九年级数学上册课件：2912 垂直于弦的直径

1、 1 填空：填空： （1）根据圆的定义，）根据圆的定义，“圆圆”指的是指的是_，而不是而不是“圆面圆面” （2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的件，圆心决定圆的_ ，半径决定圆的，半径决定圆的_ ，二者缺一不可，二者缺一不可 圆周圆周位置位置大小大小旧知复习旧知复习 （4）图中有）图中有_条直径，条直径， _条非直径条非直径的弦，圆中以的弦，圆中以A为一个端点的优弧有为一个端点的优弧有_ 条，条，劣弧有劣弧有_ 条条 （3）_是圆中最长的弦，它是是圆中最长的弦，它是_的的2倍倍直径直径半径半径OBADCEF一一二二四四四四2 判断下列说法的

2、正误：判断下列说法的正误：(1)弦是直径；弦是直径；(2)半圆是弧；半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；过圆心的线段是直径；(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;(8)半径相等的两个圆是等圆半径相等的两个圆是等圆(4)过圆心的直线是直径；过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；直径是最长的弦； 3 选择：选择：（1）下列说法中，正确的是（）下列说法中，正确的是（ ） 线段是弦；线段是弦；直径是弦；直径是弦； 经过圆心的弦是直径；经过圆心的弦是直径； 经过圆上一点有无数条直径经过圆上一点有无数条直径 A B C D B

3、 （2）如图，）如图， O中，点中，点A、O、D以及点以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数为（分别在一条直线上，图中弦的条数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5OCBEADB由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？结论：结论：圆是轴对称圆是轴对称图形图形。任何一条。任何一条直直径所在直线径所在直线都是它都是它的对称轴的对称轴 不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗心吗? ?OOABCDE 是轴对称图形是轴对称图形大胆猜想大胆猜想已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径， AB是弦，是弦， CDAB，垂足为，垂足为E 下图是轴

4、对称图形吗？下图是轴对称图形吗？已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦， CDAB，垂足为，垂足为E求证：求证：AEBE，ACBC，ADBD叠合法叠合法DOABEC 垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分平分弦，并且弦，并且平分平分弦所对的弦所对的两条弧两条弧 知识要点知识要点OABCDECDAB, CD是直径是直径,AE=BE, AC =BC, AD=BD.符号语言符号语言图形语言图形语言EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个

5、基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD1 1、如图，、如图，ABAB是是OO的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDABCDAB于于E E，则下列结论中则下列结论中不成立不成立的是（的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BC OABECD2 2、如图，、如图，OEABOEAB于于E E，若，若OO的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。OABE3 3、如图，在、如图，在OO中，弦中，弦ABAB的长为的长

6、为8cm8cm，圆，圆心心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求OO的半径。的半径。OABE解：解：过点过点O O作作OEABOEAB于于E E，连接，连接OA OA cmOEcmABAE3421cmOEAEAE5342222即即O的半径为的半径为5 5cm.cm.4 4、如图，、如图，CDCD是是OO的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长。的长。OABECD解：解：连接连接OAOA， CD CD是直径，是直径，OEABOEAB AE=1/2 AB=5 AE=1/2 AB=5设设OA=xOA=x，则，则

7、OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=13 OA=13 CD=2OA=26 CD=2OA=26即直径即直径CDCD的长为的长为26.26.EOABDCd + h = r222)2(adrdhar有哪些等量关系？有哪些等量关系？ 在在a，d，r，h中，已知其中任中，已知其中任意两个量，可以意两个量，可以求出其它两个量求出其它两个量 你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗?它是它是1300多年前我国隋代建造多年前我国隋代建造的石拱桥，的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它是我国古代人民勤劳与智慧的

8、结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实际问题37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常常关于弦的问题，常常需要需要过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线段段，这是一条非常重要，这是一条非常重要的的辅助线辅助线。圆心到弦的距离、半圆心到弦的距离、半径、弦径、弦构成构成直角三角形直角三角形，便将问题转化为直角三便将问题转化为直角三角形的问题。角形的问题。跨度（弧所对的弦跨度（弧所对的弦的长）为的长）为37.437.4

