2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第2讲第3课时函数性质的综合问题

1、第 3 课时 函数性质的综合问题函数的奇偶性与单调性（师生共研 ）已知函数 y= f(x)是 R 上的偶函数，对1任意 xi,X2(0,),都有(xi X2) f(xi) f(x2)f(b)f(c)B. f(b)f(a)f(c)C. f(c)f(a)f(b)D. f(c)f(b)f(a)【解析】由题意易知 f(x)在(0,+m)上是减函数，,2In 3又因为 ai= In 31 , b = (In 3)2|a|, 0c=f(|a|)f(b).又由题意知 f(a) = f(|a|),所以 f(c)f(a)f(b).故选 C.【答案】C函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值

2、问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(X1) f(X2)或f(X1)f(X2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组),要注意函数定义域对参 数的影响.已知定义域为(一1 , 1)的奇函数f(x) 是减函数，且 f(a 3) + f(9 a2)0 ,则实数 a 的取值范围是()A (2 2, 3)B. (3,10)C. (2 2, 4)D. ( 2, 3)解析：选 A.由 f(a 3) + f(9 a2)0 得 f(a 3) f(9 a2).又

3、由奇函数性质得 f(a3)f(a21a 31, 9).因为 f(x)是定义域为(一 1, 1)的减函数，所以一 1a2 91 ,解得 2.2a a? 9,函数的奇偶性与周期性(典例迁移)(一题多解)(2020 武昌区调研考试)已 5义域为 R 的奇函数，且函数 y= f(x- 1)为偶函数，当 0wxw1 时，f(x) = x3,则 丐【解析】法一：因为 f(x)是 R 上的奇函数，y= f(x- 1)为偶函数，所以 f(x- 1) = f(-x-1) = - f(x+ 1),所以 f(x+ 2) = -f(x), f(x+ 4) = f(x),即 f(x)的周期 T= 4,因为 0 x 1

4、时,法二：因为 f(x)是 R 上的奇函数，y= f(x- 1)为偶函数，所以 f(x- 1) = f(-x- 1) = -f(x + 1),所以 f(x+2) =-f(x),由题意知，当一 1wx0 时，f(x) = x3,故当一 1wxw1 时，f(x) =x3,当 1xW3 时，一 1x-2w1, f(x)=- (x- 2)3,所以 f知 f(x)是定.f(x) = x3,所以 f 2555 =f2-4=f1 _ 12 =-8.1【答案】18【迁移探究】(变条件)本例变为：已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且函数y= f(x +51)为奇函数，当 OWx1 时，f(x)= x2,则

5、 fq =_解析：因为 f(x)是 R 上的偶函数，y= f(x+ 1)为奇函数，所以 f(x+ 1)= f( x+ 1) = f(x 1),所以 f(x+ 2)= f(x), f(x + 4) = f(x), 即 f(x)的周期 T= 4,因为 OWx1 时，f(x)= x2,所_ 1=41答案：14周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题 ，常利用奇偶性及周期性进行转换，将 所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.以 f 2=f 2 4-3= f3= f1+1=(2020 广东六校第一次联考)定义在 R1上的函数 f(x)满足 f(x) = f(2 x)及 f(x)= f(-

6、x),且在0,1上有 f(x)= x1 2,则 f 2 0192 =()9144解析：选 D.函数 f(x)的定义域是 R, f(x)= f( x),所以函数 f(x)是奇函数.又 f(x) = f(2x),所以 f( x) = f(2 + x) = f(x),所以 f(4+ x)= f(2 + x) = f(x),故函数 f(x)是以 4 为周期 1 11 1的奇函数，所以 f 2 0192 = f 2 020 = f - = f 2 .1 121因为在0, 1上有 f(x)=x2,所以= 2 = 4,函数的综合性应用(师生共研)1 1故 f 2 0192 = 4,故选 D.(1)(2020

7、 石家庄市模拟(一)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足f(x)= f(2 x),当 x 0 , 1时,f(x)= 4x 1,则在(1, 3)上,f(x)w1 的解集是()33 5A. 1, 2B. 2 , 2C. 1 , 3D. 2 , 3)(2)(2020 陕西榆林一中模拟)已知偶函数 f(x)满足 f(x) + f(2 x) = 0，现给出下列命题： 函数f(x)是以 2 为周期的周期函数；函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数；函数 f(x 1)为 奇函数；函数 f(x 3)为偶函数，其中真命题的个数是()A.1B. 2C. 3D. 4【解析】 因为 0Wxw1 时，f(x

8、) = 4x 1,所以 f(x)在区间0 , 1上是增函数，又函数 f(x)是奇函数，所以函数 f(x)在区间1 , 1上是增函数，因为 f(x) = f(2 x),所以函数 f(x)13的图象关于直线 x= 1 对称，所以函数 f(x)在区间(1, 3)上是减函数，又 f 2 = 1，所以 f 2 =31,所以在区间(1, 3)上不等式 f(x) 1 的解集为 2，3，故选 C.(2)偶函数 f(x)满足 f(x) + f(2 x)= 0,所以 f( x)= f(x) = f(2 x), f(x+ 2) = f(x),f(x + 4) = f(x+ 2) = f(x),可得 f(x)的最小正

