2020年高考一轮文数练习：空间中的垂直关系

1、课时规范练A 组基础对点练1如图，在 Rt ABC 中，/ ABC = 90 P为厶ABC 所在平面外一点, PA 丄平面 ABC，则四面体 P ABC 中共有直角三角形个数为（）A . 4B . 3C. 2D . 1解析： 由 PA 丄平面 ABC 可得 PAC, AB 是直角三角形， 且 FA 丄 BC.又/ABC= 90即 ABP ABC 中共有 4 个直角三角形.a,3是两个不同的平面，则能得出a 丄 b 的是（）B.a 丄a,b 丄3 , al 3D.a?a,bI 3, a丄3答案：C3.（2018 兰州诊断考试）设a 3丫为不同的平面，m , n 为不同的直线,贝Um 丄3的一个充

2、 分条件是（）A. a丄3 , aA 3=n,mlnB. aAY=m, a丄Y3丄 丫C.a丄3, 3-L Ym 丄aD.n 丄a ,n 丄3,m a解析：A 不对，m 可能在平面3内，也可能与3平行；B , C 不对，满足条件的 m 和3可能相交，也可能平行；D 对，由 n 丄a, n 丄3可知a/ 3结合 ma知 m 丄3,故选 D.答案：D4.设 a , b , c 是空间的三条直线,a,3是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立 的是（）A .当 C 丄a时，若 C 丄3贝U al 3B .当 b?a时，若 b3,贝U a丄3C.当 b?a,且 c 是 a 在a内的射影时，若 b

3、丄 c ,贝Ua 丄 bD .当 b?a,且 c?a时，若 cl a ,贝UbIc解析：A 的逆命题为：当 C 丄a时，若al 3则 C 丄3由线面垂直的性质知 C 丄3故 A 正确;丄 BC,所以APBC 是直角三角形，且BC 丄平面 FAB,又 FB?平面FAB，所以 BC 丄 FB，即解析:对于 C 项，由al 3a?a可得a/ 3,又 b 丄3,得 a 丄 b,故选 C.BC 为直角三角形，故四面体答案：A2.设 a, b 是两条不同的直线,A.a 丄a,bIIa丄3C.a?a,b 丄3,al3CB 的逆命题为：当 b?a时，若a丄3,贝Ub3,显然错误，故 B 错误；C 的逆命题为：

4、当b?a,且 c 是 a 在a内的射影时，若 a 丄 b,贝 U b c.由三垂线逆定理知 b c,故 C 正确；D的逆命题为：当 b?a，且 C?a时，若 b/C，则c/a由线面平行判定定理可得c/a,故 D 正确。答案：B5.如图， 0是正方体 ABCD AiBiCiDi的底面 ABCD的中心，则下列直线 中与 BiO 垂直的是（）B . AAiD . AiCi解析：连接 BiDi（图略），则 AiCi丄 BiDi,根据正方体特征可得BBiDiD, BiO?平面 BBiDiD，所以 BiO 丄 AiCi.答案：D6.如图，在三棱锥 D ABC 中，若 AB = CB, AD = CD ,

5、E 是 AC 的中点,则下列命题中正确的有 _ （写出全部正确命题的序号）.1平面 ABC 丄平面 ABD;2平面 ABD 丄平面 BCD;C. AiDiBBi丄 AiCi，故 AiCi丄平面平面 ABC 丄平面BDE，且平面 ACD 丄平面 BDE ;解析： 由 AB = CB, AD = CD 知 AC 丄 DE , AC 丄 BE，从而 AC 丄平面 BDE，所以平面 ABC答案：7.如图，PA 丄O0 所在平面，AB 是O0 的直径，C 是O0 上一点，AE 丄 PC,AF 丄 PB,给出下列结论： AE 丄 BC :EF 丄 PB :AF 丄 BC;AE 丄平 面PBC，其中正确的结

6、论有_ .解析：AE?平面 PAC, BC 丄 AC, BC 丄 FA? AE 丄 BC,故正确； AE丄 FC , AE 丄 BC, FB?平面 PBC? AE 丄 FB, AE 丄 FB, EF?平面 AEF? EF 丄 FB,故正确;3AF 丄 PB，若 AF 丄 BC? AF 丄平面 PBC，则 AF /AE 与已知矛盾，故错误；由可知正确.答案：8.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，PA 丄底面 ABCD ,且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_ 时，平面 MBD 丄平面平面 ABC 丄平面 ACD，且平面 ACD 丄平面 BDE.丄平面 BDE，且平面 A

