自动控制原理[02][控制系统的数学模型]

1、主讲：童亮内容提要-总纲第一章第一章 控制系统导论控制系统导论第二第二章章 控制系统控制系统的数学模型的数学模型第三第三章章 线性系统线性系统的时域分析法的时域分析法第四第四章章 线性系统线性系统的根轨迹法的根轨迹法第五第五章章 线性系统线性系统的频域分析法的频域分析法2第六第六章章 线性系统线性系统的校正方法的校正方法内容提要-总纲第一章第一章 控制系统导论控制系统导论第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第三第三章章 线性系统线性系统的时域分析法的时域分析法第四第四章章 线性系统线性系统的根轨迹法的根轨迹法第五第五章章 线性系统线性系统的频域分析法的频域分析法3第六第六章章 线

2、性系统线性系统的校正方法的校正方法 了解自动控制系统数学模型的概念 掌握自动控制系统数学模型的建立方法 掌握传递函数的定义和性质 掌握典型环节的传递函数 掌握用微分方程、传递函数、结构图和流程图表征控制系统的基本方法 掌握各种模型表达形式之间的相互转换关系内容提要-章节内容4学习目标学习目标第二章 控制系统的数学模型内容提要-章节内容52.1 控制系统的数学模型2.2 复习拉普拉斯变换2.3 控制系统的复数域数学模型2.4 控制系统的结构图与信号流图第二章 控制系统的数学模型2 控制系统的数学模型6 什么是数学模型什么是数学模型l 工程、控制、数学三者的统一工程、控制、数学三者的统一中学时中学

3、时的函数概念：的函数概念：在在电路电路的学习中对函数概念的理解：的学习中对函数概念的理解：自动控制系统自动控制系统对函数概念的理解：对函数概念的理解：( )yf xxy自变量，因变量xy激励电路系统响应xy控制量控制系统被控制量研究对象的复杂程度加深2 控制系统的数学模型7 什么是数学模型什么是数学模型同样的同样的x和和y，在不同的课程学习中，思维方式发生了，在不同的课程学习中，思维方式发生了变化：变化：l中学时的函数是一个纯数学的概念中学时的函数是一个纯数学的概念l在电路和控制系统中增加了人的因素在电路和控制系统中增加了人的因素可以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题，可可以用数学的方法来

4、解决工程中遇到的实际问题，可以通过自动控制原理课程把数学、工程、控制三者联以通过自动控制原理课程把数学、工程、控制三者联系统一起来系统一起来2 控制系统的数学模型8 什么是数学模型什么是数学模型弹簧：弹簧： y(t) = K F(t)K为弹性系数，为弹性系数，y(t)为位移，为位移，F(t)为为外力外力数学模型数学模型 系统系统运动规律的运动规律的数学描述数学描述，能够，能够描述描述控制系统控制系统输出量输出量和和输入量输入量的的关系关系实际物理系统实际物理系统理想化理想化物理模型物理模型数学化数学化数学模型数学模型线性化线性化线性数学模型线性数学模型标准化标准化标准数学模型标准数学模型2 控

5、制系统的数学模型9 建立数学模型的方法建立数学模型的方法l 分析分析法法：根据系统根据系统内在运动规律内在运动规律及结构参数，按各变量间所遵循的及结构参数，按各变量间所遵循的物理、化学定律物理、化学定律列出数学关系，最终推导出系统输入量和列出数学关系，最终推导出系统输入量和输出量之间的表达式，建立起系统的输出量之间的表达式，建立起系统的数学模型数学模型适用于适用于已知系统内外部特性和运动规律已知系统内外部特性和运动规律的场合的场合。l 实验实验法法：在现场对控制系统在现场对控制系统加入特定的输入信号加入特定的输入信号，采用某些检测仪，采用某些检测仪器对系统的器对系统的输出响应进行测量和分析输出

6、响应进行测量和分析，得到相关实验数据，得到相关实验数据，从而建立系统的数学模型从而建立系统的数学模型通常通常是在对是在对系统结构和特点一无所知系统结构和特点一无所知的情况下而的情况下而采用采用2 控制系统的数学模型10 数学模型的分类数学模型的分类l 微分方程（时间域）微分方程（时间域）l 传递函数（复数域）传递函数（复数域）l 动态结构图（各元件传函的连接关系）信号流图动态结构图（各元件传函的连接关系）信号流图l 响应曲线（响应曲线（stepstep、pulsepulse）l 根轨迹图根轨迹图l 频率特性（频率特性（bodebode图、图、nyquistnyquist图图、nicholsni

