2021版新高考数学一轮复习讲义：第四章第三讲平面向量的数量积(含解析)

1、第三讲平面向量的数量积ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测知昱埜知识点一向量的夹角两个非零向量 a 与 b,过 O 点作 OA = a, OB = b，则_/ AOB叫做向量 a 与 b 的夹角; 范围是_0 ,n.a 与 b 的夹角为_2 时，则 a 与 b 垂直，记作 a 丄 b.知识点二平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与 b，它们的夹角为0,则数量|a|b|cosB叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a b, 即卩 a b = |a|b|cos 0_，规定零向量与任一向量的数量积为0，即 0 a=0.几何意义：数量积a b

2、等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos0的乘积.知识点三平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量 a = (xi, yi), b= (x2, y2),0为向量 a, b 的夹角.数量积： a b=|a|b|cos0=_x逖？+yy?_.2模：間=/a_a = _寸 x1 2+ y2_.3设 A(xi, yi), B(x2, y2)，则 A, B 两点间的距离 |AB|= |AB|= , xi X22+ yi y20a bxix2+ yiy2|a|b|寸 x2+ y2 x2 + y2已知两非零向量a 与 b, a 丄 b? a b= 0?xix2+ yiy2= 0;

3、 a/ b? a b= a|b|.(或|a b|=|a| b|).|a b|w|a|b|(当且仅当 a / b 时等号成立)? xix2+ yiy2|w,xi+ yi- .x2+ y2.平面向量数量积的运算律1a b = b a(交换律).2扫 b=Xa b)= a (b)(结合律).3(a+ b) c= a c+ b c(分配律).1.两个向量的数量积是一个实数.0 a = 0 而 0 a= 0.2 .数量积不满足结合律(a b)CMa (b c).3.a b 中的“ ”不能省略.a a = a2= |a|2.4 俩向量 a 与 b 的夹角为锐角？a b0 且 a 与 b 不共线；两向量 a

4、 与 b 的夹角为钝角？a b0 ,则 a 与 b 的夹角为锐角；a b = , 2cosn=_22. C.3212-/Q-解析因为 BC= AC AB= (1 , t 3),所以 |BC|=-,；1 + t-32= 1 ,解得 t = 3,所以 BC =(1,0)，所以 AB BC = 2X1 + 3X0 = 2,故选 C.7.(2019 全国卷I,5 分)已知非零向量 a, b 满足|a|= 2|b|,且(a b)丄 b,贝 U a 与 b 的夹 角为(B )解析方法一：由题意得，(a b) b= 0? a b = |b|2,cos a, b= |b|2,|a|= 2|b|,1 2|b|2

5、cosa, b= |b|2? cosa, b= ?,na, b= 3,故选 B.n 则 BA = a b,.B= 2 |OA|= 2|OB|,.厶OB=n即a, b=nKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破在梯形 ABCD 中，AB / CD , CD = 2, / BAD =；，若 AB AC = 2ABAD，则 ADAC6), |b|= . 10,a b=10.C.2n方法二：如图所示，设 O)A= a, OB互动探究考点一平面向量数量积的运算师生共研如图所示,1与 b 的夹角为 60 所以 a b = |a|b|cos60 = 210 xQX10.解法一：(

6、利用向量的加、减法运算和数量积的定义求解)因为 AB AC = 2AB AD，所以AB AC-AB AD = AB AD，所以 AB DC = AB -AD.n因为 AB /CD , CD = 2，/BAD = 4,f f fn所以 2|AB|=|AB|AD|cos 4,化简得 |AD|= 2 .2（利用 a b= |a|b|cosB求解）f ffffffjjn故 AD AC = AD （AD + DC） = |AD |2+ AD DC = （2 一 2）2+ 2 ,2X2cos 4 = 12.得(n,0)(m+ 2, m) = 2(n,0) ( m, m)，所以 n(m + 2) = 2nm

7、,化简得 m = 2.f f2故 AD AC = (m, m) (m + 2, m) = 2m + 2m= 12.名师点拨？向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角B时，可利用定义法求解，即a b=|a|b|cosB当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a= (x1, y1), b= (x2, y2)，贝 U a b= X1X2+ y1y2.(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解.解析因为 a= ( 2,=2 10,又 |b|=10，向量 axAy.则由 AB AC = 2AB AD ,(4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，

