勾股定理专题训练试题精选八附答案

1、勾股定理专题训练试题精选(八)一.选择题(共29小题)1 .如图，4ABC的三边长为5, 12, 13.设其三条高的交点为 H,外心为 O,求OH .2 .在4ABC中，/ACB - / B=90°, /BAC的角平分线交 BC于E,BAC的外角平分线交 BC于F,证明：AE=AF .3 .如图，以等腰直角 4ABC的直角边 AC作等边AACD, CE± AD于E, BD、CE交于点F. (1)求/ DFE的度数；B(2)求证：AB=2DF .4 .如图，OBD和4OCA是等腰直角三角形， /ODB= / OCA=90 M是线段 AB中点，连接 DM、CM、CD.若 C在直

2、线OB上，试判断4CDM的形状.5 .请在所给网格中按下列要求画出图形.（1）从点A出发的一条线段 AB,使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2«（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形 ABC,使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；（在图甲中画出）（3）以（1）中的AB为边的两个四边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数.（在图乙中画出）甲A乙6 .已知：如图所示， RtAABC中，/ C=90°, / ABC=60 °, DC=11 , D点到AB的距离为2,求BD的长.7 . AABC中，AB= V5,

3、 BC=V10, AC= V13,求这个三角形的面积.1）,在网格中画出符合条件的格（1）小明同学是用构图法解答本题的，建立一个正方形网格（小正方形的边长为点三角形ABC ,这样不必求4ABC的高而借助网格可得 4ABC面积为.（2）若4ABC三边长为 塞3、2&曰、V17a （a。），请利用图2的正方形网格（小正方形边长为a）,画出相应的AABC,并求出它的面积.8 .如图所示，在 4ABC中，/ B=90 °, AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B以2厘米/秒的速 度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发

4、，几秒钟后P、Q间的距离等于2、几厘米？（把实际问题转化为几何问题）C9 . （1）等腰 ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作直线 运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D,过P作PEXAC于点E.设P点运动时间为t.DE的值；若改变，请说明理由.2画出图形并说明理由.当点P在线段AB上运动时，线段 DE的长度是否改变？若不改变，求出 下面给出一种解题的思路，你可以按这一思路解题，也可以选择另外的方法解题. 解：过Q作QF，直线AC于点M. PELAC于点E, QFL直线 AC于点 M ./ AE

5、P= / F=90°（下面请你完成余下的解题过程）当点P在线段AB的延长线上运动时，（1）中的结论是否还成立？请在图（2）若将（1）中的 腰长为10cm的等腰直角 ABC”改为 边长为a的等边 ABC”时（其余条件不变），则线段DE的长度又如何？（直接写出答案，不需要解题过程）（3）若将（2）中的 等边 ABC”改为 ABC ”（其余条件不变），请你做出猜想：当 4ABC满足圄3)解题过程）图10 .如图，4ABC和4ECD都是等腰直角三角形，/ ACB= / DCE=90 °, D为AB边上一点.（1）求证：ACEBCD;（2）设AC和DE交于点 M ,若AD=6 , B

6、D=8 ,求ED与AM的长.11 .已知：如图1,当ABO和CDO是两个等腰直角三角形， OA与OC, OB与OD ,都在同一条直线上， ZABO 和/ CDO的角平分线分别交 AC于点E和F.(1)求证：AC=2 (BE+DF)(2)如图2,当ABO和CDO变为两个全等的直角三角形且 OA与OC不在同一条直线上时，连接 AC与BD 交于点G,其余条件都不变，那么(1)中的结论还成立吗？如果成立请证明，不成立说明你的理由.12.已知：在四边形5ABCD 中，/ D=90 °, DC=3cm , AD=4cm , AB=12cm , BC=13cm .求四边形 ABCD 的面积.13

7、.阅读下面的文字，解答问题：大家知道 也是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此血的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用表-1来表示 血的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为血的整数部分是1,将这个数减去其整数部分， 所得的差就是小数部分.又例如：因为即2<V7<3,所以 W的整数部分为2,小数部分为 （。斤-2）.请解答：（1）如果的整数部分为a,那么a=.如果3+J另二b+c ,其中b是整数，且0<c< 1,那么b=, c=.（2）将（1）中的a、b作为直角三角形的两条直角边，请你计算第三边的长度.14 .如图，在 RtAA