7、chols图图）2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立11 建立微分方程数学模型的步骤：建立微分方程数学模型的步骤：1.1. 确定确定输入量、输出量，并根据需要引进一些中间输入量、输出量，并根据需要引进一些中间变量变量2.2. 根据根据物理或化学定律，列出物理或化学定律，列出微分方程微分方程3.3. 消消去中间去中间变量变量4.4. 标准化书写标准化书写，写，写出出系统的输入系统的输入输出输出微分方程微分方程（输出输出项在项在等号左端，输入项在等号右端，按方程的阶次降幂等号左端，输入项在等号右端，按方程的阶次降幂排列）排列）i(t)LRui(t)Cuo(t) trbtrdtdbtrdtdbt

8、rdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn1111011110.12 电阻、电容、电感电阻、电容、电感( (补充补充) )R+)(tui(t)Li(t)(tu+C)(tui(t)+ Rtitu Rtuti dttiCtu1 dttduCti dttdiLtu dttuLti1电压电压-电流电流电流电流-电压电压2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立13【例例】LRC无源网络，写出无源网络，写出输入输入ui(t)与输出与输出uO(t)之间的关系之间的关系2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo t

9、utRidttiCdttdiLi1 dttiCtuo1i(t)LRui(t)Cuo(t)14【例例】质量质量-弹簧阻尼系统，弹簧阻尼系统，F为外力输入，位移为外力输入，位移x为输出，求输为输出，求输入输出关于时间函数的描述。入输出关于时间函数的描述。2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立maFFFFfk22)()()()(dttxdmdttdxftkxtF)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：kxFkdtdxfFf弹簧恢复力与位移成正比弹簧恢复力与位移成正比阻尼器阻力与运动速度成正比阻尼器阻力与运动速度成正比k 弹簧的弹性系数弹簧的弹性系数

10、f 粘滞摩擦系数粘滞摩擦系数15【例例】电枢控制电枢控制直流电机，输入为直流电机，输入为ua，输出为，输出为m，求其关系。，求其关系。2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立aaaaaaEtiRdttdiLtu)()()()(tCEmea)()(tiCtMamm)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma(1) 回路电压：回路电压：(2) 电枢反电势：电枢反电势：(3) 电磁转矩方程：电磁转矩方程：(4) 电机轴上转矩平衡方程：电机轴上转矩平衡方程：Jm

11、 ：电机轴上总的转动惯量fm ： 电机轴上总的粘性摩擦系数16【例例】电枢控制电枢控制直流电机，输入为直流电机，输入为ua，输出为，输出为m，求其关系。，求其关系。2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立)()()()(tMKtuKtdttdTccammmm忽略忽略LaemmamamCCfRJRTJm ：电机轴上总的转动惯量fm ： 电机轴上总的粘性摩擦系数)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamammaemmammCCfRCKemmaacCCfRRKTm :电机时间常数Kc :电机传递系数忽略忽略Ra J

12、m)()(tutCameeC117【例例】减速器减速器2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立2211rr2211MM2121ZZrr12ZZi )(1)()(11212titZZt两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同速比：速比：齿数与半径成正比：齿数与半径成正比：以以1为输入，为输入， 2为输出的微分方程：为输出的微分方程：182.1 线性系统时域模型-微分方程的建立)(1122udtduku23ukuattku ccigigmMkukdtdukdtdT2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立【例例】速度控制系统，输入为速度控制系统，输入为ui，输

13、出为，输出为，求传递关系。，求传递关系。+uau2u1ui负负载载SMTGk1k2功功放放mutcR2R1R1R1R2运放运放1:etiukuuku111)(运放运放2:功放功放:ccammmmMkukdtdT直流电机直流电机:mi1齿轮系齿轮系:测速发电机测速发电机:Mc 负载扰动力矩负载扰动力矩消去消去ut u1 u2 ua m1920严格地说线性系统在实际中不存在，而严格地说线性系统在实际中不存在，而非线性系统非线性系统是普遍是普遍存在的。存在的。弹簧：弹簧：运算放大器：运算放大器：电阻：电阻： tFkty tuktuiO tiRtu一定条件，一定适用范围一定条件，一定适用范围线性系统：

14、可用线性微分方程描述，线性系统：可用线性微分方程描述，符合叠加原理符合叠加原理，用，用自动控制理论解自动控制理论解决控制决控制问题问题非线性系统：非线性系统：非本质非线性：光滑非本质非线性：光滑连续可以局连续可以局部部线性化线性化2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化21定义：定义：有条件（包括缩小研究范围）地把非线性的数学模型化为线性模型来处理的方法意义：意义：用线性控制理论来解决非线性问题的方法线性化条件线性化条件:（1）系统有一个固定的工作点（2）系统正常工作时偏离工作点很小（3）给定的区间内，变量的各阶导数存在数学基础：数学基础：泰勒级数，实现小范围线性化 非线性数学模型的线

