人教版数学九年级上册第二十四章圆复习小结导学教案

1、点与圆的位置关系1、 点在圆内=2、点在圆上=3、点在圆外=:r=点C在圆内;点 B 在圆上;点 A 在圆外;一、教材分析学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许 多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验.本章是在学习了这些直线型图 形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线一一圆的有关性质.通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、 归纳的数学思想起着良好的铺垫作用. 本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆 锥曲线的学习的基础性工程。本单元数学的主要内容：(1) 圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角.(2)与

2、圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，？圆和圆的位置关系.(3) 正多边形和圆.(4) 弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积。(一)圆的概念1、 集合形式的概念：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合2、 轨迹形式的概念：圆：至 V 定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线)；角的平分线：至 V 角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；到直线的距离相等的点的

3、轨迹是： 平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线；到两条平行线距离相等的点的轨迹是： 平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线。第二十四章知识清单（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d . r 无交点；2、直线与圆相切d二r有一个交点;3、直线与圆相交d : r有两个交点;（四）圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点d R r-外切（图2） 有一个交点d = R r；相交（图3） 有两个交点R - r :：d：Rr；内切（图4） 有一个交点d = R-r；内含（图5） 无交点d：R - r；（五）垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：

4、（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；O（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对的另一条弧；以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理： 此定理中共5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个 结论，即：AB 是直径 AB_CDCE二DE弧BC二弧 BD 弧AC二弧AD中任意2 个条件推出其他 3 个 结论推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在OO中， AB /CD弧AC二弧 BD（六）圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相 等，所对的弧相等，弦心距相等。此

5、定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：.AOB DOE:AB =DE;OC -OF； 弧 BA =弧 BD（七）圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的 角的一半。即：T AOB和.ACB是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 AOB =2. ACB2、圆周角定理的推论：推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在OO中，C、. D都是所对的圆周角C D推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所 对的弧是半圆，所对的弦是直径。ADDCC即：在OO 中， AB

6、 是直径 . C =90推论 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三 角形是直角三角形。即：在ABC中，TOC =0A =0BABC是直角三角形或.C=90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于 斜边的一半的逆定理。（八）圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角即：在OO中，四边形ABCD是内接四边形.C .BAD =180BD =180DAE =/C（九）切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MN _OA且MN过半径OA外端

7、MN是OO的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切占八、或 .C=90 AB是直径CA推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理:即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出 最后一个。(十)切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 PA2二 PC PB(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的 两条线段长的积相等(如上图)。即：在OO中 PB、PE 是割线 PC PB =PD PE即： PA、PB 是的两

8、条切线 PA =PBPO平分.BPA(十一)圆幕定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交,积相等。即：在。O中，弦 AB、CD相交于点 P , PA PB =PC PD(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即： 在OO中， 直径AB _CD， CE2二 AE BE(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在OO中， PA 是切线，PB 是割线(十二)两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这 个圆的的公共弦。如图：O1O2垂直平分 AB。即：TOOi、OO2相交于 A、B 两点二 OQ

9、 垂直平分 AB(十三)圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1)公切线长：Rt.QO2C中，AB2rCO,2=0022匚CO22；(2)外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和(十四)圆内正多边形的计算(1)正三角形在OO中厶ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：OD:BD:OB =1: .3:2 ;(2) 正四边形同理，四边形的有关计算在RHOAE中进行，OE : AE : OA =1:1:2:(3) 正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，AB: OB :OA =1: 3 2.(十五)扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式：I =n

10、 R;180(2)扇形面积公式：S 二匸二丄取3602CODn:圆心角R :扇形多对应的圆的半径丨：扇形弧长S:扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S表二 S侧2S底=27.rh 2 二 r（2）圆柱的体积：V-二 r2h（3）圆锥侧面展开图（4）S表 VS=：Rr 二 r21（5） 圆锥的体积：Vr2h3三、随堂练习（一）选择题1、 如图，A、B、C是。O上的三点，且 A 是优弧BAC上与点 B、点C不同的一点，若-BOC是直角三角形，则-BAC必是（）.A.等腰三角形B.锐角三角形C.有一个角是30的三角形D.有一个角是45的三角形2、 有下列四个命题：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对

11、的弦相等经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各边的距离都相等；三角形的内心到三角形各顶点的距离相等其中正确的有（）A . 4 个 B . 3 个 C . 2 个 D .1 个3、 如图,AB 是。 O 的直径， CD 是弦， 若 AB=10 cm,CD=8 cm,贝 U A、 B 两点到直 线CD 的距离之和为（）A. 12 cm B . 10 cm C . 8 cmD . 6 cm4、 如图：四边形 ABCD 为 OO 的内接四边形，点 E 在 CD 的延长线上，如果/BOD=120，那么/ BCE 等于（）A: 30B : 60C : 90D : 120 5、 如图， 弦 AB/C

12、D,E为CD上一点，AE 平分CEB，则图中与AEC相等（不包括AEC）的角共有（）3 个 B . 4 个 C . 5 个C（第4A第 1 题图6 若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是S、S2、S3,则下列关系成立的是（）A . Si=S2=S3B. SiS2S3C. SiS2SS7、如图，等腰梯形 ABCD 中 AD/ BC 以 A 为圆心，AD 为半径的圆与 BC 切于点M 与 AB 交于点 E,若 AD= 2, BO 6,则|5E 勺长为（）348、如图中的正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形的个数是（）A. 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D .