8、BC 中，/ ACB=90 °, AC=BC=10 , CD 是射线，/ BCF=60 °,点 D 在 AB 上,AF、BE 分别垂 直于CD （或延长线）于 F、E,求EF的长.15 .观察图1 :每个小正方形的边长均是1 ,我们可以得到小正方形的面积1 .AB的长;(1)图1中阴影正方形的面积是多少？并由已求面积求边长1)的解题思路和方法，设计一个方案画出长为遥的线段，并说明理由.(2)在图2: 3M正方形方格中，由题(16 .正方形网格中，小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.下图1中的正方形网格中 4ABC是格点三角形，小正方形网格的边长为1 (单

9、位长度).(1) AABC的面积是 (平方单位)；(2)在图2所示的正方形网格中作出格点 AA BC和A"B"C",使A'B'C's AABC , ABCs abc ,且AB、 AB'、A B 中任意两条线段的长度都不相等；(3)在所有与AABC相似的格点三角形中，是否存在面积为3 (平方单位)的格点三角形？如果存在，请在图 3中作出，如果不存在，请说明理由.图1图2图317 .如图，在 RtAABC中，/ ABC=90 °, AB=4 , BC=3,将AABC沿AC边所在直线向右平移 x个单位，记平移 后的对应三角形为

10、ADEF,连接BE.(1)当x=4时，求四边形 ABED的周长；(2)当x为何值时，ABED是等腰三角形？BAD C F18 .已知一个三角形的三边长分别是7厘米，3厘米，第三边长为 x厘米.(1)求第三边x的取值范围；(2)在(1)的条件下，取 x的偶数值为直角 4ABC的两直角边长(AC>BC),此时AB=10厘米，若P为斜边 AB上的一个动点，求 PC的最小值.19 .阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在4ABC中，AB, BC, AC三边的长分别为后、圆、21，求4ABC的面积.小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出

11、格点 4ABC (即4ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，从而借助网格就能计算出 4ABC的面积.他把这种解决问题的方法称为构图法.请回答:(1)图1中4ABC的面积为;参考小明解决问题的方法，完成下列问题：(2)图2是一个正方形网格(每个小正方形的边长为1). 利用构图法在答题卡的图 2中画出三边长分别为 国、2在、M元的格点ADEF;计算4DEF的面积为 .(3)如图3,已知4ABC，以AB , AC为边向外作正方形 ABDE , ACFG，连接EG.若AB=V10，BC=V13，AC=V5,贝U六边形BCFGED的面积为 20 .如图，在 RtAABC 中，AB=AC , / BAC=

12、90 °,。为 BC 的中点.(1)写出点。到4ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系(不要求证明)(2)如果点M、N分别在线段 AB、AC上移动，在移动过程中保持 AN=BM ,请判断4OMN的形状，请证明你的 结论.21 .如图，在4ABC中，Z A=90 °, AB=AC，。是BC的中点，如果在 AB和AC上分别有一个动点 M、N在移动, 且在移动时保持 AN=BM ,请你判断4OMN的形状，并说明理由.M B22.如图：在4ABC中，/C不重合)，连接A、E.若C=90 °, a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边，点 E是BC上一个动点(点a、b满

13、足b - 6=0,且c是不等式组, 2a- b=10节"6今s的最大整数解.弩 广3E与B、C.(1)求a、b、c的长.(2)若AE平分 ABC的周长，求/ BEA的大小.C23.如图1,在ABC, /A=45°,延长 CB至D,使得 (1)若/ ACB=90 °,求证：BD=AC ;(2)如图2,分别过点D和点C作AB所在直线的垂线, (3)如图3,若将(1)中*ACB=90 °改为名ACB=m AC、DG的数量与位置关系.BD=BC .垂足分别为E、F,求证：DE=CF;。，并在AB延长线上取点 G,使得/ 1 = /A”.试探究线段图124 .如图

14、，已知4ABC中，/ BAC=90 °, AB=AC . D为线段 AC上任一点,连接BD ,过C点作CE / AB且AD=CE ,试说明BD和AE之间的关系，并证明.D25.已知：两个等腰直角三角形( 4ACB和ABED)边长分别为a和b (avb)如图放置在一起，连接 AD .(1)求4ABD的面积；(2)如果有一个 P点正好位于线段 CE的中点，连接 AP、DP得至iJAPD,求4APD的面积；(3) (2)中的4APD的面积记为Si, (1)中的4ABD的面积记为S2,则Si与S2的大小关系是 A. Si=S2B. Si<S2C. Si>S2D.无法确定.26.如

