五章图像变换

1、电子科技大学电子科技大学 光电信息学院光电信息学院 二一二年二一二年3月月15日日彭真明彭真明E-mail: pengzm_主要内容u图像变换概述图像变换概述u傅立叶变换傅立叶变换u离散余弦变换离散余弦变换u Walsh- Hadamard 变换变换u K-L变换变换u 小波变换小波变换u 图像变换的新方法介绍图像变换的新方法介绍主要内容u图像变换概述图像变换概述u傅立叶变换傅立叶变换u离散余弦变换离散余弦变换u Walsh- Hadamard 变换变换u K-L变换变换u 小波变换小波变换u 图像变换的新方法介绍图像变换的新方法介绍求反运算获得阴图像什么叫图像变换？什么叫图像变换？ 直接灰度

2、变换图像变形什么叫图像变换？什么叫图像变换？ 几何变换图像模糊什么叫图像变换？什么叫图像变换？ 空间滤波什么叫图像变换？什么叫图像变换？ 空间域变换F(x,y) ( , )( ,)T f x yF x yf(x,y)空间域空间域图像变换图像变换变换域变换域空间域几何变换、灰度变换、图像滤波处理等）空间域几何变换、灰度变换、图像滤波处理等）什么叫图像变换？什么叫图像变换？ 频率域频率域频域变换 ( , )( , )T f x yF u v什么叫图像变换？什么叫图像变换？ 什么叫图像变换？什么叫图像变换？ 定义1: 设A是欧氏空间欧氏空间V的一个线性变换,若A保持向量的内积不变,即对于任意的，V都

3、有(A，A) = (，)，则称A为V的正交变换正交变换。什么叫图像变换？什么叫图像变换？ 定理1: 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换,则下列命题等价: 1) A是正交变换。 2) A保持向量的长度不变,即对于V，|A|=|。 3) A把V的标准正交基变为V的标准正交基。 4) A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵正交矩阵.注：由单位向量构成的正交基称为注：由单位向量构成的正交基称为标准正交基。标准正交基。 什么叫图像变换？什么叫图像变换？ 正交矩阵正交矩阵 正交矩阵有以下几种等价定义： 定义定义2.1: 2.1: A为n阶实矩阵,若ATA=E,则称A为正交矩阵。 定义定义2.2:2.2: A为n

4、阶实矩阵,若AAT=E,则称A为正交矩阵。 定义定义2.3:2.3: A为n阶实矩阵,若AT=A-1,则称A为正交矩阵。 定义定义2.4: 2.4: A为n阶实矩阵，若A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵。图像的正交变换图像的正交变换 设有以下图像变换：若变换矩阵T为正交矩阵，则称以上变换为图像的正交变换。12TFP fP若P1、P2为T分离后得到的变换矩阵，则称为可分离正交变换，且P1、P2也为正交矩阵。1fT F1112TfPF P常见的图像变换方法：什么叫图像变换？什么叫图像变换？ F Fourier Transform(傅立叶变换傅立叶变换)F Discrete

5、Cosine Transform (离散余弦变换离散余弦变换)F Walsh Transform (沃尔什变换沃尔什变换)F Hadamard Transform (哈达玛变换哈达玛变换) F Karhunen-Loeve Transform (K-LK-L变换变换)F Wavelet Transform (小波变换小波变换)F 主要内容u图像变换概述图像变换概述u傅立叶变换傅立叶变换u离散余弦变换离散余弦变换u Walsh- Hadamard 变换变换u K-L变换变换u 小波变换小波变换u 图像变换的新方法介绍图像变换的新方法介绍二、傅立叶变换二、傅立叶变换n傅立叶变换提出:n傅立叶（Fo

