2020高三数学一轮复习(人教版理)：直线的倾斜角与斜率、直线方程

1、第八章平面解析几何第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程2019 考纲考题考情聘纲姜求考通拳0!老向标釜1.見辭出红朗悔剝伯和料弼的 ffi.ft-T 血辺內门 的直熾斜屮的 H 冷上成王学懈如富戈线忖 iT的此廿吃黑.优. |(爰h玮的 JL 斡吃JV点舁式、冉壮式艮- 戦式.了斛討戡式 q-枚卤飯的盂示2017 -肠江高 厲規的斟率-20bl H IM 富号T(斤懐轲題) iOH *附建爲号IT出直塢的方卷1 2U 1 -或魅 R t - Tj 也线输恤斜勵 1命副用址：h 直螺的齢旱与対角 畫輕 it的方邯3.直锻力程的烷詩用用梅董沖 Mi 西世麒-AjSlMr Ari | *| fF|.

2、 tljC厂基础微梳理1O M Ml*小融练知识必备固根畢.JICHLTWHISMUI-I 1. 直线的倾斜角(1)定义：当直线 I 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正 向与直线 I向上方向之间所成的角叫做直线I 的倾斜角。当直线I 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0 范围：直线 I 倾斜角的范围是0 180 。2. 直线的斜率(1) 定义：若直线的倾斜角。不是 90 贝 V 斜率 k= tanJ；若直线的倾斜角 A 90,则斜率不存在。(2) 计算公式：若由 A(X1, y1), B(X2, yQ 确定的直线不垂直于y?-y1x 轴，贝yk=x。(X1 X2)x2x13.

3、直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率 k 与点(x,y)yy=k(xx0)不含直线 x= X0斜截式斜率 k 与截距 by= kx+ b不含垂直于 X 轴的直线两点式两点(“ %), (x,y2)y y1x刘y2y1X2x1不含直线 x= X1(X1斜率等于 1,则 m 的值为()名称条件方程适用范围截距式截距 a 与X+y=1(abz0)不含垂直于坐标轴和ba b过原点的直线一般式Ax+ By+ C= 0(A2+B2工 0)平面直角坐标系内的 直线都适用常记结论1. 直线倾斜角和斜率的关系(1) 直线都有倾斜角，但不一定都有斜率。(2) 不是倾斜角越大，斜率 k 就越大，因为 k

4、= tana,当 al0,扌；(n、时，a越大，斜率k就越大，同样 妖Q, n时也是如此，但当a nqo,n且a2 时就不是了。2. 截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离” 是一个非负数。应注意过原点的特殊情况是否满足题意。一题组欷热身一巨鑒mew |-小觀浦练棍知能w一、走进教材1.(必修 2P86练习 TJ 若过点 M( 2, m), N(m,4)的直线的=X2)和直线 y=yi(yi=y2)=X2)和直线 y=y1(y1= y2)续表(71)。A. 1B. 4C. 1或 3D. 1 或 4m 4解析 由题意得=1,解得m= 1。2 m

5、答案 A2.(必修 2P100A 组 T9改编)过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为。解析 当截距为0 时，直线方程为3x 2y= 0;当截距不为0 时，设直线方程为：+ a = 1，则 2+3=1，解得 a= 5,所以直线方程为 x+ y 5 = 0。答案 3x 2y= 0 或 x+ y 5 = 0二、走近高考3. (2017 浙江高考)如图，已知抛物线 x2= y,点 A一24丿3 9)(B3，9，抛物线上的点 P(x, y)24 丿I垂线，垂足为 Q,则直线 AP 斜率的取值范围是1 32x2丿,过点 B 作直线 AP 的解析 设 P(X, x2)，直线 AP 的斜率为

6、k，则21x 一41k=1 = x 2。x+1答案(1,1)三、走出误区微提醒：由直线方程求斜率的思路不清；忽视斜率和截距对直线位置的影响；忽视直线斜率不存在的情况。4 .直线 I: xsin30 +ycos150 a = 0 的斜率为()3A.D .韦解析设直线1的斜率为 k,则cos 卷書答案 A5.如果 A C0 且 B C0,第三象限。答案 C6 .过直线 I:轴围成的三角形的面积为 2 ,则直线解析 若直线 m 的斜率不存在，则直线 m 的方程为 x= 2,直线 m,直线 I 和 x 轴围成的三角形的面积为 2,符合题意；C. J3B .第二象限D .第四象限在 y 轴上的截距-CB