15、图，正三角形 ABC的边长为a, D是BC的中点，P是AC边上的点，连接 PB和PD得到 PBD .求: (i)当点P运动到AC的中点时，4PBD的周长；(2) 4PBD的周长的最小值.BD27.如图，直角坐标系中，已知 A (2, 4), B (5, 0),动点P从B点出发，沿BO向终点O移动；动点Q从点A 点出发，沿AB向终点B移动.两点同时出发，速度均为每秒1个单位.设从出发起运动了 x秒.(1)点P的坐标是( , );(2)点Q的坐标是( , );(3) x为何值时，4APQ是以AP为腰的等腰三角形？28 .如图，在直角三角形 ABC中/C=90°. AC=4, BC=3 ,

16、在直角三角形 ABC外部拼接一个合适的直角三角形, 使得拼成的图形是一个等腰三角形，见图示.请在四个备用图中分别画出与示例图不同的拼接方法，并在图中标明 拼接的直角三角形的三边长.3329 .如图，RtAABC 中，/ C=90°, AD、BE 分别是 BC、AC 边上的中线， AD=2 a/To , BE=5,求 AB 的长.二.解答题(共1小题)30.如图，在直角梯形 ABCD中，AD / BC, / B=90 °,且AD=4cm , AB=6cm , DC=10cm ,若动点 P从A点出发, 以每秒1cm的速度沿线段 AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度

17、沿CB向B点运动，当P点到达 D点时，动点P、Q同时停止运动，设点 P、Q同时出发，并运动了 t秒，回答下列问题：(1) BC=cm;(2)当t为多少时，四边形 PQCD成为平行四边形？AP_2勾股定理专题训练试题精选（八）参考答案与试题解析一.选择题（共29小题）1 .如图，4ABC的三边长为5, 12, 13.设其三条高的交点为 H,外心为 O,求OH .考点：勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心.分析：根据勾股定理的逆定理得此三角形是直角三角形，则其外心就是斜边的中点；又因为高的交点是直角顶点,则OH就是斜边上的中线，等于斜边的一半是V.2解答：解：. ABC的三边为5, 12, 13

18、,. .ABC是直角三角形，OH=13 >i=.2 2C的点评：考查了勾股定理的逆定理，此题首先能够判定它是一个直角三角形，然后确定它的外心就是斜边的中点, 高的交点就是直角顶点；从而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.2 .在4ABC中，ZACB -Z B=90 °, Z BAC的角平分线交 BC T E, ABAC的外角平分线交 BC于F,证明：AE=AF .:等腰直角三角形.:证明题.由 AE 平分/ BAC , AF 是 ABAC 的外角的平分线得到/ EAF= / EAC+ /CAF=4(/ BAC+ / CAD) =90°,2然后根据三角形的内角

19、和与三角形外角的性质即可得到/AFE=45 °,进而得到AE=AF .解答： 证明：: AE平分/ BAC , AF是ABAC的外角的平分线,/ EAF= / EAC+ / CAF= - (/ BAC+ / CAD ) =902. EAF是直角三角形， / ACB - / B=90 °, .Z BAC=180 °-Z ACB -Z B=180 - ( 90 +ZB) - Z B=90 - 2Z B/ BAE= -Z BAC=45 -ZB, ./ AEC= / BAE+ /B=45 °, ./ AFE=45 °,/ AEC= / AFE , AE

20、=AF .点评：考查了三角形的外角平分线的性质和等腰直角三角形的性质，关键是结合图形进行角的关系的推理.3 .如图，以等腰直角 4ABC的直角边 AC作等边AACD, CE± AD于E, BD、CE交于点F.(1)求/ DFE的度数；(2)求证：AB=2DF .考点：等腰直角三角形；等边三角形的判定与性质.分析：(1)根据等边三角形的性质可得/ ACD的大小，根据BC=CD即可求得/ CDB,即可求得/ ADB ,即可解 题；(2)根据/ DFE=45 °可得4DEF为等腰直角三角形，根据 AD=2DE即可解题.解答：解：(1) . ACD是等边三角形，/ ACD=60 &

21、#176;, ./ BCD=60 +90 =150 °, BC=CD ./ BDC= 1 ( 180 - 150°) =15 °,2 ./ ADE=60 - 15 =45 °,/ DFE=180 - / DEF - / EDF=45 °,(2) CEXAD , / DFE=45°,. DEF为等腰直角三角形，. ABC是等腰直角三角形，ACBA DEF ,DE_DF_1 =一AC AB 2AB=2DE .点评：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了三角形相似的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证4DEF是

