2011届高考数学热点：攻略数列

1、2011 届高考数学热点：攻略数列届高考数学热点：攻略数列数列在中学数学中地位非常重要，它是衔接初等数学和高等数学的桥梁，是高考数学每年必考的重要内容。内容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学归纳法和数列极限等；它渗透了分类讨论和类比、归纳等重要的数学思想。事实上，在数列的复习中，既要重视公式的应用，还要注意计算的合理性。在处理某些数列问题时，要渗透函数观点，借助函数思想帮助解决；同时要注意新情景下的数列问题研究，有意识建立与等差数列、等比数列的联系，探讨通项和求和问题；数学思想如分类思想、特殊化思想等在数列中的考查，也是同学们在复习中必须重视的问题。我们先来分析一下解析几何高考

2、的命题趋势：我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势：一题型稳定：近几年来高考数列试题一直稳定在 1-2 个小题和 1 道大题上，分值约为 20 分左右， 占总分值的 12%左右，但是如果把数列与其他知识结合的综合题目，分值会更大。二在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:1运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；2注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3注意等差、等比数列的前 n 项和的特征在解题中的应用； 4注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳； 6掌握数

3、列通项 an 与前 n 项和 Sn 之间的关系；7根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8掌握一些数列求和的方法(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和9以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用三方法总结1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的

4、题，这应是命题的一个方向。四2010 年高考预测1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关nSnanSna于递推公式，在考试说明中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项” 。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。4. 求和问题也是

5、常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。在近年高考中，对平面向量内容的考查的主要知识点和题型有：在近年高考中，对平面向量内容的考查的主要知识点和题型有：等差数列的证明方法：等差数列的证明方法：1.1. 定义法：2等差中项：对于数列，若 na212nnn

6、aaa等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：-该公式整理后是关于 n 的一次函数dnaan) 1(1等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和 1 2. 3.2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1BnAnSn2等差中项等差中项: : 如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或aAbAab2baAbaA2等差数列的性质等差数列的性质: :1等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则nanmamnm d有dmnaamn)( 2 对于等差数列，若，则。也就是： naqpmnqpmnaaaa， 23121nnnaaaaaa3若数列是等差数列，是其前

7、n 项的和，那么，成等差数列。如下图所 nanS*Nk kSkkSS2kkSS23示： kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S3214设数列是等差数列，：奇数项和，：偶数项和，是前 n 项和，则有如下性质： na奇S偶SnS1。当 n 为偶数时， 2。当 n 为奇数时，则，d2nS奇偶S中偶奇aSS偶奇SSnn1等比数列的判定方法等比数列的判定方法: : 定义法：若 等比中项：若，则数列是等比数列。)0(1qqaann212nnnaaa na等比数列的通项公式等比数列的通项公式: :如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。 na1aq11nnqaa等比数

8、列的前等比数列的前 n n 项和：项和：1 1。 2。 3。当时，) 1(1)1 (1qqqaSnn) 1(11qqqaaSnn1q1naSn等比中项等比中项: : 如果使，成等比数列，那么叫做与的等比中项等比中项。那么。aGbGababG 2等比数列的性质等比数列的性质: :1等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则nanmamnm q有mnmnqaa2对于等比数列，若，则也就是： navumnvumnaaaa。23121nnnaaaaaa3若数列是等比数列，是其前 n 项的和，那么，成等比数列。如下图所示： nanS*Nk kSkkSS2kkSS23

9、 kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321一、选择题（每小题 5 分）1.(2009 年广东卷文)已知等比数列na的公比为正数，且3a9a=225a，2a=1，则1a= A. 21 B. 22 C. 2 D.2 解析：解析：设公比为q,由已知得22841112a qa qa q,即22q ,又因为等比数列na的公比为正数，所以2q ,故211222aaq,选 B2.（2008 全国一 5）已知等差数列满足，则它的前 10 项的和（ ） na244aa3510aa10SA138B135C95D23解析：解析：C. 由；243511014,104,3,104595