15、性化非线性数学模型的线性化2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化22 单输入单输出单输入单输出对于非线性系统，输入对于非线性系统，输入x(t)，输出，输出y = f(x)，给定工作点，给定工作点 y0=f(x0)处各处各阶导数存在。在阶导数存在。在y0=f(x0)附近展开成泰勒级数附近展开成泰勒级数 .!2120220000 xxdxxfdxxdxxdfxfyxx忽略二次以上各项，有忽略二次以上各项，有 000 xxdxxdfxfyx 000 xxdxxdfxfyx xdxxdfyx0几何涵义：用切线代替曲线，曲率越小，偏差取值范围越大。几何涵义：用切线代替曲线，曲率越小，偏差取值范

16、围越大。2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化23 两个输入，一个输出两个输入，一个输出输入输入x1(t)、 x2(t) ，输出，输出y = f(x)，工作点，工作点 y0=f(x10 , x20)处展开成泰勒处展开成泰勒级数，并忽略二次项级数，并忽略二次项20210120102010,xxxfxxxfxxfyxx2211xKxKy2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化24【例例】将将y=x2 在在 x=2 处和处和 x=-1处线性化。处线性化。 000 xxdxxdfxfyx xdxxdf22x44)2(44)2)(2( )2(xxxyyy1x12)1)(2(1)1)(1

17、( )1(xxxyyy2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化25l 只只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是是可以利用可以利用泰勒级数展开泰勒级数展开的的l 实际实际运行情况是在某个平衡点运行情况是在某个平衡点( (即静态工作点即静态工作点) )附附近，近，且变量且变量只能在小范围内只能在小范围内变化变化l 不同不同静态工作点得到的方程是不同静态工作点得到的方程是不同的的l 对于对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足满足泰勒泰勒级数展开的条件，故不能做线性化级数展开的条件，故不能做线性化处理处

18、理l 线性化线性化后得到的是增量后得到的是增量微分方程微分方程 几点注意：几点注意：2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化262.2 复习拉普拉斯变换 傅里叶变换傅里叶变换与拉普拉斯变换用途：与拉普拉斯变换用途：l 是是工程实践中用来求解线性常微分工程实践中用来求解线性常微分方程的简便方程的简便工具工具l 是是建立系统在复数域和频率域的数建立系统在复数域和频率域的数学模型的学模型的数学基础数学基础272.2 复习拉普拉斯变换 傅里叶级数傅里叶级数周期为周期为T的任一周期函数的任一周期函数f(t)，如果，如果满足下面的狄里赫莱条满足下面的狄里赫莱条件：件：（1）在一个周期内有）在一个周

19、期内有有限个间断点有限个间断点（2）在一个周期内有）在一个周期内有有限个极值点有限个极值点（3）绝对可积）绝对可积 则：则：), 2 , 1(,sin)(2), 2 , 1 , 0(,cos)(22/2/2/2/ntdtntfbntdtntfaTTnTTn10)sincos(21)(nnntnbtnaatf其中：其中：282.2 复习拉普拉斯变换 傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式根据欧拉公式：根据欧拉公式：10)sincos(21)(nnntnbtnaatftnjtnetjnsincos2costjntjneetnjeetntjntjn2sin可得：可得： tjnnnectf), 2,

20、 1, 0,2()(122nTdtetfTcTTtjnn（傅里叶级数（傅里叶级数的复数的复数形式）形式）其中：其中：292.2 复习拉普拉斯变换 非正弦非正弦周期函数的展开周期函数的展开非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波tttu0, 10, 1)(展开得：展开得：,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt-11-tuO1) 12sin() 12(4)(ntnntu即：即：302.2 复习拉普拉斯变换tusin4,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt312.2 复习拉普拉斯变换)3sin31(sin4ttu,7sin714,5sin51

21、4,3sin314,sin4tttt322.2 复习拉普拉斯变换)5sin513sin31(sin4tttu,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt332.2 复习拉普拉斯变换)7sin715sin513sin31(sin4ttttu可以看出，不同频率的波可以合成方波可以看出，不同频率的波可以合成方波342.2 复习拉普拉斯变换 傅里叶积分傅里叶积分l 周期函数只要满足狄氏条件，便可展开为傅里叶级数周期函数只要满足狄氏条件，便可展开为傅里叶级数l 傅里叶级数展开说明了周期为傅里叶级数展开说明了周期为T的函数仅包含离散的频率的函数仅包含离散的频率成分，即可由一系列成分，

22、即可由一系列角频率角频率0=2/T为间隔的离散频率所为间隔的离散频率所形成的简谐波合成（求和）形成的简谐波合成（求和）l 当当T越来越大时，越来越大时，0越来越小，当越来越小，当T趋于无穷大时，周期趋于无穷大时，周期函数就变成了非周期函数，其频谱将在函数就变成了非周期函数，其频谱将在w上连续取值上连续取值l 非周期函数可以看成周期非周期函数可以看成周期T趋于无穷大，而趋于无穷大，而角频率角频率0趋于趋于0的周期函数的周期函数l 一个非周期函数将包含所有的频率成分，离散的求和就一个非周期函数将包含所有的频率成分，离散的求和就变成了连续函数的积分变成了连续函数的积分352.2 复习拉普拉斯变换 傅

