2020年浙江高三数学总复习：对数与对数函数复习讲义

1、第二节对数与对数函数一、对数如果 ax=N(aO,a 工 1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x=logaN.其中 a 叫做底数,N 叫做真数性 质底数的限制 a0,且 a 1复习目标学法指导1.对数与对数运算(1) 对数的概念.(2) 常用对数与自然对数.(3) 对数的运算性质.(4) 对数的换底公式.2. 对数函数及其性质(1)对数函数的概念.对数函数的图象.对数函数的性质.(4)指数函数与对数函数的关系. 会求一些与对数函数有关的简单的 复合函数的定义域、值域、单调 性.(发展要求)1. 通过对数的概念，明确对数来 源于指数,利用指数的知识理解 与掌握对数.2. 在同底的

2、条件下，对数只能进 行加、减运算,注意应用的顺序.3. 掌握对数函数的图象与性质，一定要坚持分类讨论的思想.4. 应用对数函数的性质解决对 数类问题要遵循定义域优先的 原则.*方向比勢力更重要t知识锥眾完善-J和M叶些廣-网络构建-备考方向明确对数式与指数式的互化:a =N? logaN=x负数和零没有对数1 的对数是零:loga1=0底数的对数是 1:logaa=1对数恒等式：alogaN=Nloga(M - N)=logaM+logaNa0,且 az1,M0,N0logaM=logaM-logaNlogaM=nlog?M(n R)公式:logab=gcb(a0,且1;c0,且 c 工 1;

3、b0)logca推广：logambn=logab(a0 且 a 1,b0); logab=j (a0 且1;b0 且 b1)乜拓展细1. 法则理解应用法则 logaM+logaN=loga(M N)时，注意 M0 且 N0,而不能只考虑 到 M-N0,导致增解.2. 与换底公式有关的结论logab - logbc - logcd=logad.二、对数函数1.对数函数的概念、图象与性质概念函数 y=logax(a0,a 工 1)叫做对数函数底数a10a0 且 1)与对数函数 y=logaX(a0 且 1)互为反 函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.:拓區空阿1. 概念理解(1) 对数函数的定

4、义是形式定义，其解析式的特征为系数为 1;次 数为 1;底数 a0 且 az1;真数只能是自变量 x.(2) 对数函数解析式中只有一个参数 a,所以只需已知函数图象上一点 坐标,即可确定一个对数函数.2. 与对数函数图象相关的知识点(1)如图是对数函数y=logax;y=logbx;y=logcx;y=logdX 的图 象,则 a,b,c,d与 1 的大小关系是 0ab1c0 (B)x|x 1(C)x|x 1 (D)x|0 x 1解析:要使得函数 y=应 77 有意义则要满足 fog0,V2IxAO,所以 0 xw1,因此可知函数的定义域为x|0 x 0 且 az1,b 工 1,若 logab

5、1,则( D )(A)(a-1)(b-1)0(C)(b-1)(b-a)0解析:若 a1,则 ba1,此时 D 成立,若 0a1,则 0ba0,且 a 1)的图象经过定点 A,则 A 点坐标是 (C )(A)(0,3) (B)( |,0)33(C)(1,0) (D)(0,1)解析：当 3x-2=1,即 x=1 时,y=loga1=0,故定点 A 为(1,0).4.16、17 世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的 过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发 现了对数与指数的关系，即 ab=N?b=logaN

6、.现在已知 2a=3,3b=4,则 ab=_ .解析:因为 2a=3,3b=4,所以 a=log23,b=log34,所以 ab=log23 log34 二山ln4= =2.ln 2 ln3 ln 2答案:25.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在区间0,+ 乂)上是增函数，若f(1)vf(lg x),贝卩实数 x 的取值范围是_.(A)(a-1)(b-1)0解析：因为 f(x)是偶函数，并且在区间0,+ 乂)上是增函数，log62所以 f(x)在区间(-乂,0上是减函数, 所以由 f(1)1,所以 lg x1 或 Ig x10 或 0 x10 或 0 x10 或 0 xb1,且2logab

7、+logba =19,贝Ulogba=_3解析:logab=,令 logab=t,即 logab=-,所以 logba=3.313所以a3=b,a=b ,所以音=1.b的值是；=log22-=-l(2)lg 4+lg 50-lg 2=lg(4x50-2)=lg 100=2.ab3logba则原方程等价于 t+2=19,解得 t=6 或 t=.t 33由 ab1 可得 0t0,且 1)的图象如图，则下列结论成立的是()(A) a1,b1(B) a1,0b1(C) 0a1(D) 0a1,0b1 (D)0 x 伙21解析：(1)函数 y=loga(x+b)递减,所以 0a1.同时|oga1 b 1b

8、 h 二 ob0pb1,解析:(2)作出 y=10 x,与 y=|lg(-x)|的大致图象,如图.显然 X10,X20.不妨设 X1VX2,则 X1-1X20,所以ioxi=lg(-xi),10 x2=-lg(-x2),此时1OX110X2,即 lg(-xi)v-lg(-x2),由此得 lg(xiX2)0,所以 0 xiX21,故选 D.aa 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其 单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.常将一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.I 迂務城蜒1.