22、等腰直角三角形解题的关键.4.如图，OBD和4OCA是等腰直角三角形， ZODB= Z OCA=90 °. M是线段 AB中点，连接 DM、CM、CD.若 C在直线OB上，试判断4CDM的形状.考点：等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线.专题：几何综合题.分析： 由OBD和4OCA是等腰直角三角形得到/ ACB= / ADB=90 °, / OBD=45 °,由M为AB的中点，根据直 角三角形斜边上的中线性质得到DM=AM=BM , CM=AM=BM ,贝U CM=DM , / MBD= Z MDB ,/ MCB= / MBC ,理由三角形外角性质得/ AMD=

23、2 / MBD , / AMC=2 / MBC ,则/ AMD / AMC=2(/ MBD - Z MBC) =2/OBD=90°,于是可得到 4CDM为等腰直角三角形.解答：解：ACDM为等腰直角三角形.理由如下：OBD和4OCA是等腰直角三角形， ./ ACB= / ADB=90 °, / OBD=45 °,而M为AB的中点，DM=AM=BM , CM=AM=BM ,CM=DM , / MBD= / MDB , / MCB= / MBC ,/ AMD=2 / MBD , / AMC=2 / MBC , / AMD - / AMC=2 (/ MBD - / MB

24、C ) =2/ OBD=90 °,即/ CMD=90 °, CM=DM ,. CDM为等腰直角三角形.点评：本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质、三角形外角的性质，灵活利用直角三角形的斜边上的中线的性质是关键.5.请在所给网格中按下列要求画出图形._(1)从点A出发的一条线段 AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为2我；(2)以(1)中的AB为边的一个等腰三角形 ABC,使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；(在图甲中画出)(3)以(1)中的AB为边的两个四边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无甲

25、乙考点：勾股定理；等腰三角形的性质；中心对称图形.专题：作图题.分析：(1)利用勾股定理让直角三角形的两条直角边均为2即可得到AB的长为2-/2；(2)首先要思考边 AB是做腰还是做底边，其次在否定了做腰的情况下，要思考当 AB做为底边时，其顶点C应在何处？很显然，应在 AB的中垂线上，至此，只需要作 AB的中垂线，看其经过哪个格点即可；(3)要思考的是在排除三角形不可能是中心对称图形的情形之下，想到最基本的中心对称图形应是平行四边形(包括矩形，菱形)，至此，则符合要求的凸多边形不难画出.解答:解:甲点评：本题借助 纸笔作图”这种简单的数学活动，考查学生能否从无序的试误操作”走向 宥序的合理构

26、图”，即从开始带有盲目的尝试操作上升为最终能够把握图形的基本特征进行构图.6.已知：如图所示， RtAABC中，/ C=90°, / ABC=60 °, DC=11 , D点到AB的距离为2,求BD的长.考点：勾股定理；含30度角的直角三角形.专题：计算题.分析： 根据DE求AD的长度，根据 AC=AD+CD 即可求AC的长度，: / A=30 °,AE=，WDE=2、/ ,且根据AB=2BC , AB2BC2=AC2即可求得AB的长度，BE=AB - AE ,根据BD=，”%p即可求BD的长.解答： 解：DEXAB于E,且DE=2, 在 RtAABC 中， /

27、ABC=60 °, ./ A=30 °.在 RtAADE 中， DE=2 , .AD=4, AE= 23, DC=11 ,AC=11+4=15 ,AB=X2W点评： 本题考查了勾股定理的运用，考查了30。角在直角三角形中的运用，本题中巧妙地利用/A=30。是解题的关 键. AABC中，AB= V5, BC=V10, AC= V13,求这个三角形的面积.(1)小明同学是用构图法解答本题的，建立一个正方形网格(小正方形的边长为1),在网格中画出符合条件的格 点三角形ABC ,这样不必求4ABC的高而借助网格可得 4ABC面积为 3.5 . (2)若4ABC三边长为(a>

28、0),请利用图2的正方形网格(小正方形边长为a),画出相应 的AABC,并求出它的面积.EB-AB-AE=8V5,在 RtDEB 中，DB?=De2+Eb2 = 22+2=4+192= 198，BD=14 .答：BD的长为14.考点：勾股定理；三角形的面积.专题：作图题.分析：（1）用正方形的面积减去三个直角三角形的面积就能得到三角形的面积.（2）在边长为a的正方形格点中，分别画出三角形的三边，用同样的方法求得三角形的面积.解答:解:（1）Saabc=3>3M>2 -221x2X3=3.5;22SAABC=4a>2a- -><a>2a- >2a>