23、里叶积分傅里叶积分周期周期T很大时，各相邻谐波之差很大时，各相邻谐波之差 =(n+1) 0 -n 0 =0很小，很小，用用替代替代n 0 ，有有 tjectfdtetfcTTtj22)(2tjTTtjedtetftf22)(2)( tjTTtjedtetf22)(21dedtetftftjtj)(21)(0,T362.2 复习拉普拉斯变换 傅里叶变换傅里叶变换dedtetftftjtj)(21)(令令dtetfFtj)()(则则deFtftj)(21)(傅里叶变换对傅里叶变换对372.2 复习拉普拉斯变换 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 dtetfdteetfFtjtjt00)()(令令s = +j

24、 )()(0sFdtetfFst deFetftjt21)( jjsttjdsesFjdeFtf2121)(382.2 复习拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义设设函数函数 f(t)当当 t 0 时时有定义，有定义，设设原函数象函数且且积分存在，则称积分存在，则称F(s)是是f(t)的拉普拉斯变换。简称拉氏变的拉普拉斯变换。简称拉氏变换换。其中。其中s = +j。 dtetftfLsFst0F(s)称为称为 f(t)的的拉氏逆变换。记为：拉氏逆变换。记为： tfLtf1 dtetfsFst0)( jjstdsesFjtf21)(392.2 复习拉普拉斯变换 两个变换的理解两个变换

25、的理解l傅氏变换是的拉氏变换一个特殊情况，傅氏变换的条件苛傅氏变换是的拉氏变换一个特殊情况，傅氏变换的条件苛刻，但具有实际物理刻，但具有实际物理意义意义l是是能进行傅氏变换的函数（或者是信号），一定能分解成能进行傅氏变换的函数（或者是信号），一定能分解成多种正弦函数（信号）的多种正弦函数（信号）的叠加叠加l拉拉氏变换则通过乘上一个指数函数，降低了傅氏变换的氏变换则通过乘上一个指数函数，降低了傅氏变换的要要求求l虽然虽然没有直接物理意义，但却能把微分方程变成代数方程，没有直接物理意义，但却能把微分方程变成代数方程，在没有电脑的时代，大大化简了微分方程的在没有电脑的时代，大大化简了微分方程的求解，

26、逐渐求解，逐渐变变成了一种成了一种计算方法计算方法402.2 复习拉普拉斯变换 几个简单函数的拉氏变换几个简单函数的拉氏变换(1) (1) 单位阶跃函数单位阶跃函数 00011ttt ssedtetLstst11000jsl 阶跃函数阶跃函数 000ttRtf sRseRdteRtfLstst0001(t)t10f(t)tR412.2 复习拉普拉斯变换 几个简单函数的拉氏变换几个简单函数的拉氏变换(2) (2) 单位斜坡函数单位斜坡函数 tttf10f(t)t0jsl 斜坡斜坡函数函数 000ttRttf0f(t)tR 2sRtfL 20200010ssedtsestedttetfLststs

27、tst422.2 复习拉普拉斯变换 几个简单函数的拉氏变换几个简单函数的拉氏变换(3) (3) 指数函数指数函数 ssedtedteetfLtstsstt1000 tetf432.2 复习拉普拉斯变换 几个简单函数的拉氏变换几个简单函数的拉氏变换(4) (4) 单位单位脉冲函数脉冲函数 000111lim0tttttt 100000dttedtetdtetsFssstl 脉冲函数脉冲函数( (强度为强度为A)A) 00011lim0ttttAtAtft AsF442.2 复习拉普拉斯变换 几个简单函数的拉氏变换几个简单函数的拉氏变换(5)(5)正弦正弦 余弦余弦函数函数 2costjtjeet

28、tf22000011212121coscossssjsjsjesjedtedtedtettLtsjtsjtsjtsjst jeettftjtj2sin22000011212121sinsinssjsjjsjesjejdtedtejdtettLtsjtsjtsjtsjst452.2 复习拉普拉斯变换 拉氏变换拉氏变换的性质的性质(1)(1)线性性质线性性质(2)(2)叠加性质叠加性质 sFktfLktfkL sFsFtfLtfLtftfL212121462.2 复习拉普拉斯变换 拉氏变换拉氏变换的性质的性质(3) (3) 微分微分性质性质 .0000021222fsfssFstfdtdLfsfs