9、(2018 绍兴市柯桥区二模)若 loga2logb20,则(B )(A)0ab1(B)0bab1 (D)ba1解析:loga2logb20,所以 a,b 都小于 1,loga2logb2：聖 lg b =ab,综上 0ba0,得 x3 或 x0,a 无解.所以不存在实数 a,使 f(x)在(-,2)上为增函数.圧 a (1)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的 值域和单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域,所有问题 都必须在定义域内讨论；二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数的 构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.(2)利用对数性质比较大小的解题策略1能化为同底数

10、的对数值可直接利用其单调性进行判断.2既不同底数，又不同真数的对数值，先引入中间量(如-1,0,1 等),再 利用对数函数的性质进行比较.3底数不同，真数相同的对数值，可利用函数图象或比较其倒数大小 来进行.迂移坝坯1.若 f(x)=lg (x1 2-2ax+1+a)在区间(-乂 ,1上递减,则 a 的取值范围为(A )(A)1,2)(B)1,2(C)1,+ 乂)(D)2,+ 乂)解析：根据复合函数单调性知 x (- s ,1时,y=x2-2ax+1+a 单调递减,同时 x2-2ax+1+a0 在(-s,1上恒成立,所以aJ，=1wa0故选 A.2.函数 f(x)=log2 ,x Iog2(4

11、x)的最小值为解析:f(x)=log2x log2(4x)=1log2x (2+log2X),可令 log2X=t,t R,则 y= (2+t)=112+t,当 t=-1 时,函数取到最小值为-1,2此时 x=-.2答案:-1122考点四易错辨析【例 4】(2018 天津卷)已知 a=log2e,b=ln 2,c=log,则 a,b,c 的大23小关系为（D ） (A)abc (B)bac (C)cba (D)cab 解析 :c=logj=log23log2e=a1,即 ca.23又 b=ln 2= 1b.，此时 x 的值所以 cab.故选 D.(1)由于 a 与 c 既不同“底”又不同“真”

12、，所以无法直接比较大小,造成思维受阻；在利用对数函数的单调性比较大小时因函数的单调性判断错误而 致误.:迂穆训练1. 已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c= (A)abc (B)bac (C)acb (D)cabI 严=5”=5心555.法一 在同一坐标系中分别作出函数致图象,如图所示.log43.6.由于 y=5X为增函数.10所以5log23.45叫 5log43.61叭。315l55法二因为3.4,3所以 log3log33.4log23.4.3因为 log43.6log33=1,3所以 log43.6log310log43.6.解析:c=y=log2X,y=log3X,

13、y=log4x 的大由图象知,log23.4log即!og43.6,故 acb.故选 C.3由于 y=5x为增函数.10所以5log2345log735log436.小rlog30.3即5log23.415log43.6,故 acb.故选 C.2.(2018 全国皿卷)设 a=log.20.3,b=log2O.3,则(B ) (A)a+bab0(B)aba+b0 (C)a+b0ab (D)ab0log0.21=0,b=log20.3log21=0,所以 ablog.30.4log0.3仁 0,所以 0vv1,ab所以 aba+b3 的 x 的取值范围是 _ .解析:f(-6)=1+log39=

14、3,因为 log312log39=2,所以 f(log312)=3叭12=4;则 f(-6)+f(log312)=7;当 x3,解得 x 2 时,3X-13,解得X2,所以 f(x)3 的X的取值范围为(-乂 ,-6)U(2,+ 乂).答案:7(- 乂 ,-6)U(2,+ 乂)类型二对数函数的图象及应用解析:函数 y=2log4（1-x）的定义域为（-乂,1）,排除 A,B;函数 y=2log4（1-x）在定义域上单调递减，排除 D.故选 C.5.已知函数 f（x）= 骨拧0,且关于X的方程 f（x）+x-a=0 有且只有一个3, x 0,实根,则实数 a 的取值范围是_ .解析：作出函数 f

15、(x)= ；与函数 y=-x+a的大致图象，由图象可知, 要使方程 f(x)+;-a=0 有且只有一个实根，则 a1.答案：(1,+ 乂)6.若不等式(x-1)2loga；在 x (1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围是_.解析：设 fi(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当 x (1,2)时，不等式(x-1)2logax 恒成立,只需 fi(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f2(x)=logax 图象的下方.当 0a1 时,如图所示，要使 x (1,2)时,f1(x)=(x-1)2的图象在 f2(x)=logaX 的图象下方，只 需 f2) f2(2),即(2-1)

16、2 1.所以 1a 2,即实数 a 的取值范围是(1,2.答案：(1,27.已知XI,X2,X3分别为方程 2X=iog!X,丄=log2X,丄二氏以的根,则I2丿I2丿2_(从小到大排列).由图象知 X1X30,解得X4或X0时,f(x)是增函数；当X2 囲x=2,所以 f(x) lg 2,即最小值为 lg2,故正确.答案:11. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在0,+g)上为增函数,f()=0,则不等式 f(|og1x)0 的解集为_.38解析：因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)=f(|x|),所以 f(log1X)0 二 f(|iog1X|)f(-).8 83因为 f(x)在0,+g)上为增函数，所以 |logx|1,即logx1.3883s3因为log1x=-logsx 二-1log2X,83所以不等式可转化为 log2X1 或 log2x2 或 0VXV1.2答案:(0,寸)U(2,+g)类型四易错易误辨析12. 若 log