量子力学-卷一(第三版)答案-井孝功

1、值。第一章量子力学的诞生设质量为m的粒子在谐振子势V(x)中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取提示：利用 p dx nh, n 1,2,解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为其中a由下式决定：E V(x)xa由此得a . 2E/m 22xa即为粒子运动的转折点。有量子化条件a；p dx 2 2m(Ea 2x2) dx2m、a2 x2dxa2ma2 nh代入2,解出En1,2,3,4积分公式:.a2 u2duU .a2a2uarcs in- c2a设粒子限制在长、宽、咼分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱

2、壁碰撞不引起内部激发，那么碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x, y,z轴方向，把粒子沿x, y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有Px dxnxh,nx 1,2,3,即Px 2a nxh2a :一来一回为一个周期Px nxh/2a,同理可得，Py nyh/2b.Pz n zh/2c,nx,ny,nz 1,2,3,2 2222nxnynz2m2 ab22 c1 2 2 22m(px py pz)粒子能量Enxnynznx, ny,nz 1,2,3,设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。2提示：利用o p dnh, n 1,2

3、, , p是平面转子的角动量。转子的能量E p2 /2I 。(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是：Bev mv2(1)c r又利用量子化条件，令p 电荷角动量 q2:pdq ° mrvd 2 mrv nh (2)即 mrv nh(3)由(1) (2)求得电荷动能=】mv2 匹22mc再求运动电荷在磁场中的磁势磁矩*场强 电流*线圈面积*场强转角能，按电磁学通电导体在磁场中的势能ev* r2 * B,v是电荷的旋转频率，vv，代入前式解：平面转子的转角角位移记为 。它的角动量pI广义动量，p是运动惯量。按量子化条件2

4、0p dx 2 p mh,m 1,2,3,p mh，因而平面转子的能量Emp2/2l m2 2/2Im1,2,3,e质量m的粒子在平面内运动，垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值运动电荷的磁势能Be n2mc(符号是正的)点电荷的总能量=动能+磁势能 =E= Be n ( n2mc1,2,31.7 1试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律nisin i n2sin 22光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子，那么其运动遵守最小作用量原理pdl 0认为p mv那么 pdl 0这将导得下述折射定律解甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定门 1Sin

5、 3 门 3Sin1这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，那么对自由粒子：p -EV仍就成立，E是粒子能量，c从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有pdl 0,你怎样解决矛盾？点B的路径是两段直线：光程I n 1AQ n2QB设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有I n1 a sec 1 n2 bsec 2又AB沿界面的投影c也是常数，因而 1，2存在约束条件:atg 1 btg 2 c 2求(1)的变分，而将1,2看作能独立变化的，有以下极值条件asec 1tg 1d 1 n2bsec ?tg 2d 2 0与消去d1和d 2得nisin i n2sin 2乙法见同一图，取x为变分参数，取o

6、为原点,那么有：In1 a2 x2厂(厂x2)1 x x求此式变分，令之为零，有：I n1一 a2n2(c x) x2b2 (c x)这个式子从图中几何关系得知，就是(5).(2)按前述论点光假设看作微粒那么粒子速度v应等于光波的群速度Vg光程原理作vGdl0c2依前题相速 vP，而VgVg2ccn,n是折射率，n是波前阵面更引起的，而波阵面速度那么是相速Vp度Vp，这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理ndl 0前一非难是将光子的传播速度v看作相速度Vp的误解1.8对咼速运动的粒子(静质量2mcm)的能量和动量由下式给出(1)2mv21 v c试根据哈密顿量m2c4c2p2及正那么方程式来

7、检验以上二式 它大于光速.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系计算速度并证明H，此题中qj v, pip,因而Pi(解)根据(3)式来组成哈氏正那么方程式组：qqi, 2_2 42_2c Pv 一 m c c p pm c c p从前式解出p (用 V表示)即得到(2).又假设将 代入(3)，就可得到(1)式.于(3)式左方，遍除h :2 4mcc2k22(k)按照波包理论，波包群速度Vg是角频率丢波数的一阶导数:Vg24m c2c2k最后一式按照4式等于粒子速度 V,因而Vg V。又按一般的波动理论，波的相速度vg是由下式规定Vp是频率利用5式得知Vp2k26故相速度物质波的应当超过