29、FstfdtdLfssFtfdtdLnnnnn 00)1()2(nnfsf472.2 复习拉普拉斯变换 拉氏变换拉氏变换的性质的性质(4)(4)积分性质积分性质 nttntttssFdfLssFddfLssFdfL 002000.482.2 复习拉普拉斯变换 拉氏变换拉氏变换的性质的性质(5) (5) 时间平移时间平移(6) (6) 复位复位移移 sFettfLs1 sFtfeLs492.2 复习拉普拉斯变换 拉氏变换拉氏变换的性质的性质(7)(7)初值定理初值定理(8) (8) 终终值定理值定理条件： 在虚轴（除原点）及其右半平面上没有极点。 ssFtfst limlim0 tfssFts

30、limlim0502.2 复习拉普拉斯变换 拉氏变换拉氏变换的性质的性质(9)(9)实数卷积实数卷积 dtffLsFsFt20121 tftfLdtffLt21102512.2 复习拉普拉斯变换例：求例：求 f (t)=e-t sint 的拉氏变换的拉氏变换 sFtfeLs22sinstL22sinsteLs22000011212121sinsinssjsjjsjesjejdtedtejeteteLtsjtsjtsjtsjsttt复位移复位移方法二：方法二：方法一：方法一：522.2 复习拉普拉斯变换 几个简单函数的拉氏变换几个简单函数的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)1t21scos

31、atetsinatet22()sasa22()sa22sate22sssintcos t1s1sa( ) t1( ) t532.2 复习拉普拉斯变换 常用拉氏变换常用拉氏变换 1t st1121st 32121st121!1nstnset121sett22sinst22sinstet22cossst22cossstet2.3 控制系统的复数域数学模型54 线性系统的输入线性系统的输入输出传递函数描述输出传递函数描述弹簧阻尼系统弹簧阻尼系统传递函数传递函数线性定常系统在初始条件为零的情况下，线性定常系统在初始条件为零的情况下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换的比值。输出的拉氏变换与输入的拉氏变换的

32、比值。)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm )()(0002sFsXkxsXsfxxssXsm等式两边同时作拉氏变换等式两边同时作拉氏变换假设初始条件为零假设初始条件为零 )()(2sFsXksXsfsXsm kfsmssFsXsG212.3 控制系统的复数域数学模型55 传递函数的特点：传递函数的特点：l 只有只有线性系统才有此线性系统才有此概念概念l 传递函数传递函数与输入、输出无关，但可由输入、与输入、输出无关，但可由输入、输出描述输出描述l 零零初始条件（线性系统与初始条件无关初始条件（线性系统与初始条件无关）传递函数传递函数线性定常系统在初始条件为零的情况下，线性定

33、常系统在初始条件为零的情况下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换的输出的拉氏变换与输入的拉氏变换的比值比值2.3 控制系统的复数域数学模型56 RLCRLC网络网络i(t)LRui(t)Cuo(t)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo )()(0002sUsUusUsRCuussUsLCiOOOOOO假设初始条件为零假设初始条件为零 )()(2sUsUsUsRCsUsLCiOOO 112RCsLCssUsUsGiO2.3 控制系统的复数域数学模型57l 弹簧阻尼系统弹簧阻尼系统l RLCRLC网络网络)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm kfsmssFs

34、XsG21)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo 112RCsLCssUsUsGiO1kRCfLCm相似系统相似系统 相似变量相似变量 相似相似系统与相似系统与相似变量变量2.3 控制系统的复数域数学模型58 复数阻抗复数阻抗 Rtitu RsIsU RsIsUsG dttiCtu1 dttdiLtu CssIsU1 CssIsUsG1 LssIsU LssIsUsGR+)(tui(t)Li(t)(tu+C)(tui(t)+RZRCsZC1LsZL2.3 控制系统的复数域数学模型59【例例】LRC无源网络，写出输入无源网络，写出输入ui(t)与输出与输出uO(t)之间

35、的关系之间的关系i(t)LRui(t)Cuo(t) 112RCsLCssUsUsGiO复阻抗的串并联等同于电阻复阻抗的串并联等同于电阻的串并联的串并联 11112RCsLCsCsRLsCssUsUsGiOi(t)LsRui(t)1/(Cs)uo(t)2.3 控制系统的复数域数学模型60【例例】试求图中所示试求图中所示RC网络的传递函数网络的传递函数i(t)R1ui(t)uo(t)R2C ZRRsUsUsGiO221111111CsRRCsRCsRZ121212112211RRCsRRCsRRCsRRRR2.3 控制系统的复数域数学模型61【例例】试求图中所示试求图中所示RC网络的传递函数网络的

36、传递函数R1ui(t)C1uo(t)R2C2R1ui(t)C1uo(t)R2C2i(t)i1(t)i2(t) sCRsCsUsUABO222112.3 控制系统的复数域数学模型62R1ui(t)C1uo(t)R2C2ABi(t)i1(t)i2(t)【例例】试求图中所示试求图中所示RC网络的传递函数网络的传递函数1122sCR 1RZZsUsUABABiABsCsCRsCsCRZAB1221221111112122112212122sCRCRCRsCCRRsCR 1121221122121sCRCRCRsCCRRsUsUsUsUsUsUsGiABABOiO2.3 控制系统的复数域数学模型63【例