7、CD 丄平面 BDE，故正确.PCD （只要填写一个你认为是正确的条件即可）解析：如图，连接 AC, BD，贝 U AC 丄 BD ,vPA 丄底面 ABCD ,.PA 丄 BD.又 PAAAC = A,BD 丄平面 FAC, BD 丄 PC,当 DM 丄 PC（或 BM 丄 PC）时，即有 PC 丄平面 MBD.而 PC?平面PCD.答案：DM 丄 PC（或 BM 丄 PC 等）9.如图，四棱锥 P ABCD 中，AP 丄平面 PCD , AD / BC, AB =1BC = 2AD , E, F 分别为线段 AD , PC 的中点.求证：（1）AP/ 平面 BEF;BE 丄平面 PAC.证

8、明：（1）设 ACABE = O,连接 OF , EC,如图所示.1 由于 E 为 AD 的中点，AB=BC = 2AD , AD /BC,所以 AE/BC, AE= AB = BC,因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点.又 F 为 PC 的中点, 因此在APAC 中，可得 AP/OF.又 OF?平面 BEF, AP?平面 BEF.所以 AP/平面 BEF.由题意知 ED /BC, ED = BC.所以四边形 BCDE 为平行四边形，因此 BE/CD.又 AP 丄平面 PCD ,所以 APICD，因此 APIBE.因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BE 丄 AC.又 AP

9、AAC = A, AP, AC?平面 PAC ,所以 BE 丄平面 PAC.PCD，平面 MBD 丄平面D10. (2018 唐山统考)已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形，PD 丄底面 ABCD , E 为棱PD 的中点.(1)证明：PB/平面 AEC;若 PD = AD = 2, PB 丄 AC,求点 P 到平面 AEC 的距离.解析：证明：如图，连接 BD，交 AC 于点 F，连接 EF ,B底面 ABCD 为矩形， F 为 BD 中点,又 E 为 PD 中点， EF /PB，又 PB?平面 AEC，EF?平面 AEC， PB /平面 AEC.(2) -.PD 丄平面 AB

10、CD，AC?平面 ABCD，.PD 丄 AC，又 PB 丄 AC，PBAPD = P，.AC 丄平面 PBD，BD?平面 PBD，.AC 丄 BD，四边形 ABCD 为正方形.又 E 为 PD 的中点， P 到平面 AEC 的距离等于 D 到平面 AEC 的距离，设 D 到平面 AEC 的距离为 h，由题意可知 AE = EC= 5，AC= 2 2，SEC=2x2 . 2X3 = . 6，由 VD AEC=VE ADC得1SA1 6 6AECh = SADCED，解得 h=3，点 P 到平面 AEC 的距离为 亏.B 组能力提升练1 如图，正方形 SG1G2G3中，E, F 分别是 G1G2,

11、 G2G3的中点，D 是 EF 与 SG2的交点,现沿 SE, SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使Gi, G2, G3三点重合，重合后的点记为 G,则在四面体 G SEF 中必有（）A . SD 丄平面 EFGB . SE 丄 GFC. EF 丄平面 SEGD . SE 丄 SF解析：对于 A，设正方形的棱长为 2a，则 DG =_22a, SD =32a, SG2 DG2+ SD2, SD 与 DG 不垂直， SD 不垂直于平面 EFG，故 A 错误；对于 B,v在折叠的过程中，始终有SG3丄 G3F , EG2丄 G2F,.SG 丄 GF, EG 丄 GF , SGAEG =

12、G,；GF 丄平面 SEG,vSE?平面 SEG,.SE 丄 GF，故 B 正确；对于 C,AEFG 中，：EG 丄 GF ,.EF 不与 GE 垂直， EF 不 垂直于平面 SEG,故 C 错误； 对于 D， 由正方形 SG1G2G3中， E, F 分别是 G1G2, G2G3的 中点， 得/ ESFZGiSG3=90 ASE 与 SF 不垂直，故 D 错误.故选 B.答案：B2.若 m, n 是两条不同的直线，a,丫是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A .若 m?3 a丄伏贝Um 丄aB .若ad尸 m, 3门尸 n,m/n,贝U a /3C.若 m 3m/ a,贝U a丄3D .若