8、光速。最后找出Vg和Vp的关系，将1 2相除，再运用德氏波假设:E2 2 c c2 cpk VVg 'VP Vg7补充：设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动,V(x),x 0, x a0,0 x a试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有代入公式得2 22m(E 3_)dxnha n 22a/ n(n 1,2,3,)1又据de Broglie关系p h/2而能量E p2 /2m2/2m 22 2h n2 2n2322n1,2,3,2m 4a2ma1试用量子化条件，求谐振子的能量1谐振子势能V(x) 2m2 2 .x (解)(甲法)可以用 Wilso

9、n-Sommerfeld的量子化条件式：pdqnhAA0BUk-I* 在量子化条件中，令p mx为振子动量,q x为振子坐标，设总能量E那么E P22m2 2J2 2m xm x、2 p .2m(E 2 )量子化条件的积分指一个周期内的位移，可看作振幅0A的四倍，要决定振幅a,注意在A或B点动能1为0, E m 2a2 ,(1)改写为：22 m 、a2 x2dx nh (2)a积分得：m a2 nh1遍乘 得2乙法也是利用量子化条件，大积分变量用时间t而不用位移x,按题意振动角频率为，直接写出位移x，用 t的项表示:q x asin t求微分:dq dx a cos tdt 求积分：p m x

10、 ma cos t 5 将45代量子化条件：22 T 20 pdq ma 0 cos tdt nhT是振动周期,T=，求出积分，得m a2 nhn 1,2,3 正整数2用量子化条件，求限制在箱内运动的粒子的能量，箱的长宽高分别为a,b,c.解三维问题,有三个独立量子化条件，可设想粒 子有三个分运动，每一分运动是自由运动设粒子与器壁作弹性碰撞，那么每碰一次时，与此壁正交方向的分动量变号如pxpx,其余分动量不变，设想粒子从某一分运动完成一个周期，此周期中动量与位移同时变号，量子化条件：aPxd qxmh2Pxdx02a Px(1)Pydqynyh2Pybdy0丿2bPy(2)Pzdqznzh2P

11、zcdz02c Pz(3)Px，Py，pz都是常数，总动量平方ppyP；总能量是：2E邑2m2-(p；2m2Py2Pzinxh 2 nyh 2 nzh 2-( -)2 ( P)2 ( -)2 2m 2a 2b 2c=二(上)2 (£)2 (D)28m a b c但 nxnynz 1,2,3 正整数.3平面转子的转动惯量为，求能量允许值决定，它的运动是一种(解)解释题意：平面转子是个转动体，它的位置由一坐标例如转角，但刚体的平面平行运动例如双原子分子的旋转 按刚体力学，转子的角动量、12是角速度，能量是E2利用量子化条件，将p理解成为角动量，q理解成转角2，一个周期内的运动理解成旋转一

12、周，那么有:pdqnh(1)(1)说明是量子化的nh n2(n1,2,3 )代入能量公式，得能量量子化公式：E -2n 2 n2 2 ()T第二章：函数与波动方程P69当势能V(r)改变一常量 C时，即 V(r) V(r)c ,粒子的波函数与时间无关局部变否？能量本征值变否？d 2(解)设原来的薛定谔方程式是一dxE V(x)将方程式左边加减相等的量C 得:C V(x) C0这两个方程式从数学形式上来说完全相同，因此它们有相同的解(X)，从能量本征值来说，后者比前者增加了 C。设粒子势能的极小值是Vmin证明En Vmin(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量EV(r)3x其中动能平均值一定为