9、，拱高（弧的中点到拱高（弧的中点到弦的距离）为弦的距离）为7.27.2AEBEACBCADBDCD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB直径过圆心直径过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧题设题设结论结论DOABEC将题设与结论调换将题设与结论调换过来，还成立吗？过来，还成立吗？ 这五条进行这五条进行排列组合，会出排列组合，会出现多少个命题？现多少个命题？ 直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （1）平分弦平分弦（不是直径）的（不是直径）的直径直径垂直于

10、弦垂直于弦，并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧DOABEC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CD平分平分AB求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂的直径垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直径，是直径， AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE（1 1）如何证明？）如何证明？OABCDE已知：已知：如图，如图，CDCD是是OO的直径，的直径，ABAB为弦为弦，且，且AE=BE.A

11、E=BE.证明：证明：连接连接OAOA，OBOB，则，则OA=OBOA=OB AE=BE AE=BE CDAB CDAB AD=BD, AD=BD, 求证：求证：CDABCDAB，且，且AD=BD,AD=BD, AC =BC AC =BC AC =BC AC =BC（2 2）“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？如这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。果不能，请举出反例。 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。OABCD1.1.已知已知P P为为OO内一点，且内一点，且OPOP2cm2cm，如，如果果OO的半径是

12、的半径是3cm,3cm,那么过那么过P P点的点的最短的最短的弦弦等于等于. .EDCBAPO2 5cm2.2.过过OO内一点内一点M M的最长弦长为的最长弦长为4 4厘米，最短厘米，最短弦长为弦长为2 2厘米，则厘米，则OMOM的长是多少？的长是多少？OMA3 3、如图，点、如图，点P P是半径为是半径为5cm5cm的的OO内一点，且内一点，且OP=3cm, OP=3cm, 则过则过P P点的弦中，点的弦中，（1 1）最长的弦）最长的弦= = cmcm（2 2）最短的弦）最短的弦= = cmcm（3 3）弦的长度为整数的共有（）弦的长度为整数的共有（ ） A A、2 2条条 B B、3 3条

13、条 C C、4 4条条 D D、5 5条条?O?PAOCD54P3B4 4、如图，点、如图，点A A、B B是是OO上两点，上两点，AB=8,AB=8,点点P P是是OO上的动点（上的动点（P P与与A A、B B不重合）不重合）, ,连接连接APAP、BP,BP,过点过点O O分别作分别作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F, EF= F, EF= 。?O?A?B?P?E?F4 回顾与思考回顾与思考这节课你有什么收获？这节课你有什么收获？还有哪些疑问？还有哪些疑问？1.1.过过oo内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦长为最短弦长为8 8, ,那么那

14、么oo的半径是的半径是2.2.已知已知oo的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那那么么C C到到ABAB的距离等于的距离等于3.3.已知已知OO的弦的弦AB=4AB=4, ,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离为的距离为1 1, ,那么那么OO的半径为的半径为4.4.如图如图, ,在在OO中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或956413Cm 5

15、 弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为则这弓形所在的圆的半径为_ D C A B Ocm134 7 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点点O是弧是弧CD的圆心），其中的圆心），其中CD=600m，E为弧为弧CD上上的一点，且的一点，且OECD垂足为垂足为F，EF=90m求这段弯求这段弯路的半径路的半径解解:连接连接OCOCDEF.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE ).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.5

16、45m这段弯路的半径约为 8 已知在已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距的距离为离为3cm，求，求 O的半径的半径解：连结解：连结OA过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则OE3cm，AEBE AB8cm AE4cm 在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5cm O的半径为的半径为5cmAEBO 9 在以在以O为圆心的两个为圆心的两个同心圆中，大圆的弦同心圆中，大圆的弦AB交小圆交小圆于于C，D两点两点 求证：求证：ACBD证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE AECEBEDE 所以，所以，ACBDE