37、例】试求图中所示试求图中所示RC网络的传递函数网络的传递函数R1ui(t)C1uo(t)R2C2ABi(t)i1(t)i2(t)R1ui(t)C1uo(t)R2C2u1(t)u1(t) 1111222221sCRsCRsCsUsUO 1111111111sCRsCRsCsUsUi 1122112212111sCRCRsCCRRsUsUsUsUsUsUsGiOiO 1121221122121sCRCRCRsCCRRsG比较：比较：2.3 控制系统的复数域数学模型64典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数电位器电位器1( )( )u tKt1maxEK1( )( )( )U sG sKs1211

38、21( )( )(t)K (t)(t)K(t)u tu tu1( )( )( )U sG sKs2.3 控制系统的复数域数学模型651max( )( )K(t)Etu t( )(1)pppplpEu tRRRRRRmaxmaxmax( )( )( )11( )plEtu tRtRtmax( )pptRR典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数电位器电位器2.3 控制系统的复数域数学模型66【例例】求比例积分控制器的传递函数求比例积分控制器的传递函数R1R0uii1- -+ +CR2i2BuO0iiuu典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数有源网络有源网络2.3 控制系统的复数域数学模型67R

39、1R0uii1- -+ +CR2i2BuO0iiuu【例例】求比例积分控制器的传递函数求比例积分控制器的传递函数VuB02.3 控制系统的复数域数学模型68【例例】求比例积分控制器的传递函数求比例积分控制器的传递函数R1R0uii1- -+ +CR2i2BuOR1uii1CR2i2BuO0V21ii VuB02.3 控制系统的复数域数学模型69R1uii1CR2i2BuO0V【例例】求比例积分控制器的传递函数求比例积分控制器的传递函数 CsRCsRZZZsIZsIsUsUsGiO12121122111RZ CsRZ12221ii 110ZsIsUi 220ZsIsUO2.3 控制系统的复数域数

40、学模型70【例例】求比例微分控制器的传递函数求比例微分控制器的传递函数R1R0uii1- -+ +CR2i2BuOR1uii1CR2i2BuO0V1111CsRRZ22RZ 11112112121122CsRRRCsRRRZZZsIZsIsUsUsGiO2.3 控制系统的复数域数学模型71 微分方程推广到高阶系统微分方程推广到高阶系统 tcatcdtdatcdtdatcdtdannnnnn11110.传递函数传递函数 sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm11101110. 0.1110mmmmbsbsbsbsM 0.1110nnnnasasasasN trbtrdt

41、dbtrdtdbtrdtdbmmmmmm11110.G(s)的零点的零点G(s)的极点的极点2.3 控制系统的复数域数学模型72 微分方程推广到高阶系统微分方程推广到高阶系统传递函数的零极点形式传递函数的零极点形式 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110. nmpspspszszszsab.212100njjmiipszsK11zi(i = 0,1, , m)为零点为零点pj(j = 0, 1, , n)为极点为极点K*=b0/a0，传递系数，传递系数(根轨迹增益根轨迹增益)传递函数的零极点可以是实数，也可以是复数传递函数的零极点可以是实数，也可以是复数传递函

42、数的传递函数的零极点表示形式在根轨迹法中使用较多零极点表示形式在根轨迹法中使用较多2.3 控制系统的复数域数学模型73 微分方程推广到高阶系统微分方程推广到高阶系统传递函数的时间常数形式传递函数的时间常数形式njjmiipszsK11zi(i = 0,1, , m)为零点为零点pj(j = 0, 1, , n)为极点为极点K*=b0/a0，传递系数，传递系数(根轨迹增益根轨迹增益)njjjmiiisppszzK111111njjmiisTsK1111njjmiipzKK11* i, Ti时间常数；时间常数；K传递系数或增益传递系数或增益传递函数传递函数的时间表示形式在频率法中使用较多的时间表示

43、形式在频率法中使用较多2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节74 典型环节的数学模型典型环节的数学模型典型环节：运动规律相同，具有相同的数学模型典型环节：运动规律相同，具有相同的数学模型l 比例环节（放大环节）：输出以一定比例复现输入比例环节（放大环节）：输出以一定比例复现输入 tuKty KsUsYsGR1R0ui(t)i1- -+ +R2i2BuO(t) KRRsUsUsGiO122.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节75 典型环节的数学模型典型环节的数学模型l 一阶惯性环节一阶惯性环节 tuKtytydtd 1sKsUsYsG 时间常数；时间常数；K比例系数比例系

44、数输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，可以用可以用 来量度来量度2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节76 典型环节的数学模型典型环节的数学模型l 一阶惯性环节一阶惯性环节 1sKsUsYsGRui(t)Cuo(t)i(t)dttiCtudttiCRtituOi)(1)()(1)()( tuKtytydtd)()()(tutudttduRCiOO 11RCssUsUsGiO77 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节l 一阶一阶惯性环节惯性环节 1sKsUsYsGiO )(