13、正2(2md3x2md2m)d2m用高斯定理：T2m2m中间一式的第一项为哪一项零,因为假定满足平方可积条件,因而T o因此 e TV V,能让能量平均值V Vmin因此E Vminn(本征态)那么EEn 而 En V min 得证x,0eiPoX/，求 x,t。P2t /i Pox 窈 /解：x,t e2.2对于一维自由运动粒子，设(x,0)(x)求(x,t)P，能解题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是量是E,为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包许多平面波的 叠加，其波函数：1-( px Ei)(x,t) p( P)ed P 1这

14、是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式假设令t 0应有(x,0)Lpxp (p)e d p2但按题意，此式等于(x)。但我们知道一维函数一种表示是:eikxdk将23二式比拟:知道k ，并且求得(p) J是1成为丄(pxeEi)4这是符合初条件的波函数，但p, E之间尚有约束条件 E2p因为是自由粒子，总能量2m等于动能，代入41(x，t) e"轨 dp5将此式变形成高斯积分,容易得到所需结果:(x,t)imx2it mx(p i)e2t e 2m 2p利用积分e(x,t). 2 imx2 t2mit写出共轭函数前一式(x,t)i变号：imx2t2mit(x,t)2mmt 2

15、 t此题也可以用Fresnel积分表示，为此可将6式积分改为:沁 2； (pmx 2y)2dp i用课本公式得(爲六(1，两者相乘,mx 2y)2dp可得相同的结果。2.2设一维自由粒子的初态X,0 X，求X,t提示：利用积分公式cossin 2 d2解:x,texpi2dexpi 4 。作Fourier变换:x,0p eipx dp2mx,0eipx dxxeipx dx 2-x,t ITmxp T2m22miet，那么imx2 2 t2 mx,t 2 ti pxp epxdpEt /dpE p2 . 2m1imx2 2 teexp设一维自由粒子初态为x,0.Im.42imxmxx,t .

16、exp iexp t2 tt式中it2m2mxdp、 e i/4exp :2 t2 mx证明在足够长时x,0 e ikxdx 是x,0 的 Fourier 变换证：根据平面波的时间变化规律ikxei kx t e ,k2 2m,任意时刻的波函数为x,ti kxek2t/2m “dk2imx2/2 tdkk expti k2mmx1当时间足够长后所谓t上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取t 2m，参照此题的解题提示，即得x,tt1 e/4 imx2 /2 ee i /4 k kmxtdkmemx3x,tmx t物理意义：在足够长时间后,各不同k值的分波已经互相别离，波群在x处的主要成分为k

17、 mx t,即 x kt m，强度2，因子m. t描述整个波包的扩散，波包强度设整个波包中最强的动量成分为ko，即kko时2k 最大，由4式可见，当t足够大以2后，的最大值出现在 mx t k0处，即x kot m处，这说明波包中心处波群的主要成分为k0 。设质量为m的粒子在势场V(r)中运动。2*V能量密度3a证明粒子的能量平均值为E d r w , w b丨证明能量守恒公式证：a粒子的能量平均值为设2m已归一化能流密度1d3rd3r22m2d3r2m20。因此其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为2Td3r2m结合式1、2和3,可知能量密度2w 2m4且能量平均值3r

18、 w。b丨由4式，得2m2mV t2 22m2m:几率密度定态波函数,几率密度不随时间改变所以t粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式:it2m2m又设S2-2m t那么有公式得证。考虑单粒子的Schr? din ger方程2r, tViV2 rr ,t22mVi与V为实函数。a证明粒子的几率粒子数不守恒。b证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为dtd3r2im sdS2V2d3r证:a式1取复共轭,2miV221-2m2iV22m2V22im2V22iV23此即几率不守恒的微分表达式。利用高斯定理将右方第一项变形:)d3xV2 d3x2mi()dS*3V2 d3x0,如果粒子的运动范围是无