7、0，故直线经过第一、二、四象限，不经过y=x 上的点 P(2,2)作直线 m,若直线 I, m 与 x m 的方程为若直线 m 的斜率 k= 0,则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意；若直线 m 的斜率 kz0,设其方程为 y 2= k(x 2),令 y= 0,2 12 1得 x= 2 k，依题意有 2X2 匚X2 = 2，即 1 匚=1，解得 k1 1=2，所以直线 m 的方程为 y 2 = (x 2)，即卩 x 2y+ 2= 0。综上可知，直线 m 的方程为 x 2y+ 2= 0 或 x= 2。答案 x 2y+ 2 = 0 或 x= 2O微考点人课堂严心考点一 直线的斜率与倾斜角【例

8、 1】(1)直线 x+ (a2+ 1)y+ 1 = 0 的倾斜角的取值范围是():A. 0 ,:C. 0 ,(2)已知线段 PQ两端点的坐标分别为 P( 1,1)和 Q(2,2)，若 直线 I: mx+ y+ 1 = 0 与线段 PQ 有交点，则实数 是(2)1: mx+ y+ 1 = 0 可写成 y= mx 1,即 I 过定点 R(0 ,1 ( 1)1),直线 PR 的斜率 k1= 2,直线 QR 的斜率 k2= ani! d*!3nB.7，nni | |3n :，2丿u!7，nm 的取值范围解析(1)由直线方程可得该直线的斜率为-宀,又-1Wa2+11齐?0,所以倾斜角的取值范围是一3nN

9、，n1 02 133=2。因为直线 I 与线段 PQ 有交点，所以斜率 k2 或 kw2 02232。又因为 k= m,所以 mW 2 或 m2。/3-答案(1)B(2) ，3L2 ,+)I2斜率取值范围的两种求法1. 数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置， 借助图形，结合正切函数的单调性确定。2. 函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率 范围，反之亦可。【变式训练】(1)平面上有相异两点 A(cosB, sin2f), B(0,1), 则直线 AB 的倾斜角a的取值范围是_ 。(2)已知两点 M(2, 3), N( 3, 2)，斜率为 k 的直线 I 过点P(1,1)且

10、与线段 MN 相交，则 k 的取值范围是 _。sin261 解析(1)由题意知 cos 片 0,则斜率 k= tana=cos60cosfq1,0)qo,1，那么直线 AB 的倾斜角的取值范围是(0,nu；3n、4，n。1 ( 3)1 ( 2) 3(2)因为 kpM= 4, kpN= 4，所以 k 的311 21 ( 3)4答案o,訓 I5,n(2)( ，一4喙+二5 6考点二直线的方程1 【例 2】(1)求过点 A(1,3),斜率是直线 y= 4x 的斜率的1的直线方程。(2)求经过点 A( 5,2),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距 的 2倍的直线方程。14解(1)设所求直线的斜率

11、为 k,依题意 k= 4x3 = 3。又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为y 3= |(x 1),即 4x+ 3y 13= 0。(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 2a+a= 1，将(15,2)代入所设方程，解得 a = ,所以直线方程为 x+ 2y+ 1 = 0;当直线过原点时，设直线方程为 y= kx,则一 5k= 2，解得 k=2 25，所以直线方程为 y= x,即 2x+ 5y= 0。故所求直线方程为2x+ 5y= 0 或 x+ 2y+ 1 = 0。取值范围为(一a,4u4,+TOyo5 在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式 的适用条件。6对于点斜式、截距式

12、方程使用时要注意分类讨论思想的 运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)【变式训练】求适合下列条件的直线方程。(1) 经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2) 经过点 A(- 1,- 3)，倾斜角等于直线 y= 3x 的倾斜角的 2 倍；(3) 经过点 B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。解(1)设直线 I 在 x, y 轴上的截距均为 a,若 a = 0,即 I过点(0,0)和(4,1),1所以 I 的方程为 y=4X,即 x-4y=0。若 az0，则设 I 的方程为+ a= 1,a a41因为 I 过点(4,1)，所以 a