29、2a- - ><a>4a=3a .222点评：本题考查了勾股定理的知识，在坐标系中将三角形的面积转化为四边形的面积减去直角三角形的面积是常 采用的方法.8 .如图所示，在 4ABC中，/ B=90 °, AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B以2厘米/秒的速 度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于2巫厘米？（把实际问题转化为几何问题）考点：勾股定理.专题：计算题；动点型.分析： 设t秒后PQ=2泥，则BP=6 - 2t, BQ=3 - t,在直角ABPQ中，根据勾股定理

30、BP2+BQ2=PQ2可求t的值.解答：解：在直角三角形中 AB=6cm=2BC=2 X3cm,且P的移动速度是 Q的移动速度的2倍，BP, BQ满足BP=2BQ的关系设t秒后PQ= 275,贝U BP=6 - 2t, BQ=3 - t,且（6-2。2+（3-1） 2= （2） 2,解得t=i.答：1秒后PQ间的距离为2娓.点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中抓住 BP=2BQ并且根据勾股定理求t是解题的关键.9 . （1）等腰 ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作直线 运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运

31、动，PQ与直线AC相交于点D,过P作PEXAC于点E.设P点运动时间为t.当点P在线段AB上运动时，线段 DE的长度是否改变？若不改变，求出 DE的值；若改变，请说明理由.下面给出一种解题的思路，你可以按这一思路解题，也可以选择另外的方法解题.解：过Q作QFL直线AC于点M. PELAC于点E, QFL直线 AC于点 M ./ AEP= / F=90°（下面请你完成余下的解题过程） 当点P在线段AB的延长线上运动时，（1）中的结论是否还成立？请在图2画出图形并说明理由.（2）若将（1）中的 腰长为10cm的等腰直角 ABC”改为 边长为a的等边 ABC”时（其余条件不变），则线段DE

32、的长度又如何？（直接写出答案，不需要解题过程）（3）若将（2）中的 等边 ABC”改为ABC ”（其余条件不变），请你做出猜想：当4ABC满足 / A= / ACB 条 件时，（2）中的结论仍然成立.（直接写出答案，不需要解题过程）考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例. 专题：证明题；动点型.分析：（1）求出AC的值，过Q作QFXAC交AC的延长线于F,根据AP=CQ=t和等腰直角三角形求出 AE=PE=QF=CF，根据平行线分线段成比例定理求出DE=DF ,即可求出答案； 根据AAS证4APE和4CFQ全等，推出 CF=AE ,推出 A

33、C=EF即可；（2）与 证法类似求出 DE=DF , AE=CF=1ef,推出EF=AC ,代入求出即可；（3）根据的结论求出只要/ A=/ACB时，就能推出AE=CF,即可求出答案. 解答：解：（1）线段DE的长度不变，由勾股定理得：AC= 4 AB 2 + bc 2=1。fl,过Q作QF，AC交AC的延长线于 F, . / QCF=/ACB= /A=/EPA=45 °, AP=CQ=t , AE=PE=QF=CF , QFXAC , PE±AC , QF/ PE, . PE-ED -=、QF DF . DE=DF=EfJ （ EC+CF） =1 （ EC+AE ）,AC

34、=5 7. 2222成立， 理由是：在 4AEP和4CFQ中 叱 AEP二/QFE ' ZA=ZQCF ,tAP=CQAEPACFQ,AE=CF ,AC=AE+CE=CF+CE=EF , 由 知：DE=DF=-EF,2DE= -AC ,2，成立.(2)与 证法类似：知 DE=DF , EF=AC ,DE.2(3)当 / A= ZACB 时，DCF= ZACB= / A,在AAEP和CFQ中二Nqcf, ZAEP=ZCFQ ,lAP=CQAEPACFQ,AE=CF ,AE+EC=CF+EC ,即 AC=EF,由知ED=DF ,DE= IaC ,2O图（1）图（2）点评：本题考查了等边三角

35、形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线分线段成 比例定理等知识点的运用，主要考查学生运用性质进行推理，能根据证明过程得出证题规律和结果规律是 | 解此题的关键，只要掌握证 的规律，此题就能迎刃而解.10.如图，4ABC和4ECD都是等腰直角三角形，/ ACB= / DCE=90 °, D为AB边上一点.(1)求证：ACEBCD;(2)设AC和DE交于点 M ,若AD=6 , BD=8 ,求ED与AM的长.三C考点：等腰直角三角形；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中 线；勾股定理.专题：证明题；几何综合题.分析：(1