19、限的，并且符合平方可积条件，那么在无限远处 因而3式的面积分等于 0。4*3V2(x) d x这证明总几率Pd3x不守恒，因为b式3对空间体积积分，得d3r2im2im上式右边第一项代表单位时间内粒子经过外表进入体积*323*d rd rV2*23*dS d rV2的几率：:：j dS，而第二项代表体积 中“产生的几率，这一项表征几率或粒子数不守恒。2.8在非定域势中粒子的薛定谔方程式是:2mx，tV x,xx，t d3x 1x/求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数在空间一点的几率波是否存在?V x，x应当遵守的要求。几r - d3x 0(2 )解按题意，是要求写出几率守恒的条件，

20、从这个条件寻出率守恒的条件是:与13题类似，可写出1的共轭方程式:ix, tt22m*3x, t V x, x x, tdxx(3 )将1和3中的-和 t想等同的式子代入到 t*22*.31d x 2mii*x，tVxx， xx， tx，将前式等号左方第一项变成面积分高斯定理,2式中去，就得到如下的条件:* *1ds2mi si*x， t V x， xx，tx，x前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件x, t和 x，t形式相同，XX对易，x* *x， t V x， x V x'， xt*V*x， xx， t d 3xd3x0x第二项变成六重积分：(4)*t Vx，*xx，t d3x

21、d3x0*0,x0当 x时可消去，因x',x'x对易：x'，td x d x05这积分式定积分，它等于零的可能性要求被积函数为零，即:V x， x V* x，x因此V x， x必须是x， x实函数。2.9设N个粒子的哈密顿量为:N 2N2i i 2m i i iVjrirjm ,t是它的任一态函数,定义:(r,t)i(r,t)j(r,t)ji(r,t)i(ri,t)ji(ri,t)2im求证:证明按定义:i(r,t)d3rid3rid3r i3*d rN -d3rid3rid3r idh(*)tti(r, t)t多粒子的体系的状态(adrN ,t)应当满足多粒子薛定谔方

22、程式，写出这个方程式和其共轭方程式:k( 2mk2)2m k2)VkjkVjkjk6a(6b)将前二式等式右方的式子代替左方的，t ti. 3.33d rid ri id n 1tkd r1d ri 1d ri 1jk3333dr1dri 1dri 1 d rNd 3r1d3ri 1d 3ri 1d 3rN又待证的公式的等号左方第二项是：jiji(ri，t)(12iii1 jl(Gt) 2 j2(2，t)i ji(jt)33332d ri d 仃 id 仃 i d m ,i (，代进式*2(k2im2 *k)1 *(VjkVjk )* 22(kk)k 2im*k (*kk)k 2im)ji(r

23、i,t)ji(ri ,t)i ji(A,t) 3333*d rid 仃 id ri i d g,k ( kk 2im将式两个求和合一，注意到 i k的项不存在，因而等值异号。2.i0*设在曲线坐标qiq2q3中线元ds表为ds2gik dqidqk，写出这曲线坐标中的薛定谔方程式，写出球面坐标系中的薛定谔方程式。解dx dqi qidq2 q2xdq3同样关于q3y,z有类似的二式。这里为书写方便q的上标改成下标。ds2 dx2dy2dz2qiyqqidq22令 gikqiyq2dq；221xyzdqq3q3q3,xxyyzzqiq2qiq2qiq2xIxyyzzq2q3q2q3q2q3xxy

24、yzzq2q22223q3 qiq3 qiq3 qidqgdq2dq3x为坐标变换系数:qk设沿曲线坐标等势面的单位矢量是ai，a?, a3 那么gradyj-kzdiv gradaia2giiqi g22q2a3g33q3aig22 g33g ii g 22 g 33qii g 22 g33giig22ggii qig33g11 g11g 22q2g22 q2q3g33代入直角坐标薛定谔方程式:qeqst g22g332mgng22g33 q1 gn q?g11 g33q2 g22 q2qgqst在球坐标情形代入后得sin化简得1_2sin补誉応"V q1q2q3qqstx , y