13、+a=1,a a所以 a= 5,所以 I 的方程为 x+ y-5= 0。综上可知，直线 I 的方程为 x-4y= 0 或 x+ y-5 = 0。(2)由已知设直线 y= 3x 的倾斜角为a则所求直线的倾斜角又直线经过点 A( 1, 3),3因此所求直线方程为 y+ 3=-4(x+ 1),即 3x + 4y + 15 = 0。因为 tana=3,所以 tan22ta naa=2:1tana34。(3)由题意可知，所求直线的斜率为1。又过点(3,4)，由点斜式得 y 4 =x 3)。所求直线的方程为 x y+ 1 = 0 或 x+ y 7= 0。考点三直线方程的综合应用微点小专题【例 3】(1)(

14、2019 成都模拟)已知直线 I 过点 M(2,1)，且分 别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于 A，B 两点，O 为原点， 当厶 AOB面积最小时，直线 I 的方程为_。(2)已知直线 li: ax 2y= 2a 4, I2: 2x+ a2y = 2a2+ 4, 当0a0, b0，因为直线 I 过2 12 1F2点 M(2,1)，所以2+1= 1,则 1=2+ b讨 ab，故 ab8,故 S 1 1 2 11AOB的最小值为寸ab =8 = 4，当且仅当2= =时取等号，此时 a= 4, b= 2，故直线 1: 4+ = 1,即 x+ 2y 4= 0。(2)直线 I1可写成 a(x 2)=

15、 2(y 2),直线 I?可写成 2(x 2)=a2(2 y)，所以直线 11, 12恒过定点 P(2,2)，直线 h 的纵截距为12 a，直线 I2的横截距为 a2+ 2，所以四边形的面积 S=寸2X(2122151a) + 2X2X(a+ 2) = a a + 4 = a2 f+ 4。当 a= 2 时，面积最小。1答案(1)x+ 2y 4= 0 (2)2JI与直线方程有关的最值问题的解题思路1 借助直线方程，用 y 表示 x 或用 x 表示 y。2. 将问题转化成关于 x(或 y)的函数。3. 利用函数的单调性或基本不等式求最值。【变式训练】 当 k0 时，两直线 kx y= 0,2x+

16、ky 2 = 0与 x 轴围成的三角形面积的最大值为 _。(2) (2019 苏北四市模拟)已知 a, b 为正数，且直线 ax+ by 6= 0与直线 2x+ (b 3)y+ 5 = 0 平行，则 2a+ 3b 的最小值为。(3) 已知 x0, y0，且 x+ y= 1，贝 U x2+ y2的取值范围是。解析(1)直线 2x + ky 2 = 0 与 x 轴交于点(1,0)。由/x7解得 y=，所以两直线 kx y= 0,2x+ ky2x+ ky 2= 0,k + 2+2 k2= 2 2(当且仅当 k=.2 时取等号)，故三角形面积的最大值为42。(2)由两直线平行可得，a(b 3) 2b=

17、 0，且 5a+ 12 工 0,即232b+ 3a = ab,玄+ b= 1。又 a, b 为正数，所以 2a + 3b= (2a +3b)2= 0 与 x 轴围成的三角形的面积为* 1X2kk2+ 22k+k督+3=13+7 + 13+2寸劈=25,当且仅当a=b=5 时取等号，故 2a+ 3b 的最小值为 25。(3)由已知可得，y= 1 -x,代入 x2+ y2,得 x2+ y2= x2+ (1 - x)2=2x2-2x+ 1 = 2lx-2f+ 2 xqo,1，当 x= 0 或 x= 1 时，取1 12 2得最大值 1，当 x=2 时，取得最小值 2,所以 x2+ y2的取值范围是.,

18、1。解析： 设直线 x + y = 1 与两坐标轴的交点分别为A(0,1),B(1,0),点 P(x,y)为线段 AB 上一点，则 P 到原点 O 的距离为|P0|=：x2+ y2J。；=于，又|P0|0,所以a B均为锐角。由于直线 11,12与 x 轴围成一个等腰三角形,1 4k则有以下两种情况：当a=2B时,tana=tan2 乩有 k =,k1 - 4k22y2k因为 k0,所以 k=；当P=2a时，tan(3=tan2a,有 2k= ,1-R因为 k0,所以 k= 2。故 k 的所有可能的取值为：或2。答案二2或 22.(配合例 2 使用)(1)求过点 A(1,3),斜率是直线 y= 4x 的1斜率的 3 的直线方程；(2)求过 A(2,1), B(m,3)两点的直线 I 的方程。14解(1)设所求直线的斜率为 k,依题意 k= 4x3 = 3。又直线经过点 A(1,3)。4因此所求直线方程为 y