高等数学5_3-5、6复合求导

1、目录 上页 下页 返回 结束 1/283.5 多元复合函数的偏导数和全微分多元复合函数的偏导数和全微分在一元函数的求导法中，复合函数的链式法则发挥了非常重要的作用。 函数。 本部分将把链式法则推广到多元论述链式法则。 ( , ), ( , )zf u x y v x y为了论述简洁， 我们以由两个中间变量和两个自变量构成的复合函数为例来定理定理3.3设( , )uu x y和( , )vv x y均在点( , )x y处可微， 而函数( , )zf u v在对应的点( , )u v处处可微， 则复合函数 ( , ), ( , )zf u x y v x y处也必目录 上页 下页 返回 结束 2

2、/28可微，且其全微分为yyzxxzzddddzuzvyuyvyuzvzuz(dd )uuxyxy(dd )vvxyxyduvzdvdzuzvxuxvx（全微分形式不变性）（全微分形式不变性）证明：证明： 令自变量, x y分别有改变量,xy则函数, u v相应地分别有改变量,uv从而函数f目录 上页 下页 返回 结束 3/28有改变量. z由于, u v均在点( , )x y处可微， 故有1( ),uuuxyxy 2( ),vvvxyxy 其中22,xy( )(1,2)ii是当0时关于的高阶无穷小。 又由于函数f在( , )x y所对应的( , )u v处可微，故有22(),zzzuvuvu

3、v 将上述(1)(2)两式带入(3)式并加以整理，(1)(2)(3)则得目录 上页 下页 返回 结束 4/28 ( , ), ( , )zf u x y v x y复合函数的改变量为,zuzvzuzvzxyuxv xuyv y (4)其中2211( )( )().zuvu 要证明定理成立，只需证明（4）式中的为的高阶无穷小， 即22120( )( )()lim0.zzuvuv 注意到zzuv、均与无关， 以及0( )lim0(1,2),ii 目录 上页 下页 返回 结束 5/28从而有120( )( )lim0.zzuv因此，以下只需证明220()lim0.uv由于22222222()(),u

4、vuvuvuv(5)而当充分小时， 由（1）式可知1( )1uxyuuuuxyxy故u有界， 同理可知v也有界， 因此22uv有界.目录 上页 下页 返回 结束 6/28又由, u v的可微性知, u v在( , )x y处连续， 即当0时，有0u 及0,v 所以有22220()lim0uvuv于是由（5）式知220()lim0.uv证毕。由定理可见， 复合函数 ( , ), ( , )zf u x y v x y有链式法则:,zzuzvxuxv x .zzuzvyuyv y 目录 上页 下页 返回 结束 7/28按照链式法则的结构特征， 我们将多元复合函数的求导法则推广到m个中间变量、n个自

5、变量构成的一般复合函数中， 设函数12( ,)myf u uu12( ,)iinuu x xx及1,2,im都可微， 则复合函数12( ),( ),( )myf u x uxux也可微，其中12( ,),nxx xx且有1212,nnyyydydxdxdxxxx其中11,mjjmjuuyyyxuxux1,2, .jn目录 上页 下页 返回 结束 8/28多元函数的复合可以有多种情况， 例如：（1）设( , ),zf u v( ),ux( )vx均可微， 则复合函数 ( ),( )zfxx是x的一元可微函数，zvuxx可得dzz duz dvdxu dxv dx此式称为复合函数z对x的全导数公式

6、全导数公式.（2）设( ),( , , )f u ux y z均可微， 则复合函数 ( , , )zf u x y z可微， 它有一个中间变量、三个自变量，可得：,dududuxduxyduyzduz目录 上页 下页 返回 结束 9/28（3）设( , , ),( , )uf x y zzx y均可微， 则复合函数 , , ( , )uf x y z x y可微， 它有三个中间变量，两个自变量，可得：,.uffzuffzxxzxyyzy 注意注意: 这里uxxfux表示 xf表示与不同, , , ( , )uf x y z x y固定 y 对 x 求导,( , , )uf x y z固定 y

7、、z对 x 求导。目录 上页 下页 返回 结束 10/28例例3.16 设设( ,),zf x xy其中( , )zf u v可微，求,.zzxy解解:由于ux及vxy显然可微，故复合函数可微，可得，,zffvffyxxv xxv .zfvfxyv yv 把( ,)f x xv中的x看作是第一个变量，xv看作是第二变量，有时采用下面的记号更为方便清晰：12.zfyfx其中1f表示f对第一个变量的偏导数，2f表示f对第二个变量的偏导数。说明：说明：目录 上页 下页 返回 结束 11/28例例3.17 设设22(),uxy其中可导，0.uuxyyx证证:把看作是由函数( )uz复合而成，分别对(

8、) 2 ,( ) 2 ,uuzxzyxy从而求证：22()uxy及22zxyx与y求导得2( )2( )0.uuxyxyzxyzyx目录 上页 下页 返回 结束 12/28例例3.18 设设( , , ),zf u x y其中f具有对各变量的连续的2.zy x 二阶偏导数，且,yuxe求解解: 根据函数的复合结构及复合函数的链式法则，得12yzfuff efxuxx 注意到12ff、都是 , ,u x y的三元函数，再有链式法则，2121()yyffzzef ey xyxyy 111312123()yyyyf xefef ef xef其中ijf表示f先对第i个变量求导，再对第j个求二阶偏导.目