13、a丄Y,a丄3贝 V3丄Y解析：A 中 m 与a的位置关系不确定，故错误；B 中a, 3可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知 C 正确；D 中3,丫平行或相交，故错误.答案：C3如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱长为 2 , AC = BC= 1, / ACB =90 D 是 A1B1的中点，F 是 BB1上的动点，AB1, DF 交于点 E要使 AB1丄平面 C1DF ,则线段 B1F 的长为（）1A.2B . 13CQD . 24 由 OH AD = OD OA, 且 AD = . OD2+ OA2=宁,由于 AC 丄 ABi，所以i iOA = ?BiC = 2*解

14、析：设 BIF = x,因为 ABi平面 CiDF , DF?平面 CiDF ,所以 ABi DF.由已知可得 AiBi=.2,设 RtAAiBi斜边 ABi上的高为 h，则 DE = gh又 2X2 = h 22+ . 22,所以 h =DE =彳在 RtQBiE 中，BiE =2-二3 2=卡由面积相等得x2+-22=22x, 得 x= g答案：A4.如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 BBiCiC 为菱形，BiC 的中点为 0,且 A0 丄平面BBiCiC.(i)证明：BiC 丄 AB ;若 AC 丄 ABi，/ CBBi= 60 BC = i，求三棱柱 ABC AiBQi的高.

15、解析：(i)证明：如图，连接 BCi，则 O 为 BiC 与 BCi的交点.因为侧面 BBiCiC 为菱形，所以 BiC 丄 BCi.又 AO 丄平面 BBiCiC，所以 BiC 丄 AO，故 BiC 丄平面 ABO.由于 AB?平面 ABO，故 BiC 丄 AB.如图，作 OD 丄 BC，垂足为 D，连接 AD.作 OH 丄 AD，垂足为 H.由于 BC 丄 AO，BC 丄 OD，故 BC 丄平面 AOD，所以 OH 丄 BC.又 OH 丄 AD，所以 OH 丄平面 ABC.因为/CBBi= 60 所以 CBBi为等边三角形,又 BC= i，所以 ODB场B比,21得 OH = 又 O 为

16、BiC 的中点，所以点 Bi到平面 ABC 的距离为一尹.故三棱柱 ABC A1B1C1的高为 圣1.5.(2018 北京东城区模拟)如图，在四棱锥 E ABCD 中，AE 丄 DE , CD 丄平面 ADE , AB 丄平面 ADE , CD = 3AB.(1) 求证：平面 ACE 丄平面 CDE ;(2) 在线段 DE 上是否存在一点 F，使 AF /平面 BCE ?若存在，求出|D 的值；若不存在，说明理由.解析：(1)证明：因为 CD 丄平面 ADE , AE?平面 ADE , 所以 CD 丄 AE.又 AE 丄 DE , CDADE = D ,所以 AE 丄平面 CDE ,因为 AE

17、?平面 ACE, 所以平面 ACE 丄平面 CDE.(2)在线段 DE 上存在一点 F，且 ED = * 使 AF /平面 BCE.设 F 为线段 DE 上一点，且帝=13.过点 F 作 FM /CD 交 CE 于点 M,1连接 BM , AF，贝 U FM = 3CD.因为 CD 丄平面 ADE , AB 丄平面 ADE，所以 CD /AB.又 FM /CD，所以 FM /AB.因为 CD = 3AB，所以 FM = AB.所以四边形 ABMF 是平行四边形, 所以 AF /BM.又 AF?平面 BCE, BM?平面 BCE,所以 AF /平面 BCE.E!)6.如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，FA = PD，/ BAD = 60 E 是 AD 的中点，点 Q 在侧棱 FC 上.(1)求证：AD 丄平面 FBE;若 Q 是 FC 的中点，求证：PA/平面 BDQ ;若 VFBCDE= 2VQABCD，试求 CQ的值.解析：证明：由 E 是 AD 的中点，FA = FD 可得 AD 丄 FE.又底面 ABCD 是菱形，/ BAD = 60 所以