10、aaaaadSad 3.（2009 广东卷 理）已知等比数列na满足0,1,2,nan，且25252 (3)nnaan，则当1n 时，2123221logloglognaaa A. (21)nn B. 2(1)n C. 2n D. 2(1)n解析：解析：由25252 (3)nnaan得nna222，0na，则nna2， 3212loglogaa 2122) 12(31lognnan ，选 C. 4.（2008 北京卷 6）已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ） na*pqN，p qpqaaa26a 10aABCD165333021解析：解析：由已知+ -12，+24,=+= -30 C C4

11、a2a2a8a4a4a10a8a2a5.（2009 安徽卷文）已知为等差数列，则等于A. -1 B. 1 C. 3 解析：解析：135105aaa 即33105a 335a 同理可得433a 公差432daa 204(204)1aad .选B。6.（2009 江西卷文）公差不为零的等差数列na的前n项和为nS.若4a是37aa与的等比中项, 832S ,则10S等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 解析：解析：由2437aa a得2111(3 )(2 )(6 )adad ad得1230ad,再由81568322Sad得 1278ad则12,3da ,所以1019010602

12、Sad,.故选 C7.（2008 四川卷 7）已知等比数列中，则其前 3 项的和的取值范围是() na21a 3S（） （）, 1 ,01,（） （）3, , 13, 解析：解析：D 由双勾函数的图象知，或，故本题选 D本题主要考查等比数311Sxx (0)x 1yxx12xx12xx 列的相关概念和双勾函数的图象和性质以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多8.（2009 湖南卷文）设nS是等差数列 na的前 n 项和，已知23a ，611a ，则7S等于【 C 】A13 B35 C49 D 63 解析：解析：172677()7()7(3 11)49.222aaaaS故选 C.或由21161315

13、112aadaaadd, 71 6 213.a 所以1777()7(1 13)49.22aaS故选 C.9.（2009 福建卷理）等差数列na的前 n 项和为nS，且3S =6，1a=4， 则公差 d 等于A1 B 53 C.- 2 D 3【答案】：C解析：解析：31336()2Saa且3112 =4 d=2aad a.故选 C 10.（2008 江西卷 5）在数列中， ，则 ( )na12a 11ln(1)nnaanna A B C D2lnn2(1)lnnn2lnnn1lnnn解析：解析：A ，211ln(1)1aa321ln(1)2aa11ln(1)1nnaan1234ln( )( )(

14、 )()2ln1231nnaann11.（2009 辽宁卷文）已知 na为等差数列，且7a24a1, 3a0,则公差 d（A）2 （B）12 （C）12 （D）2解析：解析：a72a4a34d2(a3d)2d1 d12【答案】B12.（2009 辽宁卷理）设等比数列 na的前 n 项和为nS ，若 63SS=3 ，则 69SS = （A） 2 （B） 73 （C） 83 （D）3解析：解析：设公比为 q ,则36333(1)Sq SSS1q33 q32 于是63693112471123SqqSq 【答案】B13.（2009 宁夏海南卷理）等比数列 na的前 n 项和为ns，且 41a，22a，

15、3a成等差数列。若1a=1，则4s=（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：解析：41a，22a，3a成等差数列，22132111444,44,440,215aaaaa qa qqqq即，S,选C.14.（2009 四川卷文）等差数列na的公差不为零，首项1a1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案答案】B】B解析：解析：设公差为d，则)41 (1)1 (2dd.d0，解得d2，10S10015.（2009 湖北卷文）设,Rx记不超过x的最大整数为x,令x=x-x，则 215 ，215 ,215 【答案】B解

16、析：解析：可分别求得515122 ，5112 .则等比数列性质易得三者构成等比数列.16.（2009 湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： . 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图 2 中的1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是【答案】C解析：解析：由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2nnan ，同理可得正方形数构成的数列通项2nbn ，则由2nbn ()nN 可排除 A、D，又由(1)2nnan 知na必为奇数，故选 C.17.（2009 宁夏海南卷文）等差数列