25、, tVxqiq2q3，z r cos 式正交坐标系( 222xyzrrrj222xyz1 -giig22yr sing33x r sin cos ， y r sin sin2mr2sin2 ' r2 .r sin rsin2mr2sinsin写出动量表象中的不含时Schr?dinger 方程。解：经典能量方程2卫V r2m在动量表象中，只要作变换PP，rid dp所以在动量表象中，Schr?dinger 为：2P V idPE p。2mdp2.11写出动量表象中的薛定谔方程式。B：定态薛定谔方程式。1解：此题可有二种：A :含时间薛定谔方程式, A:写出含时间薛氏方程式：22 V x

26、2m为将前式变换成动量表象,可写出含时间的表象变换式:ip x/ed3PP，iP x /3d x3为了能用3变换1式遍乘ip x /h3/2 e，对空间积分:1-3T2iP x/ 3e d x左方变形13/22m 2iP x/ i3e d xip x/ 3e d xiP x/ 3t e d xP，t等号右方第一积分是可以用三重积分的分部积分来变形的，这式写成标量:计算52mz2i PxXPyYPzZ / dxdydz的x局部分部积分法:Pxx 叩 Pzz / dydzi Pxx Pyy Pzz /edxdydzz y xi( PxX Pyy PzZ) /edydz 巴Pxx Pyy Pzz/

27、dxdydziPxdydzi (PxX Pyy PzZ)/ez y xiPx(PxX PyyPzZ) /dydz(匹)2i (PxXePyy PzZ) /dxdydz2PxiG ez y x(PxX PyyPzZ)/dxdydz5式的结杲是2 2关于 r的积分按同法计算,z22Px再计算42m2P2m2P2m2Py-2-2Pzx, t eiP x/dxdydz13T22 hip x/x, t eP，t式右方第二积分x, te iP137?2xiP x/3iP x / h 3d pe d xt(P P)x /33d xd p但最后一个积分中P，G P，Pi (P P)x/ - 3x ed x指坐

28、标空间，p指动量相空间，最后将4 6 7综合起来就得到动量表象的积分方程式如 下:P，t2p2m3p, t G p, p p , t d pp8假设要将定态薛定谔方程式从坐标表象变成动量表象，运算步骤和上面只有很少的差异，设粒子能 量为E,坐标表象的薛氏方程：22 x E V x2m动量表象方程也是积分方程式，其中G p, p丨是这个方程式的核Kernel22m p E p2.12，2.13，没找至 U第三章:维定态问题P86设粒子处在二维无限深势阱中,V(x,y)0,0 x a, 0 y b,其余区域求粒子的能量本征值和本征波函数。 解：能量的本征值和本征函数为b ，能级的简并度如何?Enx

29、nyny)nx“y2 .sin- abnxX nyy sin anx,ny 1,2,假设a b，Enxny市2nxn；，nxny2sinanyynxX . sin a a这时，假设nx叫，那么能级不简并；假设nxny，那么能级一般是二度简并的有偶然简并情况,如 nx 10, ny5 与 nx11, ny2设粒子限制在矩形匣子中运动，即V(x,y,z) 0,0a, 0 y其余区域b, 0 z cb c，讨论能级的简并度。求粒子的能量本征值和本征波函数。 解：能量本征值和本征波函数为2b22¥),cJ 旦 sin 空sinsin 上nx,n y, nz1,2,3,mnynzabc ab

30、c当a b c时，E n n nx y z2 22 22 x2 (nx ny nz) 2magn2 n竺sindsindaa a anx ny nz时，能级不简并;nx,n y, nz三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。nx,n y, nz三者皆不相等时，能级一般为 6度简并的。召52 62 82 32 42 102如102 122 162 62 82 202设粒子处在一维无限深方势阱中，0, V(x,y)(“9)(仙1)为12重简并(1,5,10)(3,6,9)处于基态(n 1)，求粒子的动量分布。解：基态波函数为xa! 2xa/22 cos丄a a2 x .一 cos