9、周期为 4,故错误，正确；由 f(x+ 2) = f(x),可得 f(x+ 1) = f(x 1).又 f( x 1)= f(x+ 1),所以 f( x 1) =- f(x 1),故 f(x 1)为奇函数，正确；若 f(x 3)为偶函数，贝 y f(x 3) = f( x 3),又 f( x 3)= f(x+ 3),所以 f(x+ 3)= f(x 3),即 f(x+ 6) = f(x),可得 6 为 f(x)的周期,这与 4 为最小正周期矛 盾， 故错误 ， 故选 B.【答案】 (1)C (2)B求解函数的综合性应用的策略(1) 函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一.特别注意“奇函数若在 x

10、= 0 处有定义， 则一定有 f(0) = 0;偶函数一定有 f(|x|)= f(x)”在解题中的应用.(2) 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题， 通常先利用周期性转化自变量所在的区间， 再利用奇偶性和单调性求解.解析：选 B.由 f(x) = f(2 x)得 f(x)的图象关于直线 x= 1 对称.又 f(x)是偶函数，故函数 f(x)的周期是 2, f(x)在区间2, 1上是增函数，在区间3 , 4上是减函数.2. (2020 甘肃甘谷一中第一次质检)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足条件：对任意的 x R，都有 f(x + 4) = f(x);对任意的X1, x2 0 , 2且

11、X1X2，都有 f(X1)f(X2);函数 f(x2)的图象关于 y 轴对称，则下列结论正确的是 ()A.f(7)f(6.5)f(4.5)B.f(7)f(4.5)f(6.5)C.f(4.5)f(7)f(6.5)D.f(4.5) f(6.5) f(7)解析：选 C.因为对任意的 x R,都有 f(x+ 4) = f(x),所以函数是以 4 为周期的周期函数,因为函数 f(x + 2)的图象关于 y 轴对称，所以函数 f(x)的图象关于 x= 2 对称，因为 X1, X2 0 , 2且 X1X2,都有 f(X1)f(X2).所以函数 f(x)在0 , 2上为增函数，所以函数 f(x)在2 , 4上

12、为减函数.易知 f(7) = f(3) , f(6.5) = f(2.5) , f(4.5) = f(0.5) = f(3.5),则 f(3.5)f(3) 0)，则 f(x- 2)0 的条件为 _ .解析：由 f(x)= x3- 8(x 0),知 f(x)在0 ,+s)上单调递增，且 f(2) = 0所以，由已知条件可知 f(x- 2)0? f(|x- 2|)f(2).所以 |x- 2|2,解得 x4.答案：x|x4D. 1 和 2f ( X2) f ( X1X2X10,则(基础题组练1.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+ 4) = f(x),当 x (0,2)时，f(x)=

13、2x2,则 f(2 019) =( )A . - 2B. 2C. 98D. 98解析：选 A.由 f(x+ 4)= f(x)知，f(x)是周期为 4 的周期函数，f(2 019) = f(504X4+ 3) = f(3)=f( 1).由 f(1) = 2X12= 2 得 f( 1) = f(1) = 2,所以 f(2 019) = 2故选 A.1 一2已知偶函数 f(x)在区间0,+ )上单调递增，则满足f(2x 1)f 3 的 x 的取值范围1 2B. 3, 3解析：选 A.因为 f(x)是偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，1 又 f(x)在0 , +)上单调递增，f(2x 1)f-, 所

14、以 |2x 1|3 所以1x|.3 .若 f(x)是定义在(8,+)上的偶函数,A . f(3)f(1)f( 2)X1, X2 0 ,+ )(x1工 X2)，B. f(1)f( 2)f(3)C. f( 2)f(1)f(3)D . f(3)f( 2)f(1)f ( X2) f ( X1)解析：选 D.因为？xi,X20 ,+8)(xiMX2),有 0 时，X2 Xi函数 f(x)为减函数，因为 f(x)是定义在(8, +8)上的偶函数，所以 f(3)f(2)f(1),即 f(3)f( 2)f(1).4.(2020 黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数 f(x)是偶函数，定义域为R，单调增区间为0,+8)

15、，且 f(l) = 0，则(X1)f(x 1) 0 的解集为()A . 2, 0B. 1 , 1C.(8,0U1,2D.( 8,1U0,1解析：选 C.由题意可知，函数 f(x)在(8,0上单调递减，且 f(1)=0,令 X 1= t,则 tf(t) 0 时，f(t)w0,解得 0tw1;当 t0,解得 t1,所以 0wX1w1 或X1w 1,所以X0 或 1wX2.故选 C.5.(2020 甘肃静宁一中一模)函数 y= f(x)在0 , 2上单调递增，且函数 f(x+ 2)是偶函数，则下列结论成立的是()57A . f(1)f 2 f 275B. f 2 f 2 f(1)75C.f 2 f(1)f 257D. f 2 f(1