8、求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例(2).变式训练 1(1)(2018 课标全国n,4)已知向量 a, b 满足 |a|= 1, a b= 1,贝Ua (2a b)= ( B )B.3C. 2(2)在菱形 ABCD 中，对角线 AC = 4, E 为 CD 的中点，贝 U AE AC= ( C )B . 10D . 14解析(1)本题考查数量积的定义和运算.a (2a b) = 2|a|2 a b= 2x12 ( 1) = 3故选(2)解法一：转化法：注意到菱形的对角线 AC 丄 BD.故用 AC、BD 表示 AE，由题意知 AE = ACT T1T T1T T3f1f+CE=AC+2CD

9、=AC+(BDAC)=4AC+4BD,(|AC+4BD) AC=4|AC|2+4BDAC=4AC2=12，故选C.解法二：坐标法：如图建立平面直角坐标系，则A(-2,0)，C(2,0)，不妨设 D(0,2a)，则E(1, a)AE= (3, a), AC= (4,0)AEAC= (3, a) (4,0) = 12,故选 C.角度 1 向量的模“ 例 2(1)(2020 四川绵阳一诊)已知向量=(D )A.2C. 12AE AC =考点二向量的模、夹角多维探究a= (x 1,2), b = (x,1)，若 a II b,则 |a+ b|23 .2C. 2 .2(2)(2020 四川双流中学月考)

10、若平面向量 a、b 的夹角为 60且 a= (1,-J3), |b|= 3,则|2a b|的值为(C )1A. 13B . .37C. .13D . 1(3)(2020 云南昆明一中模拟)已知向量 a= (2,1), a b= 10, |a + b|=凶 2,则|b|=5分析(1)由 a II b 求出 x,从而求 a+ b 的坐标，进而求|a+ b|;求出|a|，再由|2a b|h : 2a b2求解；(3)由(a+ b)2= 50 求解.解析a= (x 1,2), b = (x,1)且 aIIb,/x 1 = 2x,.x= 1,a= ( 2,2), b = ( 1,1), /a + b=

11、( 3,3),|a+ b|= . 32+ 32= 3.；2.故选 D .(2) -a = (1,、，/.|a|= 2.a b= |a|b|cos 60 = 3,|2a b|= ： 2a b2= .4a2 4a b+ b2= . 13.故选 C.(3) -a = (2,1),/|a|= . 5,又|a + b|= 5 ,2,/|a|2+ 2a b + |b|2= 50,a b= 10, 5+ 20+ |b|2= 50,/.|b|= 5.名师点拨？平面向量的模的解题方法(1) 若向量 a 是以坐标(x, y)形式出现的，求向量 a 的模可直接利用|a|= : x2+ y2.(2) 若向量 a, b

12、 是非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a|2= a2= a a,或|a )|2=(ab)2= a2i2a b+ b2,先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解.即模的问题平方 求解.角度 2 向量的夹角(1)(2020 河北武邑中学调研)已知向量 a = (2,1), b = (1,3),贝 U 向量 2a b 与 a的夹角为(C )D .30，)设平面向量 a,b 满足 |a|= 1,A. 135C. 45，(2)(2020 广西梧州、柳州摸底a, b 的夹角的余弦值为(B )B .14B . 60，|b|= 2, |a 2b|= .15.则向量角度 3 平面向量的垂直c.分析

13、利用夹角公式求解.解析a= (2,1), b = (1,3),|a|= ,22+ 1 =；：5, 2a b= (3, - 1),从而 |2a b|=，32+ 12= , 10,且(2a b) a= (3, 1) (2,1) = 5,记 2a b 与 a 的夹角为 0,则 cos0=2ab a 5|2ab| |a|Ox.5又 0W 0W n, 0=45故选 C.a 2b|=15,.|a|2 4a b+ 4|b|2= 15,1又|a|=1,|b|=2，a b= 2,a b 1记 a、b 的夹角为0,.cos0=厂匸=1故选 B .|a|b|4引申本例中 a 在 a+ b 方向上的投影为一护一 解析

14、Ta = 2,A|a+b|=|a|2+2a b+|b|2= 6a -a + ba 在 a+ b 方向上的投影为|a+ b|1|a|2+ab 1+ 2上|a+ b| 64名师点拨？求两向量夹角的方法及注意事项a b(1) 一般是利用夹角公式： cos0=丽.(2)注意：数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.(3)a 在 b 方向上的投影=, a b|a|cos0=;b 在 a 方向上的投影=a b|b|cos0=.|a|(2020 河南洛阳期中)向量 a, b 均为非零向量,a, b 的夹角为(A

