, y x3,求zx2,1解：zx,1=x3, Zx2,1二dzx,1x,=3x2x12 dx -2、高阶偏导数-2 - :z-2yfy；,连续，则 fxy二 fy；3、全微分如=z = f x

5、=x, y =y -f x, y = A = x By o pP应 I 7；z =f x, y在x, y可微全微分dz二丄dx丄dyexcy例 4、由方程xyz _x2y2z2=：2确定 z = z x, y 在点 1,0, -1 全微分 dz 二 dx - 2dy?z:x2.:z汰卜昭 x,y)Nd (cz i cxty 够丿rMff=fxy =zxy；：2z.:zccxcyr wwfyx二zyx:z偏导数汗:xf连续一可微y/可导连续例 3、设 ux, y =xlny ylnx-1 则du =flny 十乂 dx + x 丿+ Inx dy令丿3复合函数微分法定理：P194z = f (u

6、 . v):z；:f；:u-.x;:ujf: u;:f- +- -f-.:u jy泊-z22、xy I訂1 x y) xln(1+x2+y2)+L1 + x +y例 5.15 解 z = f x2y2,xy , y = x 亠 Wxz = f(2x2+2x(x )+ 2(x ) ,x2+x(x )= f (u ,v )= F(x )4x2 (x) 2x：(x) 2：(x)(x)丨 兰2x(x) x(x) 1.x.uv=2：f2x(x) x(x)：(x)：(x) 1：f2x(x)X(x) 1.u:v例 7、z =y2f x2-y2，其中 f u 可微，则y =2xfy u -2yf u 2y:x

7、 :y例 8、z = x Vxr),(u)可微，则2二y V = 2z yexcy例 5、P195, 例 5.1422、xyx+ y )y求-dx:z-yZ22、xy(1 x y ) xyln(12x2yu = u ( x . y.)v = v ( x . y ) z = f ( u , v ) = F ( x . y ):zy:f：vr - *-.:v例9、 ，设z二y2， 求证1；:z 1 jzz-+f(x -y2)x；：x y：yy证： 令 x22_y=u则z = yf(u)；z-2x、yf (u).z12yf(u)f2(u):y-f(u)f2(u)1 jz 1：z2yf (u)1 2y

8、f(u)x：x y；:yf2(u)yf(u) f2( u )1 z=Tf?肘例 10、设 z = f 2x - y g x ,xy，其中 f t 二阶可导，g u , v 具有二阶连续偏导数。解：.x:z-f (t) 2 gugvy-2；z.x .:y二 2f (t) (-1) gu0 guvx gvy bvu0 gvvx=-2f (t) xguvgvxygvv例 11、设u二y, v =T，试将方程x为自变量的方程，其中函数:z：:u : z：:v=-T- r -T-.:u；：x:v:x2y :z y ；2z解:.x刊2+=0 变换成以 u , Vx：yz 具有二阶连续偏导数。W):vx：2

9、z：:u2y-2c zx2x.v:x：:v -：u :x亠2 o2QZ* y c z34- 2x v x :v(3)两边微分用(2), (3)需具体方程给出，容易例 12、设z =z x.y 由方程e - 2z ez= 0，求二 ex解法一、在方程两边对 x 求导，注意 z 二 z x.y.z:z0 x-：x-xyy.z 二 e-2zez-xy-ye2 -xyzz-ye - 2 e；：2z:x y1；z y；：2z :v；：2z；：u2 2 2 2 2x汎x | v :y jv:u:y仁2z2zx2y；x2X2y jz y z y；z2 -x2:vx3W22232x x；v.u x：vy；z2

10、一x: v2y2x；：2zjv；:_ 2于是方程变为：-uz4隐函数求导F x.y.z =0 确定了 z=z x.y:z；zJ.x:y(1)方程两边同时对x 求导，注意 z =z x.y，可求得方程两边同时对y求导，注意 z 二 z x.y，可求得(2)利用公式FyFy-：zxyFx-yey:xFz-2 ez解法二、设 F 二 x.解法三、在方程两边微分d e y- 2z ez=0de 刘d2zLdezi=0 e*yd xy 2dz ezdz = 0-e刘Xdy ydx 丨-2dz ezdz 二 0即dz.xy.xyyezdxxezdy2-e2-e-xy-a -xy:z-ye:z - xeex