36、)根据等腰直角三角形性质求出AC=BC , EC=CD , / ACB= / DCE=90 °,求出/ ACE= / BCD ,根据SAS证出即可；(2)根据全等求出 AE=BD=8 , / EAC= / B,求出/ EAD=90 °,根据勾股定理求出 DE即可；过C作CN，ED 于N ,过A作AG，DE于G,根据三角形的面积公式求出 AG ,根据直角三角形性质求出 DN，求出NG、 CN ,根据AG / CN得出比例式，求出 MG,在4AGM中，根据勾股定理求出 AM即可.解答：(1)证明：, ABC和4ECD都是等腰直角三角形，/ ACB= Z DCE=90 °

37、;,AC=BC , EC=CD , / ACE= / BCD ,在AACE和 BCD中rAC=BC' NACE=/BCD ,lce=cdACEA BCD .(2)解：. ACEA BCD ,AE=BD=8 , / EAC= / B ,/ B+/BAC=180 - 90 =90 °, ./ EAC+ / BAC=90 °,即/ EAB=90 °,在RtAEAD中，由勾股定理得：DE=五2+产10，过C作CN，ED于N ,过A作AG，DE于G ,AG / CN ,在AED中，由三角形的面积公式得：AE >AD=DE >AG , ，AG= J在 Rt

38、CED 中，CE=CD , Z ECD=90 °, CN ± DE ,EN=DN=，DE=5 ,2在ADGA中，由勾股定理得： DG=Jm2 此2岩,-NG=5-f? AG / CN ,24M=Afi=T= 24MN CN 5 25,MG = 24125'5MG="35(22 日 一在RtAAGM中，由勾股定理得： AM=J居痴1=J (a) + (建) =当 一： ,即 AM二E :/ X1.|,/1tLT/| / b c_点评：本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，能 综合运用性质进行推理和计算是解此

39、题的关键，题目比较典型，有一定的难度.11.已知：如图1,当ABO和CDO是两个等腰直角三角形， OA与OC, OB与OD ,都在同一条直线上， ZABO 和/ CDO的角平分线分别交 AC于点E和F.(1)求证：AC=2 (BE+DF)(2)如图2,当ABO和CDO变为两个全等的直角三角形且 OA与OC不在同一条直线上时，连接 AC与BD 交于点G,其余条件都不变，那么(1)中的结论还成立吗？如果成立请证明，不成立说明你的理由.考点：等腰直角三角形；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.专题：证明题.分析： (1)推出等腰直角三角形 ABE、OBE、ODF、CDF,推出B

40、E=AE=OE , DF=OF=CF即可；(2)根据全等三角形性质推出/ AOB= ZOCD, OA=OC ,根据等腰三角形性质推出/ GAO= ZGCO,求出/AGB=/GCD, /GCD=/DGC.求出/ DGC= Z GCD=45 °, / AGB= / BAG 即可.解答： 解：(1)证明：. AOB和ODC是等腰直角三角形，BE平分直角 ABO , DF平分直角 ODC ,/ A= / AOB=45 °, / DOC= / C=45 °, / ABE= / OBE= / ODF= / CDF=45 °, .ABE, OBE, ODF, CDF都

41、是等腰直角三角形，BE=AE=OE , DF=OF=CF ,贝U BE=1 (AE+OE) =1aO , DF=1 ( CF+OF ) =1OC ,2222AC=2 ( BE+DF ).(2)结论成立，理由如下： RtAABORtACDO, ./ AOB= /OCD, OA=OC ,OA=OC , ./ GAO= ZGCO, / AGB= / GAO+ / AOB , / GCD= / GCO+ / OCD , ./ AGB= /GCD, . / AGB= / DGC,/ GCD= / DGC.GDC=90 °, ./ DGC= Z GCD=45 °, RtAGCD是等腰直

42、角三角形，同理可证RtAABG也是等腰直角三角形，这满足了( 1)中所有条件，根据(1)就有相同的结论.点评：本题综合考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，角平分线性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，此题有一定难度，但题型较好.12,已知：在四边形 ABCD 中，/ D=90 °, DC=3cm , AD=4cm , AB=12cm , BC=13cm ,求四边形 ABCD 的面积. DB考点：勾股定理.专题：计算题.连接AC,则4ADC和4ABC均为直角一角形，根据 Saadc=AD ?DC , Sa abc=AB?AC求其面

