2020高考理数总复习课后限时集训16导数与函数的综合问题

1、1课后限时集训(十六)(建议用时：60 分钟)A 组基础达标一、选择题1 方程 x36X2+9X10= 0 的实根个数是()A. 3B . 2C. 1D. 0322C 设 f(x) = x 6x + 9x 10, f (x) = 3x 12x+ 9= 3(x 1)(x 3),由此可知函数的极大值为 f(1)= 6v0,极小值为 f(3)= 10v0,所以方程 x3 6x2+ 9x 10=0 的实根个数为 1.x、2. 若存在正数 x 使 2(x a)v1 成立，则实数 a 的取值范围是()A.( x,+x)B.(2,+x)C.(0,+x)D.(1,+x)D 2 (x a)v1,二 ax.1x令

2、 f(x) = x尹 f (x)= 1 + 2In 20. f(x)在(0,+x)上单调递增， f(x) f(0)= 0 1 = 1,实数 a 的取值范围为(一 1,+x).3. 某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为 k(k0),贷款的利率为 4.8%，假设银行吸收的存款能全 部放贷出去.若存款利率为 x(x (0,0.048),则银行获得最大收益的存款利率为 ()A . 3.2%B . 2.4%C . 4%D . 3.6%2A 设 y 表示收益，则存款量是 kx2,贷款收益为 0.048kx2,存款利息为 kx3, 则 y=0.048kx2 kx

3、3 4, x (0, 0.048), y = 0.096kx 3kx2= 3kx(0.032x)令 y = 0 得 x=0.032，且当 x (0,0.032)时 y 0,当 x (0.032,0.048)时 yv0,因此收益 y 在 x= 0.032 时取得最大值，故选A.4. 已知 y= f(x)为 R 上的连续可导函数，且 xf (x) + f(x) 0,则函数 g(x)=xf(x) + 1(x0)的零点个数为()A. 0B . 1C. 0 或 1D .无数个A 因为 g(x) = xf(x) + 1(x0), g (x) = xf (x) + f(x)0,所以 g(x)在(0,+x)上

4、单调递增，因为 g(0)= 1, y=f(x)为 R 上的连续可导函数，所以 g(x)为(0,+x)上的连续可导函数，g(x)g(0) = 1,所以 g(x)在(0,+*)上无零点.25. 若不等式 2xln x x + ax 3 对 x (0,+ )恒成立，则实数 a 的取值 范围是()A.( x,0)B.( x,4C.(0,+x)D.4, +x)2323 x + 2x 一 3令 g(x)二 2ln x+ x+ 】，贝Ug (x)二】+ 1二x2，由 g (x) = 0 得 x= 1 或 x= 3(舍)，且 x (0,1)时，g (x)v0, x (1,+x)时，g (x)0.因此 g(x)

5、min= g(1) = 4.所以 a g(x2),贝 U 实数 a 的取值范围是.4(x,1当 x1 时，f (x)= 1 =V 0, f(x)min= f(1) = 5.33B 由题意知 a2 时，f (x)0,当 1vxv2 时，f (x)v0.因此 x= 1 和 x= 2 分别是函数 f(x)的极大值点和极小值点.由题意知 f(1)= 0 或 f(2)= 0,即 5 a = 0 或 4 a= 0.解得 a=4 或 a= 5.8. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价为 p 元，销量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q= 8 300- 170p p

6、2,贝 U 该商品零售价定为 _元时利润最大，利润的最大值为 _ 元.30 23 000 设该商品的利润为 y 元，由题意知，32y= Q(p 20)= p3 150p2+ 11 700p 166 000,则 y = 3p2 300p+ 11 700,令 y= 0 得 p= 30 或 p= 130(舍 ),当 p (0,30)时，y 0，当 p (30,+)时，yv0,因此当 p= 30 时, y 有最大值, ymax= 23 000.三、解答题9. 已知函数 f(x)= eT+ ax a(a R 且 a0).(1) 若 f(0) = 2,求实数 a 的值，并求此时 f(x)在2,1上的最小值