45、1 ttui ssUi1 ssKsUsGsUiO11stL1)( 1seLt1 sFsFtfLtfLtftfL212121Rui(t)Cuo(t)i(t)78 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节l 一阶一阶惯性环节惯性环节 ssKsUsGsUiO11sBsA1sssBAs11ssBsBA1KBBA0KBKA 1111ssKsKsKsUOstL1)( 1seLt1 tOOeKsULtu11Rui(t)Cuo(t)i(t)79 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节l 一阶一阶惯性环节惯性环节 te

46、Kty1 tuKtytydtd )( 1 ttui RCtOetu1Rui(t)Cuo(t)i(t)80 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节l 积分环节积分环节 sKUssY tuKtydtd dttuKty或或 sKsUsYsGK比例系数比例系数 ttu1 ssU1例：例： 2sKsUsGsY KtsYLty10y(t)tu(t)y(t)=Kt81 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节l 积分环节积分环节Rui(t)i1- -+ +Ci2BuO(t) dttuKty sKsUsYsG dtt

47、duCRtuOi dttuRCtuiO1 sRCRCssG11RCK182 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节l 微分环节微分环节 txdtdty 时间常数时间常数纯微分纯微分一阶微分一阶微分二阶微分二阶微分 ssG 1 ssG 1222sssG1 , 0 ttx1 ssX1 ssG sX tty83 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节l 近似微分环节近似微分环节例：例：RC串联电路串联电路Rui(t)Cuo(t)i(t) 11RCsRCsRCsRsG 1TsTssXsYsGT为时间常数为时

48、间常数84 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节l 近似微分环节近似微分环节例：实际的比例微分电路例：实际的比例微分电路R2ui(t)Cuo(t)i(t)R1 sURZRsUiO121111111CsRRCsRCsRZ 11TsTssUsUsGiOCRT1212RRR85 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节l 二阶振荡环节二阶振荡环节弹簧阻尼系统：弹簧阻尼系统： tKutytydtdtydtd2222LRC电路：电路： kfsmssG21 112RCsLCssG振荡环节的微分方程：振荡环节的微

49、分方程：传递函数：传递函数： 1222ssKsXsYsG时间常数形式时间常数形式 2222nnnssKsXsYsG零极点形式零极点形式86 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节l 二阶振荡环节二阶振荡环节87 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.3 控制系统的复数域数学模型-典型环节典型环节l 纯滞后环节纯滞后环节输出信号比输入信号迟后一段时间输出信号比输入信号迟后一段时间 sesXsYsG txty 滞后滞后时间常数；时间常数； 0dtetxsYst 0dexsYs 0dexesYsst sXesYs 对微分方程进行拉氏变换，得到以对微分

50、方程进行拉氏变换，得到以s s为变量的代数方程，为变量的代数方程，方程中的初始值应取系统在方程中的初始值应取系统在t=0t=0时刻的对应时刻的对应值值 求出系统输出变量的求出系统输出变量的表达式表达式 将输出变量的表达式展开成部分分式将输出变量的表达式展开成部分分式( (比较系数比较系数法、留数法法、留数法) ) 对部分分式进行反变换，即得微分方程的对部分分式进行反变换，即得微分方程的解解2.3 控制系统的复数域数学模型 用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤89 控制系统结构图的基本概念控制系统结构图的基本概念2.4 控制系统的结构图与信号流图l 结构图又称

51、为框图、方框图、方块图结构图又称为框图、方框图、方块图l 描述系统各元件间信号传递关系的数学图形描述系统各元件间信号传递关系的数学图形l 结构图给出了信息传递的方向结构图给出了信息传递的方向l 结构图给出了输入输出的定量关系结构图给出了输入输出的定量关系系统或环节系统或环节输入输入输出输出x(t)y(t)G(s)X(s)Y(s) sXsYsG sXsGsY90 结构图的组成结构图的组成2.4 控制系统的结构图与信号流图l 信号线信号线X(s)x(t)u(t), U(s)l 引出点引出点(分支点、测量点分支点、测量点)l 比较点比较点(综合点、相加点综合点、相加点)l 方框（环节）方框（环节）u

52、(t), U(s)u(t), U(s)u(t), U(s)x(t), X(s)b(t), B(s)x(t) b(t)X(s) B(s) G(s)X(s)x(t)Y(s)y(t)91 结构图的建立结构图的建立2.4 控制系统的结构图与信号流图i(t)R1ui(t)uo(t)R2Ci2(t)i1(t) 11ioUsIs RUs 2oUsI s R 2111IsIs RCs 12I sIsIsUi(s)Uo(s)I(s)2RI1(s)I2(s)Cs1RI1(s)11R92 结构图的建立结构图的建立2.4 控制系统的结构图与信号流图R1U1(s)1/C1sU2(s)R2U3(s)1/C2sI1(s)I