43、积，即可求四边形ABCD的面积，其中四边形 ABCD的面积为4ADC和4ABC的面积之和.解答：解：如图，连接AC.在 RtAADC 中，AC= VaD2 + CD2= 42 + 32=5cm，又 52+122=169=132,AC2+AB2=BC2.ABC是直角三角形.1- S 四边形 ABCD =2 >3 >4+"!M2 >5=36cm .22D点评： 本题考查了勾股定理的运用，本题中求四边形ABCD的面积转化为求 4ADC和4ABC的面积是解题的关键.13.阅读下面的文字，解答问题：大家知道 &是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此加的小数部分我们不

44、可能全部地写出来，于是小明用加-1来表示我的小数部分,你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 «的整数部分是1,将这个数减去其整数部分， 所得的差就是小数部分.又例如：因为即2<V7<3,所以有的整数部分为2,小数部分为（近-2）.请解答：_（1）如果皆号的整数部分为a,那么a= 3 .如果3+V5Hb+c,其中b是整数，且0vcv1,那么b= 4 , c= 蕊=_ （2）将（1）中的a、b作为直角三角形的两条直角边，请你计算第三边的长度.考点：勾股定理；估算无理数的大小.专题：计算题.分析：（1）按照题干中给出的判定方法可以判定3<V13&

45、lt;4;（2）在直角三角形中，已知两直角边的长度，根据勾股定理可以计算斜边的长度.解答：解：（1）上即3<百与<4,所以后的整数部分为3,当 3+V3=b+c 且 b 为整数，0v cv 1,c=J"3 - 1, b=4 ;（2） a=3, b=4,在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即斜边的长为杼+产，即第三边为5,故答案为：（1） 3, 4, V3- 1, （2）第三边的长为5.点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了无理数大小的估算，本题中正确的计算a、b的值是解题的关键.14 .如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90 °,

46、 AC=BC=10 , CD 是射线，/ BCF=60 °,点 D 在 AB 上,AF、BE 分别垂 直于CD （或延长线）于 F、E,求EF的长.考点：勾股定理；等边三角形的判定与性质.专题：计算题.分析： 找到BC中点，连接EG,求证4CEG是等边三角形，则 CE=5 ,在RtAACF中，根据CF=d/ _而即 可求得CF,根据EF=CF-CE即可求得EF.解答： 解：设BC的中点为 G,连接EG,则EG=1bC=CG=5 .2又/ BCE=60 °,， CEG是等边三角形，即 CE=5.在 RtAACF 中，/ ACF=90 - 60 =30 °,AF=1A

47、C=5,2CF= 法2 -次2=5如,点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中准确的根据直角 ACF计算CF是解题的关键.15 .观察图1:每个小正方形的边长均是 1,我们可以得到小正方形的面积1.(1)图1中阴影正方形的面积是多少？并由已求面积求边长AB的长；(2)在图2: 3M正方形方格中，由题(1)的解题思路和方法，设计一个方案画出长为泥的线段，并说明理由.1图IC考点：勾股定理.专题：计算题；作图题.分析：(1)用大正方形的面积减去 4个小三角形的面积即为阴影部分的面积.根据正方形面积公式即可求出AB的长. (2)根据勾股定理画出直角边分别为

48、2和1的三角形的斜边即可.解答： 解：(1) S阴=S大正方形-4S/x =224弋=2;图1中阴影是正方形，Sabcd =AB ?BC=2 , AB=觇答：图1中阴影正方形的面积是 2;并由已求面积求边长 AB的长；(2)如图，当直角三角形的两边分别为2和1时，其斜边为 限按此方案画这样的三角形的斜边长即可.EF= JeG 2 + 加 2=M 4+1 =y，16 .正方形网格中，小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.下图1中的正方形网格中 4ABC是格点三角形，小正方形网格的边长为1 (单位长度).(1) AABC的面积是 5 (平方单位)；(2)在图2所示的正方形网格中作

49、出格点 AA BC和A"B"C",使A'B'C's AABC , ABCs abc ,且AB、 AB'、A B 中任意两条线段的长度都不相等；(3)在所有与AABC相似的格点三角形中，是否存在面积为3 (平方单位)的格点三角形？如果存在，请在图 3中作出，如果不存在，请说明理由.图1却图3考点：勾股定理；三角形的面积；作图一代数计算作图；相似三角形的性质.专题：综合题.分析：(1) AABC的面积可以用正方形的面积减去其周围三个直角三角形的面积.(2)利用格点正方形将三角形ABC的三边分别求出来，利用相似三角形对应边成比例得到相应的