31、dx:a a1 i xi x尹 a e a)dx13232dx1 1a1P aiP ai _ 2 i 1 _ 2 ee2i - a£-cos 必P 2-cos 理P 2co詈动量的几率分布 p(P)234 a2 2 2 2 2a Pcos2 里2P115 1利用Hermite多项式的递推关系附录谐振子波函数满足以下关系A3。式11，证明n(x)2n 1X2Xn 1仔 n 1(x)x2n(x)2nn(x) n 1 n 2n 2X并由此证明,n态下,x 0,证：谐振子波函数n(X)Ane2x2x)1其中，归一化常数An2n n!n(X)2 X2 2AneXH n( X)Ane2x22 2

32、XH n( X)n(X)2利用122X2 2Ane X 2 Hn 1(X)2nH n i( x)2x2'2en2 n!nH n i( x)2nn! 6 2X22 Hn 1( X)121e1x2 22x2Hn l( X)2 Hn 1( X)nXn 1X21n nn 1Xn 2X-.2ndX* 1 n(x) mn(X)1m212 22 (x) 2n1 n(X)n(X)2nHermite多项式的求导公式。dn(X) dxd22 n ( X)dx证：A3.式12： Hn(X)dX2n 1证明J n12n n 12n() 2nHn 1(),n 1 (x)斗n(X)dXA3.式2nn 1n 1.2

33、2n(x)1nn 2,2n(x)n 2X2(x)En 2121(x) dxdHn( X)dx2n H n 1( x)n(x)An2x2 e x 2Hn( x) e x 2 2n H n1( X)dxd2dx2n(x)2xn2 n：2n2n 1、2n n i(x)2n 12 nn2n 12n 2n 2x x*nd*inn2 n 1n21i dxndxn 1dx 022 . 2P*dn2ndx2m2m dx22*n.n n 1n 22n1n-' n1n 2n 2 dx2m22 2*2m11En2n 1n ndx2n 1n4m4m2222n 1nn 2n 2n 1 n 2PT123谐振子处于

34、n态下，计算 x由题2， p0,2pxx-2x12pp2p'12xpn12解：由题1 , x 0,对于基态，n 0,2 x2VEn1 n _222mmmx p2，刚好是测不准关系所规定的下限。2mTmEn1 n _2m2-2 12112xxn _2m2-2 12112ppn _m24荷电q的谐振子，受到外电场的作用,1 m2V(x)x2q x求能量本征值和本征函数。2解：H 2m2x2Ho q x2Ho的本征函数为nAnex)，本征值Eon现将H的本征值记为En,本症函数记为n(X)。式1的势能项可以写成V(x)其中Xo如作坐标平移，令x Xo由于i dxddxXo2X。H可表成

35、9;2 .P 1 m 2m 22x'22Xo6式中的2式中的Ho相比拟，易见H和H 0的差异在于变量由数项2 2Xo，由此可知En En2 2XoEn其中n(x)AneAnn(X)n(x')1m22 2q2m2 f丄 2m2 HnY 厂 2n n!n(XX。)n0,1,2,3456X换成x'，并添加了常789(10)(11)(xx)2 兰(112并证明当n解：写出归一化波函数:时上述结果与经典结论一致i2 . n x nX . a sin1先计算坐标平均值:2| | xdxa 2 . 2 n xsin0 axdx aa(102n x、 cos xdx利用公式:xsi n

36、pxdxx cos pxsin2ppx2x cos pxdxxsin pxcos px2nn x xsino,x以知，可计算a2na2计算均方根值用xx2x22 -2| x2dxsin2xdxa1 ax2(1a 02n x、 cosadx利用公式cos pxdx1 2 .x sin ppx22 x cos px p1 . 飞sin ppxJ2sin2n x2n2n(x x)2x22a2n2 2在经典力学的一维无限深势阱问题中,相同，由于总几率是 1，几率密度因粒子局限在。axdxTxdx0 a-2 xa1x2dx0 a故当时二者相一致。a32n2a122 aa2n2 20，a范围中运动,2a2