17、 na的前 n 项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 【答案】C解析：解析：因为 na是等差数列，所以，112mmmaaa，由2110mmmaaa，得：2ma2ma0，所以，ma2，又2138mS，即2)(12(121maam38，即（2m1）238，解得 m10，故选.C。18.（2009 重庆卷文）设 na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a成等比数列，则 na的前n项和nS=（ ） A2744nn B2533nn C2324nnD2nn【答案】A解析：解析：设数列na的公差为d，则根据题意得(22 )2

18、2 (25 )dd，解得12d 或0d （舍去） ，所以数列na的前n项和2(1)1722244nn nnnSn19.（2009 安徽卷理）已知 na为等差数列，1a+3a+5a=105，246aaa=99，以nS表示 na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 解析：解析：由1a+3a+5a=105 得33105,a 即335a ，由246aaa=99 得4399a 即433a ，2d ，4(4) ( 2)41 2naann ，由100nnaa得20n ，选 B20.（2009 江西卷理）数列na的通项222(cossin)33nnnan，其

19、前n项和为nS，则30S为A470 B490 C495 D510答案：A解析：解析：由于22cossin33nn以 3 为周期,故2222222223012452829(3 )(6 )(30 )222S 221010211(32)(31)59 10 11(3 ) 925470222kkkkkk故选 A21.（2009 四川卷文）等差数列na的公差不为零，首项1a1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 【答案答案】B】B解析：解析：设公差为d，则)41 (1)1 (2dd.d0，解得d2，10S100二、填空题（每小题

20、 5 分）22.（2009 全国卷理） 设等差数列 na的前n项和为nS，若972S ,则249aaa= 。解析：解析： na是等差数列,由972S ,得599,Sa58a 2492945645()()324aaaaaaaaaa. 23.（2008 四川卷 16）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_。 nannS4510,15SS4a解析：解析：由题意，即，4114 34102545152adad11461051015adad1123523adad413aad这是加了包装的线性规划，有意思建立平面直角坐标系，画出可行域（图略） ，画出目标函数即1a od1123523adad直线，由图知，

21、当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值本题明为数413aad413aad(1,1)44a 列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想掌握线性规划问题画移求答四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本这是本题的命题意图因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线设，111213(23 )(2 )adadad由解得，1212213231213 ，1113(23 )3(2 )adadad 由不等式的性质得： 1123523adad11(23 )53(2 )9adad ，即11(23 )3(2 )4adad ，的最大值是 44134aad4a24.（2009 浙江理）设等比数列na的公比

22、12q ，前n项和为nS，则44Sa 答案：15解析：解析：对于4431444134(1)1,151(1)aqsqsaa qqaqq25. （20082008 安徽卷 1414）在数列在中，,其中为常数，则na542nan212naaaanbn*nN, a b的值是 limnnnnnabab解析：解析：1 从而。,254 nan,231a222)25423(2nnnnSna=2，则21b12()2lim112()2nnnnn 26.（2009 浙江文）设等比数列na的公比12q ，前n项和为nS，则44Sa 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分

23、体现了通项公式和前n项和的知识联系解析：解析：对于4431444134(1)1,151(1)aqsqsaa qqaqq 27.（2009 浙江文）设等差数列na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列类比以上结论有：设等比数列 nb的前n项积为nT，则4T， ， ，1612TT成等比数列答案： 81248,TTTT【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力. 解析：解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列 nb的前n项积为nT，则4T，81248,TTTT，1612TT成等比

24、数列28. （2008 湖北卷 14）已知函数,等差数列的公差为.若,则( )2xf x xa2246810()4f aaaaa .6212310log ()() ()()f af af af a解析：解析：依题意，所以2468102aaaaa1357925 28aaaaa 1210612310()()()()22aaaf af af af a212310log ()()()()6f af af af a 29.（2009 北京文）若数列na满足：111,2()nnaaa nN，则5a ；前 8 项的和8S .（用数字作答）解析：解析：本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于基础知