53、2(s) sIsCsU2221 sUsURsI23221 sIsIsCsU21131 sUsURsI31111U2(s)sC21I2(s)21RU3(s)sC1111RU1(s)I1(s)93 结构图的建立结构图的建立2.4 控制系统的结构图与信号流图R1U1(s)1/C1sU2(s)R2U3(s)1/C2sI1(s)I2(s) sUsGsU12U2(s)sC21I2(s)21RU3(s)sC1111RU1(s)I1(s)G(s)U1(s)U2(s)94 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图原则：变换前、后的数学关系原则：变换前、后的数学关系(输入量、输出量）保持

54、不变。输入量、输出量）保持不变。U1(s)U2(s)G1(s)U3(s)G2(s)U4(s)G3(s)l 串联方框串联方框 sUsGsU112 sUsGsU223 sUsGsU334 sUsGsGsGsU13214 sUsUsGsGsGsG14321 niisGsG1U1(s)U4(s) sGsGsG32195 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图右图并不是两个惯性环节右图并不是两个惯性环节串联串联其传递函数为其传递函数为l 串联方框串联方框R1ui(t)C1uo(t)R2C2ABi(t)i1(t)i2(t)R1ui(t)C1uo(t)R2C2u1(t)u1(t)

55、 sUsUsGiO1121221122121sCRCRCRsCCRR 11112211sCRsCRsUsUsGiO96 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图G1(s)G2(s)C3(s)G3(s)l 并联方框并联方框 sRsCsG11 sGsGsGsG321 sRsCsCsCsRsCsG321 niisGsG1C2(s)C1(s)R(s)R(s)R(s)R(s)C(s) sRsCsG22 sRsCsG33R(s)C(s) sGsGsG32197 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图l 反馈联接反馈联接 sEsGsC sHsGsGsRs

56、Cs1 R(s)B(s)H(s)C(s)G(s)E(s) sCsHsB sBsRsE sCsHsRsGsC当当H(s)=1时时 sGsGsRsCs1 R(s)C(s)G(s)R(s)C(s) sHsGsG198 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图l 反馈联接反馈联接前向通道：由信号输入点伸向信号引出点的通道。前向通道：由信号输入点伸向信号引出点的通道。反馈通道：把输出信号反馈到输入端的通道。反馈通道：把输出信号反馈到输入端的通道。偏差信号偏差信号 e(t) 反馈信号反馈信号 b(t) 前前向向传递函数传递函数G(s) R(s)B(s)H(s)C(s)G(s)E(

57、s)开环传递函数开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数 sHsGsGsRsC1 sHsGsEsB99 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图l 比较点和引出点比较点和引出点的的移动移动比较比较点点后移后移 21XXsGY规则规则： 变换前和变换后前向通道中的传递函数的乘积保持变换前和变换后前向通道中的传递函数的乘积保持不变不变 变换前和变换后回路中的传递函数的乘积保持不变变换前和变换后回路中的传递函数的乘积保持不变（1）信号比较点的信号比较点的移动和互换移动和互换100 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图（1）信号比较点的移动和互换）信

58、号比较点的移动和互换比较比较点前移点前移 21XXsGY比较比较点互换点互换321XXXY101 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图（2）引出点）引出点的移动和互换的移动和互换引出点引出点后移后移引出引出点前移点前移102 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图（2）引出点）引出点的移动和互换的移动和互换引出点互换引出点互换结构图结构图简化的关键是解除环路与环路的交叉，使之简化的关键是解除环路与环路的交叉，使之分开或分开或形成大环套小形成大环套小环的环的形式形式解除解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。一般交叉连接的有效方法是移

59、动相加点或分支点。一般，相邻，相邻的分支点的分支点和综合点可以彼此和综合点可以彼此交换交换当当分支点与综合点相邻时，它们的位置就不能作简单的分支点与综合点相邻时，它们的位置就不能作简单的交换交换103 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图例：试例：试求多回路系统的闭环传递函数求多回路系统的闭环传递函数104 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图例：试例：试求多回路系统的闭环传递函数求多回路系统的闭环传递函数105 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图例：试例：试求多回路系统的闭环传递函数求多回路系统的闭环

60、传递函数106 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图例：试例：试求多回路系统的闭环传递函数求多回路系统的闭环传递函数107 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图例：试例：试求多回路系统的闭环传递函数求多回路系统的闭环传递函数108 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图例：试对多回路系统进行化简，并求闭环传递函数。例：试对多回路系统进行化简，并求闭环传递函数。109 结构图结构图的等效的等效变换变换2.4 控制系统的结构图与信号流图例：试对多回路系统进行化简，并求闭环传递函数。例：试对多回路系统进行化简，并