9、录 上页 下页 返回 结束 13/28在解决物理、力学等问题时，常需要把一种坐标系下的偏导数转化成另一种坐标系下的偏导数，如下例：例例3.19求22()()uuxy与2222uuxy在极坐标中的表达式，其中( , )uF x y具有连续的二阶偏导数.解解: 令cos ,sin ,xy从而22,arctan,yxyx此时( , )(cos ,sin )uF x yF 22( , )(,arctan)yFFxyx 可以把( , )uF x y看作( , )uF 与22,arctanyxyx复合而成(1)目录 上页 下页 返回 结束 14/28应用链式法则得,uuuuuuxxxyyy由 (1) 式得

10、2222cos ,sin ,xxyyxyxyxy2222sincos,xxxxyyxy (2)把四个式子代入 (2) 式得sincos,uuuxcossin,uuuy(3)(4)目录 上页 下页 返回 结束 15/28将（3）（4）两式平方相加得222221()()()()uuuuxy将（3）式两端再对 x 求偏导数，得22sin(cos)uuuxxsin(cos)uux22221cos2sincosuu 222222sincossinsin2uuu目录 上页 下页 返回 结束 16/28同理，将 (4) 式两端对 y 求偏导，并化简可得2222221sin2sincosuuuy 222222

11、sin coscoscos2uuu所以，22222222211uuuuuxy证毕。 在一元函数中，一阶微分具有形式不变性，下面我们讨论多元函数一阶全微分形式的不变性。多元函数一阶全微分形式的不变性。目录 上页 下页 返回 结束 17/28以二元复合函数为例以二元复合函数为例设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这

12、性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.目录 上页 下页 返回 结束 18/28设12( )( ,)myff u uuu其中1( ,)iinuu xx对于多元复合函数对于多元复合函数若 f 可微，u 也可微，则12112njnjjnyyyydydxdxdxdxxxxx1111()()mmiiniiiinuuyydxdxuxux11111()mmuuyydxuxux1,2,im11()mnnmnuuyydxuxux目录 上页 下页 返回 结束 19/2811111()nnuudxdxxyxu11()mmmnnuudxdxxyux1122mmdududuyyyuuu即1212mmyyydydud

13、uduuuu把12( ,)myf u uu中的(1,2,)iuim看作中间变量或自变量时的全微分形式完全一样，这一性质称为一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性 (高阶全微分不具有此性质)目录 上页 下页 返回 结束 20/28全微分的有理运算法则全微分的有理运算法则(1)()d uvdudv； (2)()d uvvduudv；21(3)( )(),0udvduudv vvv；例例3.20设( , )f u v可微，求(,)x yzfy x的偏导数。解解:利用一阶全微分形式不变性，可得12( )( )xydzf df dyx1222ydxxdyxdyydxffyx12122211()()yx

14、ffdxffdyyxyx 所以，12122211,zyzxffffxyxyyx目录 上页 下页 返回 结束 21/283.6 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法常会遇到一些函数，其因变量与自变量的关系以方程形式联系起来，例如：2221xyz可把 x、y 看作自变量，z 看作因变量，则方程确定了两个连续的二元函数：221 ()zxy 22( , )1Dx y xy设方程1( ,)0nF xxy若存在 n 元函数1( ,)nyxx代入方程恒成立11( ,( ,)0nnF xxxx则称1( ,)nyxx是由1( , )0nF xxy确定的隐函数隐函数目录 上页 下页 返回

15、结束 22/28定理定理3.43.4（隐函数存在定理）（隐函数存在定理）0,0()x y),(yxF;0),(00yxF则方程( , )0F x y 个有连续导数的函数 y = f (x) ,00()yf xyxFFxydd(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 的某邻域内某邻域内可唯一确定一满足：0),(00yxFy 在点它满足：若二元函数的某邻域内有连续的偏导数；在点0,0()x y以及 ,( )0,F x f x并且目录 上页 下页 返回 结束 23/28 ( , )0,F x yyf x其中两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),(

16、)(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则yxF,yxx目录 上页 下页 返回 结束 24/28若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd则还可求隐函数的 目录 上页 下页 返回 结束 25/28定理定理3.4（推广）（推广）若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ;则方程0),(zyxF在点),(00yx

17、并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确目录 上页 下页 返回 结束 26/28( , , )0,( ,)F x y zzf x y其中两边对 x 求偏导xFxzFzxF zyFFyz同样可得( , )( , , )0zf x yF x y z设隐数是方程所确定的函,则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在(隐函数求导公式隐函数求导公式),(zyxFzyxyx目录 上页 下页 返回 结束 27/28例例3.21设( , )u v具有连续的一阶偏导数，方程(,)0cxaz cybz确定了函数解解: 令( , , )(,) ,F x y zcxaz cybz所以，111212xxzFcczzx