25、识、基本运算的考查.1213243541,22,24,28,216aaaaaaaaa，易知88212552 1S，应填 255.30. （2008 湖北卷 15）观察下列等式：2111,22niinn2321111,326niinnn34321111,424niinnn454311111,52330niinnnn5654211151,621212niinnnn67653111111,722642niinnnnn212112101,nkkkkkkkkkiiana nanana na可以推测，当2（）时， x*kN1111,12kkkaaak12k .，02ka解析：解析：由观察可知当，每一个式子

26、的第三项的系数是成等差数列的，所以，2k 时112kka第四项均为零，所以。20ka31.（2009 北京理）已知数列na满足：434121,0,N ,nnnnaaaa n则2009a_；2014a=_.【答案答案】1，0解析：解析：本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得20094 503 31aa，20142 100710074 252 10aaaa. 应填 1，0.32.（2009 江苏卷）设 na是公比为q的等比数列，| 1q ，令1(1,2,)nnban，若数列 nb有连续四项在集合53, 23,19,37,82中，则6q= . 解析：解析： 考查等价转化能力和分析问

27、题的能力。等比数列的通项。 na有连续四项在集合54, 24,18,36,81，四项24,36, 54,81成等比数列，公比为32q ，6q= -9-933.(2009 山东卷文)在等差数列na中,6, 7253aaa,则_6a.解析：解析：:设等差数列na的公差为d,则由已知得6472111dadada解得132ad,所以61513aad. 答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.34.（2009 全国卷文）设等比数列na的前 n 项和为ns。若3614, 1ssa，则4a= 答案：答案：3 3解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由解析：本题考查等比数列的性质及

28、求和运算，由3614, 1ssa得 q3=3 故 a4=a1q3=3。35.(2009 湖北卷理)已知数列 na满足：1am（m 为正整数） ，1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时。若6a 1，则 m 所有可能的取值为_。. 【答案】4 5 32解析：解析：（1）若1am为偶数，则12a为偶, 故223 a224amma 当4m仍为偶数时，46832mmaa 故13232mm 当4m为奇数时，4333114aam 63144ma故31414m得 m=4。（2）若1am为奇数，则213131aam 为偶数，故3312ma必为偶数63116ma，所以3116m=1 可得 m=53

29、6.（2009 全国卷理）设等差数列 na的前n项和为nS，若535aa则95SS 9 . 解析：解析： na为等差数列，9553995SaSa37.（2009 辽宁卷理）等差数列 na的前n项和为nS，且53655,SS则4a 解析解析：Snna112n(n1)d . S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】31三解答题38.(2009 湖北卷理)（本小题满分 13 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）已知数列 na的前 n 项和11( )22nnnSa （n 为正整数） 。（）令2

30、nnnba，求证数列 nb是等差数列，并求数列 na的通项公式；（）令1nnncan，12.nnTccc试比较nT与521nn的大小，并予以证明。解析解析：（：（I）在11( )22nnnSa 中，令 n=1，可得1112nSaa ，即112a 当2n 时，21111111( )2( )22nnnnnnnnnSaaSSaa ，11n1112a( ),212nnnnnaaan即2. 112,1,n21nnnnnnbabbbn即当时，b. 又1121,ba 数列nb是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是1 (1) 12,2nnnnnnbnnaa .(II)由（I）得11(1)( )2nnnnca

31、nn，所以23111123 ( )4 ( )(1)( )2222nnTn K2341111112 ( )3 ( )4 ( )(1)( )22222nnTn K由-得231111111 ( )( )( )(1)( )22222nnnTn K 111111 ( )133421(1)( )122212332nnnnnnnnT 535(3)(221)3212212 (21)nnnnnnnnnTnnn于是确定521nnTn与的大小关系等价于比较221nn与的大小由234522 1 1;22 2 1;22 3 1;22 4 1;22 5; K 可猜想当3221.nnn时，证明如下：证法 1：（1）当 n=