6、urier） ：法国数学家，1768年生。n1822年出版“热分析理论”，1878年翻译成英文。提出傅立叶级数。n傅立叶级数：周期函数表示为不同频率的正弦和/或余弦和。n傅立叶变换：非周期函数表示为正弦和非周期函数表示为正弦和/ /或余弦乘以或余弦乘以加权函数的积分。加权函数的积分。n逆变换可以重建原函数。n应用:n信号处理等（快速傅立叶变换FFT算法出现）。二、傅立叶变换二、傅立叶变换=+n=0n=1n=2n=3n=4分解（正变换）分解（正变换）合成（逆变换）合成（逆变换）2/2/1,0,jn Njm Nnmeenm2 ()/, , , ,0,1,2.1jxu yvNex y u vNcos

7、sinjej欧拉公式：欧拉公式：1 1、FourierFourier变换的基函数变换的基函数一维基函数：一维基函数：2/,0,1,.,1jn NenN二维基函数：二维基函数：n对函数f(x)进行傅立叶变换得到F(u)n其逆变换，即将F(u)变换到f(t)为： 2jxuF uf x edx 2jxuf xF u edu2.2.一维连续一维连续FourierFourier变换变换nf(x)的傅立叶变换的傅立叶变换F(u) 往往是虚数，可用复数往往是虚数，可用复数形式表示为：形式表示为：n定义幅值为：定义幅值为：n定义相位为：定义相位为： F uR ujI u 22F uRuIu arctanI u

8、uR u2.2.一维连续一维连续FourierFourier变换变换n用幅值和相位来表示傅立叶变换用幅值和相位来表示傅立叶变换nf(x)的能量谱的能量谱(或功率谱或功率谱)： juF uF u e 222P uF uRuIu2.2.一维连续一维连续FourierFourier变换变换n正变换： 12/0( )Njxu NxF uf x en逆变换： 12/01( )Njxu Nnf xF u eN0,1,1xN3.3.一维离散一维离散FourierFourier变换变换0,1,1uNsin(250 )sin(2120 )xtt05101520253035404550-5-4-3-2-10123

9、45Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noisetime (milliseconds)FourierFourier变换和频率域例析变换和频率域例析05101520253035404550-2-1.5-1-0.500.511.52Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noisetime (milliseconds)( );yxrandom t05010015020025030035040045050001020304050607080Frequency content of yfrequency (Hz)0501

10、0015020025030035040045050001020304050607080Frequency content of yfrequency (Hz)信号的（功率谱）频谱信号的（功率谱）频谱FourierFourier变换和频率域例析变换和频率域例析( )( ( )F uf xF( )( ( )F uf yF含噪信号的（功率谱）频谱含噪信号的（功率谱）频谱n对于二维信号，定义为： 4.4.二维连续二维连续FourierFourier变换变换dxdyeyxfvuFvyuxj)(),(),( 2 dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),( n正变换：n逆变换： 1010)/(2),

11、(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF 1010)/(2),(),(MxNyNvyMuxjevuFyxf 5.5.二维离散二维离散FourierFourier变换变换n正变换：n逆变换：同样有： 频谱(幅度): 相位角: 功率谱(能量谱):21 22 ),(),( ),( vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu),(),( ),( ),(222 vuIvuRvuFvuP5.5.二维离散二维离散FourierFourier变换变换E/2-/2f(t)t6.6.空间域与频率域的关系空间域与频率域的关系一维一维(1D)(1D)变换结果：变换结果： 其它022xE

12、xf sinuF uEu 二维二维(2D)(2D)变换结果：变换结果：6.6.空间域与频率域的关系空间域与频率域的关系图像图像 f(x,y)的的功率谱功率谱|F(u,v)|2=F(u,v)F*(u,v)6.6.空间域与频率域的关系空间域与频率域的关系u傅立叶谱：傅立叶谱： |F(u,v)|=R2(u,v)+I2(u,v)1/2u相位相位: (u,v)= arctan(I(u,v)/R(u,v)(xF)(xF6.6.空间域与频率域的关系空间域与频率域的关系幅度谱告诉我们图像中某种频率的成份有多少。相位谱告诉我们频率成份位于图像的什么位置。F 平移特性平移特性F 旋转特性旋转特性F 尺度变换（缩放