7、；(2) 若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围.4解(1)由 f(0)= 1 a= 2,得 a= 1易知 f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上单调递增,所以当 x= 0 时，f(x)在2,1上取得最小值 2.5(2)f (x) = e + a,由于 ex0,1当 a0 时，f (x)0, f(x)是增函数，当 x 1 时，f(x) = e + a(x 1) 0.1f1、1当 xv0 时，取 x=，贝Uf av1 + a 1 = av0.a a /a所以函数 f(x)存在零点，不满足题意.2当 av0 时，f (x) = ex+ a，令 f (x) = 0，得 x= ln(

8、a).在(x,|n(a)上, f(x)v0，f(x)单调递减,在(ln(a),+x)上, f(x)0,f(x)单调递增,所以当 x= ln( a)时，f(x)取最小值.函数 f(x)不存在零点，等价于 f(ln( a) = eln(a)+ aln( a) a= 2a + aln(a) 0,解得一 e2vav0.综上所述，所求实数 a 的取值范围是( (e2。) ).(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)若? x 1 , +),不等式 f(x) 1 恒成立，求实数 a 的取值范围.2x 2x 2a解(1)f (x)二 旷12当 a0,故 f (x)0,函数 f(x)在(x,+x)上单调递增，1

9、10.已知函数 f(x)=2a(a R).6当 a 2 时，令 x2 2x 2a = 0? X1= 1 2a+ 1,7x(o,i寸 2a+1)(1-J 2a+1,1+Q 2a+1)(1+J 2a+1,+ o)f(x)+一+f(x)/由表可知，当 a 1时，函数 f（x）的单调递增区间为（一X,1 2a+ 1）和(1 +2a+1,+X)，单调递减区间为(1 ，2a+ 1, 1+ 2a+ 1).2ax2(2)vf(x)i? ei?由条件 2ax2 ex,对? x 1 成立.令 g(x) = x2 ex, h(x) = g (x)= 2x ex, h (x) = 2 e,当 x1, +X)时，h(x

10、)=2ex2ev0, h(x)= g (x) = 2x ex在1 , +)上单调递减, h(x)=2xex2ev0,即卩 g(x)v0, g(x) = x2 ex在1 , +)上单调递减， g(x) = x2 ex 1 在1 , +X)上恒成立，只需 2a g(x)max 1 e,1 eB 组能力提升2a x2ex,a,即实数 a 的取值范围是+ oo列表81.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27n且用料最省，则圆柱的底面半径为（）9所以 f(X2) f(Xi)，即夢xiex2，故选 C.ax_ a3 .若函数 f(x) = 厂+ 1(a0)没有零点，贝 U 实数 a 的取值范围为2ae

11、 一(ax 一 a e一 a(x 2)(e0) f (x) =2x=当 x2 时，f (x)2 时，f (x) 0,a当 x= 2 时，f(x)有极小值 f(2) = -2+ 1.DC. 6227A设圆柱的底面半径为 R,母线长为 I，则 v=n2i = 27n二 1=R2，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和 S 最小.亠？227由题意，S=nR + 2nRI=nR + 2np.54n S = 2 戏討，令 S = 0,得 R= 3,则当 R= 3 时，S 最小.故选 A.2.若 OvxivX2 In X2 InxiB. ex2 exixiex2D.X2exi则 f (x) =X Xxe e2= 2 X Xexxi当 0 x 1 时，f (x)0,即 f(x)在(0,1)上单调递减，因为0 xi X2 0.解之得 a e2,因此e2a0.4. (2017 全国卷川)已知函数 f(x)= In x+ ax2+ (2a+ 1)x. 讨论 f(x)的单调性；3当 a0 时，证明 f(x) 0,则当 x (0,+)时，f (x)0,故 f(x)在(0,+x)上单调递增.若 a0;当 x 2,+ 时，f (x)0.故 f(x)在 0, 2a 上单调递增，在2a，+上单调递