32、3 时，由上验算显示成立。（2）假设1nk时122 22(21)422(1) 1 (21)2(1) 1kkkkkkk g所以当1nk时猜想也成立综合（1） （2）可知 ，对一切3n 的正整数，都有221.nn证法 2：当3n 时01210112(1 1)2221nnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCnnK综上所述，当1,2n 时521nnTn，当3n 时521nnTn39.（2009 四川卷文） （本小题满分 14 分）设数列 na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS成立，记*4()1nnnabnNa。 （I）求数列 na与数列 nb的通项公式；（II）设数列 nb的

33、前n项和为nR，是否存在正整数k，使得4nRk成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；（III）记*221()nnncbbnN，设数列 nc的前n项和为nT，求证：对任意正整数n都有32nT ；【解析解析】 （I）当1n时，111151,4 aSa 又1151,51nnnnaSaS11115,4即 nnnnnaaaaa数列 na是首项为114 a，公比为14 q的等比数列，1()4 nna，*14()4()11 ()4 nnnbnN （II）不存在正整数k，使得4nRk成立。证明：由（I）知14()5441( 4)11 ()4 nnnnb 2122125552015 164088

34、88.( 4)1( 4)1161164(161)(164)kkkkkkkkkbb当 n 为偶数时，设2 ()nm mN 1234212()()()84nmmRbbbbbbmn当 n 为奇数时，设21()nmmN1234232221()()()8(1)4844nmmmRbbbbbbbmmn对于一切的正整数 n，都有4nRk 不存在正整数k，使得4nRk成立。 （III）由54( 4)1nnb 得 212221225515 1615 1615 16154141(161)(164)(16 )3 164(16 )16nnnnnnnnnnnnnncbb 又1221343,33bbc， 当1n时，132T

35、 ，当2n 时，22232111 ()41114161625 ()2513161616311614693162513482116nnnT 14 分40. （2008 全国一 22） 设函数数列满足，( )lnf xxxx na101a1()nnaf a（）证明：函数在区间是增函数；( )f x(01)，（）证明：；11nnaa（）设，整数证明：1(1)ba，11lnabkab1kab解析：解析：（）证明：，( )lnf xxxx ln ,0,1ln0fxxxfxx 当时，故函数在区间(0,1)上是增函数； f x（）证明：（用数学归纳法） （i）当 n=1 时，101a11ln0aa 2111

36、11()lnaf aaaaa由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，( )f x(01)，( )f x1x ( )f x(01，即成立；21111()ln1af aaaa121aa（）假设当时，成立，即(*)xk kN11kkaa1101kkaaa那么当时，由在区间是增函数，得1nk( )f x(01，1101kkaaa.而，则，1()()(1)kkf af af1()nnaf a121(),()kkkkaf aaf a，也就是说当时，也成立；121kkaa1nk11nnaa根据（） 、 （）可得对任意的正整数，恒成立.n11nnaa （）证明：由可得( )lnf xxxx1(

37、)nnaf akkkkaababaln111lnkiiiabaa1，若存在某满足，则由知：ikiab1kiabab02，若对任意都有bai，则kkkkaababaln1ikbkabaln1111lnkiiiabaa11lnkiiabab11()lnkiiababbkabaln11)(11baba0，即成立.1kab41.（2009 全国卷理）设数列na的前n项和为,nS 已知11,a 142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列 nb是等比数列 （II）求数列na的通项公式。解：（I）由11,a 及142nnSa，有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa， 则当2n 时，有142nnSa 得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa，12nnbb nb是首项13b ，公比为的等比数列（II）由（I）可得1123 2nnnnbaa ，113224nnnnaa数列2nna是首项为12，公差为34的等比数列1331(1)22444nnann，2(31) 2nnan 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找1nnbb与的关系即可第（II）问中由