50、三角形的三边长，在格点正方形中画出来即可；(3)假设存在这样的三角形，从存在出发，经过推理得到矛盾后即可说明不存在这样的三角形.解：(D Saabc=4>4 j乂1乂2 弋乂3乂4+微X2X4=161 6 4=5;(2)如图(3)若存在该三角形，命名为 A ' B' C'与ABC相似.因为BC长为AB长的两彳§所以B'C'长为A'B'长的两倍.协B"B" C' = ('A' B ' Y 2=3,2a，b=V5,而6是不可能由格点三角形构成，所以不存在.点评：本题考查了勾股

51、定理及相似三角形的知识，特别本题中所涉及到的格点图形更是近几年中考的高频考题.17 .如图，在 RtAABC中，/ ABC=90 °, AB=4 , BC=3,将AABC沿AC边所在直线向右平移 x个单位，记平移 后的对应三角形为 ADEF,连接BE.(1)当x=4时，求四边形 ABED的周长；(2)当x为何值时，ABED是等腰三角形？考点：勾股定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质；平移的性质.专题：计算题.分析：(1)根据轴对称的性质，求得 AD, DE的长，然后即可求四边形 ABED的周长(2)分两种情况：一是，当 BE=ED=4时，利用轴对称的性质可得x的值，二是当BD=ED=

52、4时，利用勾股定理可求得x的值.解答： 解：(1)将4ABC沿AC边所在直线向右平移 x个单位，当x=4时，即AD=4 ,又因为平移后的对应三角形为 ADEF,所以，AB=AD=DE=BE=4 ,所以四边形 ABED的周长为16.(2)当 BE=ED=4 时，x=4;当 BE=BD=x 时，由/ CDE=/BDE, 利用轴对称的性质可得 DC=BD=BE , x=2.5 ,当 BD=ED=4 时，过点D作DH，BE于H ,BH=±, DH=2AB*BC 12答：(1)当x=4时，求四边形ABED利用勾股定理得：DH 2+BH 2=BD 2,32 BED是等腰三角形.的周长为16; (

53、2)当x为星或2.5或4时,5S EA D C F点评：此题主要考查勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，平移的性质等多个知识点，此题涉及到的知 识点较多，综合性较强，属于中档题.18 .已知一个三角形的三边长分别是7厘米，3厘米，第三边长为 x厘米.（1）求第三边x的取值范围；（2）在（1）的条件下，取 x的偶数值为直角 4ABC的两直角边长（AC>BC）,此时AB=10厘米，若P为斜边AB上的一个动点，求 PC的最小值.考点：勾股定理；垂线段最短；三角形三边关系.分析：（1）已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；（2）根据（1）的条件

54、下可得 AC=8厘米，BC=6厘米，由勾股定理可知，g2+62=10厘米，则AB是斜边，再根据三角形的面积公式即可得到PC的最小值.解答：解：（1）根据三角形的三边关系，得7- 3<x< 7+3,即 4V x< 10.（2）二在（1）的条件下，取 x的偶数值为直角 4ABC的两直角边长（AC >BC）,AC=8 厘米，BC=6 厘米，由勾股定理可知， 点，出=10厘米， AB=10 厘米，AB是斜边，当PCX AB时，PC取最小值，PC的最小值=4X8X6T0=4.8厘米， 22故PC的最小值是4.8厘米.点评：考查了勾股定理，三角形三边关系，垂线段最短，本题需要理解的

55、是如何根据已知的两条边求第三边的范 围.19.阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在4ABC中，AB, BC, AC三边的长分别为 而方、2血，求4ABC的面积.小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格点 4ABC （即4ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出 4ABC的面积.他把这种解决问题的方法称为构图法.请回答：（1）图1中4ABC的面积为 5 ;参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）.利用构图法在答题卡的图 2中画出三边长分别为 国、2娓、4%的格点DEF; 计算4DEF的面积为 7 .（3）如图3,已知4ABC，以AB , AC为边向外作正方形 ABDE , ACFG ,连接EG.若AB=V10, BC=V13,AC=V5,则六边形 BCFGED的面积为_22图1图2考点：勾股定理；作图一应用与设计作图.分析：(1)利用恰好能覆盖 4ABC的长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答；(2)借助网格利用