11、 -2-ez帚2-ez例14、已知方程x=lnzzy定义了 z = z x.y，求-2z2.x解：x二zlnz-zlny:zFx11z:xFz1 lnz Tnyx_x zz（或方程两边对 x 求导，注意 z = zx.y ）z在方程 x z = z两边对 x 求导，z =z x.y excz r z丫-2lx+z 丿2c zwx 丿zex2X +zX +z(x +z3例 13、设 z =z(x.y )由方程x2+y2+z2=xf-i确定，其中ix丿微则 &r2ycy2z可-2:zr-i+ex Iz:x在(1)式两边对x求导：2Z.X2.2:Z-2X-:zI.X2(X+Z)2Z -ZZ(x+y)

12、X y21CX CX丿例 15、习题 7设 u =f X.y.Z ,连续偏导数，且解:2ZX Z3X2XZ-Z2Z X3处x2.ey.z =0，y二sin x，“，求dz:zdxdu汗:f.x:ydXcosxZ= 0 cz CX其中f，门都具有一阶在门二 x2sin x,e ,Z=0，两边对 X 求导，设sin xv = e-：u:U：:V：:Z0.：V+ -：v.：X2Xes%osx- =0Z:X-XLu.:vdu汗 = +cosxdx-X : y-Z；:f :r/ 2x .Z；Z :U厂sinxe cossin xeco .vsx例 16、P200,例：5.205阶偏导数在几何上的应用1、

13、空间曲线的切线与法平面x二x(t)曲线 L:(I)y =y(t)z二z(t)曲线 L 在 M 点处切线方程为:例 5.25 法二x xy -yz-zX(t。)y （t。）或 x-xy-yz-z-或dxtt一dyg dzy。例 17、P204,例 5.24 ,5.252 2 2x y - z 62 2z二xy两边微分丿xdx + ydy + zdz = 02xdx 2ydy - dz = 0在点 M01,1,2dx +dy +2dz =0gdx +2dy dz = 01 2:2 11 12 -1:-1 22 2dx : dy : dz二= -5:5:0取T-习，一1,01切线方程1j广例 19、

14、求曲线丿-1y-1-2y=2x在一2 2z 二 3x y1,2,7 点处切线方程解：法ZXH点仙代入得2dx6dx-dy 0dz二0dx : dy : dz = 1: 2 : 144dy -dz = 0切线方程：g 二口1 22、空间曲面的切平面与法线曲面方程：F x,y,z =0z -714点 P0X0,y,Z0F（x, y,z） =0F2（X,y,z） =0则曲面在 Po点处切平面方程:.:F.xP3X - X0.:F）+p（y y。）+一to（zz。）=o则切平面方程：fxP。（x x。）*fyP。（y y。）一（z法线方程:FxFz2例 20、曲面 y2在（2, 1, 3）处的法线方程

15、2x-2 y -1 z-32 2 -1例 21、P203,例 5.22幽 ccT 3x2+2y2=12例22、曲线丿，绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点2处的指向外侧单位法向量是 J。，、2,L例 23、证明：曲面 xyz =a3的切平面与坐标轴所围成的四面体体积 为常数证：设切点为M x。，y,z。，F x, y,z = xyz - a3如曲面方程 z =：f x,yX Xy -y。Z Z方向导数：汙二;:fCOSJ：fcos:fcosa:x：:y:zu-：u： ：u： ：u或：cos a+cos B +COSd-xy.z如z = f x, ylo二cos a,cosBnrr7,匚入贝Ucoscos -excy:F:xI _护M-yozo,M -Xozo，:FM -Xoyo曲面在 M(xo, yo, zo)处切平面:yoZox -XoXoZy_yXoyz_z=0即 yoZoX XoZoy xyz =3xoyoZ。即必y乞3xo3yo3zo1四面体体积V =63xo,3yo,3zo方向导数：u=f(x,y,z)，可微lm,n,pI0=co 呦，cosP ,cosY*M0(x0,y0,z0m cos：Rm2+ n2+l2cos：n.m2n2p2cos3、方向导数与梯度Pcosa +：l；x_:u；：u；：u；：uCOSY，-:y；x纠-z：cos：,c