15、 )(a 2b)丄 a, (b 2a)丄 b，则2nC.亍分析由条件用 a b 表示|a|、|b|,用夹角公式求解.解析由题意可知(a 2b) a = |a|2- 2a b= 0,(b 2a) b = |b|2 2a b= 0,即卩 |a|2= 2a b = |b|2a b i记 a、b 的夹角为0,则 cos0=囘卜| = 2，又00,n,n0=亍，故选 A.f 例 5（2020 安徽宣城调研）已知在 ABC 中，/ A= 120且 AB= 3, AC= 4,若 AP=瓜 B+AC,且AP丄 Be，则实数 入的值为（A）22A.亦C. 6解析 因为 AP 丄 BC,所以 AP BC= (；A

16、B + AC) (AC AB)= 於 B2+ AC2+ (入一 1)AC AB=0,因此AX3?+4?+(1)X3X4Xcos 120=0,22所以A=石故选 A .名师点拨？平面向量垂直冋题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a b = 0 求解.变式训练 2（1）（角度 1）（2020 山西康杰中学五校期中）已知向量 a、b 满足|b|= 2|a|= 2, a 与 b 的夹角为120。，贝 U |a 2b|= （ B ）A .13B . 21C. 13D . 21（2）（角度 2）（2020 江西七校联考）已知向量 a= （1, .3）, b = （3, m），且 b 在

17、a 上的投影为2n3,则向量 a 与 b 的夹角为.103（3）（角度 3）（2019 北京卷）已知向量 a = （ 4,3）, b = （6, m）,且 a 丄 b,贝 U m= _8_.（4）（角度 2）（2019 全国卷川，5 分）已知 a, b 为单位向量，且 a b = 0,若 c= 2a ,5b，则解析| a|= 1, |b|= 2, ab = - 1, 2b|= . a 2b2=创2 4a b + 4|b|2=故选 B.=3.又 0W 0W n, 0=3因为 a 丄 b,所以 a b = 4X6+ 3m= 0,解得 m = 8.设 a= (1,0), b= (0,1)，则 c=

18、(2, ,5),1MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升有关数量积的最值(范围)问题(1)(2017 全国卷n)已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC内一点，贝VPA (PB+ PC)的最小值是(B )3A . 2B . 24刮用向量牡童翹的4dC.-3D.1cosa, c2一 3.m= 3/3,=：32+ 3,32= 6,记 a 与 b 的夹角为0,则 cos0=12,所以 cos a, c2 21 4 + 53(2)由题意可知a b思维导引思路一:思路二:解析解法一：结合题意画出图形，如图所示，设BC 的中点为 D ,

19、AD 的中点为 E,连接 AD , PE, PD,则有 PB+ PC = 2PD ,则 PA (PB + PC)= 2PA PD = 2(PE + EA) (PE - EA) = 2(PE当点 P 与点 E 重合时，PE2有最小值 0,故此时 PA (PB + PC)取得最小值，最小值为-2EA32.解法二：如下图所示，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以边 BC 的垂直平行分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，,3)，B(- 1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，则 PA= (-x,.3- y), PB = (- 1-x, - y), PC= (1 -x,-

20、y),所以 FA (PB+ PC)= (-x,；3- y) (- 2x,-名师点拨？平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范 围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、 不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.变式训练 3如图所示，正六边形 ABCDEF 的边长为 2, M , N 分别是边 AB, CD 的中点，若 P 为该 正六边形边上的动点，则 MN MP 的取值范围为弓,弓.2y)= 2/+

21、 2(y-PA (PB+ PC)取得最小值，最小值为323ry) - 2 当 x= 0, y=2 2 当动点 P 与点 D 重合时，MN MP 取得最大值.2+ 4解法一：连接 AD，易知 MN 为梯形 ABCD 的中位线，所以 MN = 一厂=3.又 AM = 1, ZAMN = 120 ；所以 MN MA = 3X1Xcos 120 = |,故MNMP 的最小值为一|.连接 DM.因为 DN = 1 , MN = 3，/MND = 120 所以在 DMN 中，先由余弦定理求得 DM7721=13,再由余弦定理求得 cos /DMN = 厂 3,所以 MN MID = 3X13X丁弔=2，故 MN MP21的最大值为 y.3综上可知，MN MP 的取值范围为2,xMy，则易知向量 MA = (- 1,0)