37、n2 26各点的几率密度看作3.3设粒子处在一维无限深方势阱中,V(x,y)0,x0 x a0, x a证明处于定态n(x)的粒子- a2a26x ,(x-x)(1 2 2 )212n2 2讨论n的情况，并于经典力学计算结果相比拟。证：设粒子处于第 n个本征态，其本征函数n(X)2 n-sin x. a aa22 a2 n分部axxndxxsinxdx0a 0a2222-2a 22a(x x)xxxndx0411(12n x cos)dxx x dx范围的几率为dxa，故a dxaxx 一0 a22a 2 dx2 axx0a32 a3(x x)242在经典情况下，在 0, a区间粒子除与阱壁碰

38、撞设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变外，来回作匀速运动，因此粒子处于当n时，量子力学的结果与经典力学结果一致。设粒子处于无限深势阱中,状态用波函数(x)Ax(ax)描述，A是归一化常数,解在物理意义上，这是一种能量的非本征态，就是说体系在这种态上时，它的能量是不确定的，薛定谔方程是能量的本征方程，波函数不会满足薛氏方程式。但我们知道势阱中的粒子满足边界条件 的解是：n(x)2 . n xsin a an=1,2,3,这种解是能量本征态，相应的能量按叠加原理非本征态可用本征函数谱展开:(x)Cn n(x)Cnn?sinnx:aCn0a*(x) n (x)d

39、x单x(aa 0x)s in Udx a利用积分公式:xsin pxdxxcos pxpsin pxx2 sin pxdx2(二px2)cos px p2x sin px于2式，可求得：Cn2 60 1n(1)n3此式只有为奇数时才不为0,故只有量子数奇数的态111920(x) Fxsin -a13.3sin -a33sindSa3(2k1) 4仍是归一化的，故粒子具有能级En2ma2的几率是960_66n*4、60 2CnG ()n2能量的平均值可以按照几率分布的公式计算:ECn CnE nn960 n2 2 2960 26n6 2ma2 2m 4a2n为奇数6根据福利衰级数可计算7n奇有几

40、种方法，例如:n n2y(x) x (32x)48 cos(2 n 1)x上式中令x=0立刻得1m(2n 1)4代(6)式得 E(2n1)49652 ma另一方法是直接依据题给的能量非本征态用积分法求平均值dxaA2 (ax02 22 2x )(2)(ax x )dxm x30a2m 02(axx2)dx5 22 ma能够这样的原因是厄米算符(3)能量的涨落指能量的不准度l2 .E2(E)现需求能量平方的平均值,这可利用前半题结果来计算.E2* 2CnCn En9604n4m240 4224m a12 (2k1)2关于此求和式k1(2k1I?1322也用福利衰级数72y(x) x4l2(1)k

41、1 (2k ysi n1 (2k1)21) xl1展开区间一2-丨此式中可取l 12代入x(1)k12 sin(2k1 (2k 1)21k 1 (2k1)2E2E30 4J25 4寸2 42 4-m am ak30 4 m2a4，5 '2 ma补白：此题假设直接用积分求要利用厄米性：why？H?2 dx(F? )*(H? )dxn x态的粒子的动量分布几率密度解因为n x.2P-sin 倬 是的，所以要求动量分布的几率密度，先要求动量波函数,a这可利用福利衰变换的一维公式a 2 iPxeasin Udx利用不定积分公式ax .e sinasin px p cos px pxdxaxe用于前一式得:n(P)ip . n xsina石an n x cosaa 小e(上)2ipx或者动量几率密度分别是2 24n a222(a p n2n a 82n+；a 32222a p n2ni a 222a pipa(k22eipapacos -2ipasin 企2n奇数n偶数2 pa222 cos 2 2)22n奇数2 2(a p2 24n a22n亍 sin2，2)2 2n偶数3.5设粒子处在一维无限深方势阱中,V(x, y) 0,处于基态n 1，求粒子的动量分布。解：基态波函数为2 cos a a参 P57,12