13、）尺度变换（缩放）F 周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性F 统计特性统计特性( (平均值平均值) )F 可分离性可分离性F 卷积定理卷积定理F 相关定理相关定理7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质平移特性平移特性7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质NvyxujevuFyyxxfvuFyxf/ )(20000),(),(),(),( ),(),(00/ )(200vvuuFeyxfNyvxuj 空域空域频域频域平移特性平移特性7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质yxyxjNyvxujeeNvNu ) 1(2/2/)(/ )(20000 ) 2/, 2/() 1)(,()(NvNuF

14、yxfyx 平移特性平移特性7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质原图原图频谱频谱(0值未平移值未平移)频谱频谱(0值移到中心值移到中心)平移性质平移性质7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质3D频谱频谱(0值未平移值未平移)3D频谱频谱(0值移到中心值移到中心)7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质),(),(),(),(00 kFrfkFrf旋转性质旋转性质空域图像旋转角度空域图像旋转角度对应于频域对应于频域DFTDFT函函数旋转相同角度。数旋转相同角度。7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质( , )( , )1(,)(, )|af x yaF u vu vf ax byFaba

15、 b尺度变换特性尺度变换特性7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质(,)( , )F uaN vbNF u vf(x,y)、F(u,v)都是以都是以N为周期的离散函数。为周期的离散函数。(,)( , )f xaN ybNf x y周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.500.20.40.60.811.2-15-10-5051015-0.4-0.200.20.40.60.817.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性|),(|),(),(),(),(),(),(),(*vuFvuFvuFvuFvuFyxfvu

16、FyxfF(0, 0)置于谱方阵置于谱方阵的中心，其余各行的中心，其余各行各列的谱对中心都各列的谱对中心都是共轭对称的是共轭对称的。因此，DFT变换只需求半个周期内的值便可得到整个周期值。 7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质统计特性统计特性(平均值平均值) 10102),(1),(NxNyyxfNyxf)0, 0(),(Fyxf f(x,y) F(u,v) F(0,0) 可分离性可分离性7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质卷积定理卷积定理7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfvuGvuF

17、yxgyxfvuGyxgvuFyxf即: 空间域的卷积运算对应频率域的乘积运算； 频率域的卷积运算对应空间域的乘积运算。相关定理相关定理7.7.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质),(),(*),(),(vuGvuFyxgyxf*( , ) ( , )( , )( , )fx y g x yF u vG u v即：空间域的相关运算对应频率域的乘积运算； 频率域的相关运算对应空间域的乘积运算。主要内容u图像变换概述图像变换概述u傅立叶变换傅立叶变换u离散余弦变换离散余弦变换u Walsh- Hadamard 变换变换u K-L变换变换u 小波变换小波变换u 图像变换的新方法介绍图像变换的新方法介绍

18、n为为FT的特殊形式，被展开的函数是实偶函数的的特殊形式，被展开的函数是实偶函数的傅氏变换，即只有余弦项。傅氏变换，即只有余弦项。n变换核固定，利于硬件实现。变换核固定，利于硬件实现。n计算复杂度适中，有快速算法计算复杂度适中，有快速算法FCT (类似类似FFT)。n可分离特性，一次二维变换可分解为两次一维可分离特性，一次二维变换可分解为两次一维变换变换三、离散余弦变换（三、离散余弦变换（DCTDCT）10102)12(cos2)12(cos),()()(),(NuNvcNvyNuxFycxcyxf正变换：正变换：反变换：反变换：NyvNxuyxfvcucvuFNxNyc212cos212co

19、s,)()(,1010其中：其中：11201)(NkNkNkc三、离散余弦变换（三、离散余弦变换（DCTDCT）三、离散余弦变换（三、离散余弦变换（DCTDCT） 原图原图 DCT系数系数 三、离散余弦变换（三、离散余弦变换（DCTDCT） 原图原图 DCT系数系数 2211( , ),( , )jux Njvy NP u xeQ y veNNn图像变换的矩阵表示法图像变换的矩阵表示法三、离散余弦变换（三、离散余弦变换（DCTDCT）,*,( , )( , ) ( , ) ( , )( , )( , ) ( , )( , )x yu vF u vP u x f x y Q y vf x yP