17、ACDBO10 已知：已知： O中弦中弦ABCD 求证：求证：ACBD证明：作直径证明：作直径MNAB ABCD， MNCD 则则AMBM，CMDM AMCMBMDM ACBD MCDABON5 5、如图，、如图，OO中中CDCD是弦，是弦，ABAB是直径，是直径，AECDAECD于于E E，BFCDBFCD于于F F，求证：，求证：CECEDFDF。MFEABDCO一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立OABMNCD注意注意为什么强调这里的弦为什么强调这里的弦不是直径不是直径？AMBM， CMDM圆的两条圆的两条平行弦平行弦所夹的所夹的弧

18、相等弧相等MOABNCD证明：作直径证明：作直径MN垂直于弦垂直于弦AB ABCD 直径直径MN也垂直于弦也垂直于弦CDAMCM BMDM 即即 ACBDABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论2有这两种情况：有这两种情况：OOABCD1 圆是轴对称图形圆是轴对称图形任何一条直径任何一条直径所在的直线所在的直线都是它的对称轴都是它的对称轴O 垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧 2 垂径定理垂径定理DOABEC条件条件结论结论命题命题 平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂

19、直于弦并且平分弦所对的两条弧的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所

20、对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦3垂径定理的推论垂径定理的推论 经常是过圆心作弦的经常是过圆心作弦的垂线垂线，或作，或作垂直于弦垂直于弦的直径的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径定理等辅助线，为应用垂径定理创造条件创造条件4 解决有关弦的问题解决有关弦的问题 CD CD是直径是直径, , CDAB, CDAB, AM=BM AM=BM AC=BC,AC=BC, AD=BD.AD=BD. 如果具备上面五个条件中的任何两个，那如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线一条

21、直线满足满足:(1):(1)过圆心过圆心;(2);(2)垂直于弦垂直于弦;(3);(3)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）; (4); (4)平分弦所对优弧平分弦所对优弧;(5);(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧. .OABCDM课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平

22、分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。只要具备上述五个条件中任两个只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个就可以推出其余三个.(4)若若 ，CD是直径是直径,则则 、 、 .(1)若若CDAB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(2)若若AM=MB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(3)若若CDAB, AM=MB, 则则 、 、 .1.如图所示如图所示:练习练习OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=

23、BD CD是直径是直径 AC=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM AD=BD 试一试试一试2.判断：判断：( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧这条弦所对的另一条弧.( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行则这两条弦平行. ( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧

24、. 直径过圆心直径过圆心 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （2）平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径直径，垂直平垂直平分弦分弦，并且，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ACBC 求证：求证：CD平分平分AB，CD AB，ADBDDOABEC 直径过圆心直径过圆心 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 垂直于弦垂直于弦 （2）平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径直径，垂直平垂直平分弦分弦，并且，并且平分弦所对的另

25、一条弧平分弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD 求证：求证：CD平分平分AB，CD AB，ACBCDOABEC 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 直径过圆心直径过圆心 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （3）弦的）弦的垂直平分垂直平分线线 经经过圆心过圆心，并且，并且平平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧 已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，求证：求证：CD是直径，是直径，ADBD，ACBCDOABEC 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 平分弦所对的劣弧

26、平分弦所对的劣弧 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 （4）垂直于弦垂直于弦并且并且平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径过圆心直径过圆心，并且，并且平分弦和所对的另一条弧平分弦和所对的另一条弧 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （5）平分弦平分弦并且并且平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径过直径过圆心圆心，垂直于弦垂直于弦，并且，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧 平分弦平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对

27、的劣弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 （6）平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧的的直径过圆心直径过圆心，并且并且垂直平分弦垂直平分弦船能过拱桥吗船能过拱桥吗? ?例例3.3.如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、米、船舱顶部为长方形并高出水面船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的货船要经米的货船要经过这里过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为Rm,Rm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高. .由题设得由题设得ABABABAB. 5