13、4 个9、 一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么 B点从开始至结束所走过的路径长度为（）10、如图 10，两个半径都是 4cm 的圆外切于点 C, 一只蚂蚁由点 A 开始依 A、B、 C、D E、F、C、G A 的顺序沿着圆周上的 8 段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这 8 段路径上不断爬行，直到行走 2006ncm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（二）填空题11、 半径为 1,圆心角是 300o 的弧长为 ,在半径为 12cm 的圆中，一条弧 长为6二 cm 此弧所对的圆周角是12、 一条弦把圆分成 2:3 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为A.A.主2B.

14、C.4D.2().F 点D10 题13、如图。O 与。Q 的半径分别是方程x27x + 11=0的两根，如果两圆相切，那么圆心距 d 的值是_、 ABC 内接于OQ 若/ A0B=1l0，则/ C _ ;15、OQ2 和。Q1 相交于点 A、B,它们的半径分别为 2 和-2，公共弦 AB 长为 2,则/1AQ2=_ .16、已知O勺半径 r = 5 , 到直线I的距离 QA=3 点 B 在直线I上， 如果线段 AB=2则点 B 在O _.17、如图所示，O的半径 QA=6 以 A 为圆心，QA 为半径的弧交O于 B，则 BC=18、 如图所示，两圆轮叠靠在墙边，已知两圆轮半径分别为4 和 1，

15、则它们与墙的切点 A、B 之间的距离为_19、如图，O。1、O。2相内切于点 A,其半径分别是 8 和 4,将0。2沿直线。1。2平移至两圆相外切时，则点。2移动的长度是_20、如图：OI 是直角 ABC 的内切圆，切点为 D E、F,若 AF, BE 的长是方程x2-13x -30 =0的两根，则 ABC 的面积为_；21、如图所示，/ ABC=90 , 为射线 BC 上一点，以点 Q 为圆心，1/2BQ 长为半径作OQ,当射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 _时与OQ 相切22、如图，在边长为 3cm 的正方形中，OP 与OQ 相外切，且OP 分别与 DA DC边相切，OQ 分别与 B

16、A BC 边相切，则圆心距 PQ 为_:23、如图，O的半径为 3cm B 为O外一点，QB 交O于点 A, AB=A 动点 P从点 A 出发，以ncm/s 的速度在O上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停 止：当点 P 运动的时间为_s 时，BP 与OQ 相切：24、如图，90 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,已知 AE= 1 cm, E 吐 5 cm, / DEB=60,贝UCD 的长为_ :第 18 题图第 21 题图第 17 题图A第 19 题图第 20 题图B 第 25 题图第 22 题图第 23 题图第 24 题图25、 如图，O1与O2相交于点 A、B,且Q1A是O2的

17、切线，O2A是O1的 切线，A 是切点：若O1与O2的半径分别为 3 和 4,则公共弦 AB 的长为cm :(三)解答题26、如图，在 ABC 中, ABAC, D 是 BC 中点，AE 平分/ BAD 交 BC 于点 E,点 0 是AB 上一点 0 过A E两点,交 AD 于点 G,交 AB 于点 F.(1)求证：BC 与O0 相切(2)当/ BA(=120O时，求/ EFG 的度数.27、如图，AB 是O0 的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切O0 于点 E,交 AM 于点 D,交 BN 于点 C, F 是 CD 的中点，连接 OF(1) 求证：OD/ BE；(2) 猜想：OF

18、 与 CD 有何数量关系？并说明理由.28、AABC 中，/ BAC=90 , AB=AC=2 2, A 的半径为 1,如图所示.若点0 在 BC 边上运动(与点 B、C 不重合)，设 BO=x AOC 勺面积为 y.(1) 求 A 与厶 ABC 重叠部分图形的面积(结果用n的式子表示)；(2) 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数自变量 x 的取值范围；(3) 以点 0 为圆心，BO 长为半径作圆，求当 0 与 A 相切时，求厶 AOC 勺面积.29、在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为 0(0, 0)、B( 12, 0)、C( 12,16),由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区，如图所示.(1) 求圆形区域的面积；(2) 某时刻海面上出现一渔船 A,在观测点 O