20、x u F u v Q v y则有：则有：令令 ( , ), ( , ) ( , ), ( , )N NN NN NN NFF u vff x yPP u xQQ y v令 *,FPfQfP FQ三、离散余弦变换（三、离散余弦变换（DCTDCT） 一般地，若P是正交矩阵(酉矩阵)，则称：是图像的正交变换。 注意到矩阵乘法的定义，可知：TFPfP122cosN NujPNNn从理论推导可知，余弦变换是一种“特殊的”傅立叶变换，令：三、离散余弦变换（三、离散余弦变换（DCTDCT）n故,离散余弦变换(DCT)可表示为： TDCTfPfPA = im2double(imread(rice.png);

21、imshow(A)；P = dctmtx(size(A,1);dct = P*A*P;figureimshow(dct);三、离散余弦变换（三、离散余弦变换（DCTDCT）A = imread(rice.png);imshow(A);dct = dct2(A); figureimshow(log(abs(dct),); colormap(jet(64);colorbar注：任意矩阵求注：任意矩阵求DCT注：方阵求注：方阵求DCT三、离散余弦变换（三、离散余弦变换（DCTDCT）三、离散余弦变换（三、离散余弦变换（DCTDCT）n 8x8 DCT变换矩阵Matlab中中,可用可用dctmtx(8

22、)求出。求出。 0.3536 0.3536 0.3536 0.3536 0.3536 0.3536 0.3536 0.3536 0.4904 0.4157 0.2778 0.0975 -0.0975 -0.2778 -0.4157 -0.4904 0.4619 0.1913 -0.1913 -0.4619 -0.4619 -0.1913 0.1913 0.4619 0.4157 -0.0975 -0.4904 -0.2778 0.2778 0.4904 0.0975 -0.4157 0.3536 -0.3536 -0.3536 0.3536 0.3536 -0.3536 -0.3536 0.3

23、536 0.2778 -0.4904 0.0975 0.4157 -0.4157 -0.0975 0.4904 -0.2778 0.1913 -0.4619 0.4619 -0.1913 -0.1913 0.4619 -0.4619 0.1913 0.0975 -0.2778 0.4157 -0.4904 0.4904 -0.4157 0.2778 -0.0975主要内容u图像变换概述图像变换概述u傅立叶变换傅立叶变换u离散余弦变换离散余弦变换u Walsh- Hadamard 变换变换u K-L变换变换u 小波变换小波变换u 图像变换的新方法介绍图像变换的新方法介绍Walsh变换上节介绍的F

24、FT、DCT都属于正弦型变化，其变换核函数都是正弦函数型的。还有几种常用于数字图像处理的变换，它们的基函数不是正弦型函数，而是方波的各种变形，通常，这些变换计算速度都很快。沃尔什(Walsh)变换，是由+1和-1两个数值的基本函数的级数展开而构成的，它也满足正交特性。由于Walsh函数是二值正交函数，与数字逻辑中的两个状态相对应，因而很适合计算机处理。1D-Walsh变换沃尔什变换是一种可分离变换。当N = 2n时，变换核为： 10)( )(1) 1( 1),(niubxbiniNuxg离散沃尔什变换W(u)为： 1010)( )(1)1( )(1)(NxniubxbinixfNuWbk(x)

25、是x的二进制表达中的第k位。例如n = 3，则对x = 7（111），有b0(x) = 1，b1(x) = 1，b2(x) = 1。 对于N = 2、4、8，Walsh变换核矩阵分别为：1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111818H可以看出，Walsh变换核是一个对称矩阵，其行和列是正交的。1111212H1111111111111111414H核矩阵1010)( )(1)1( )(1)(NxniubxbinixfNuW由：可得：)3()2()1()0(41)0(ffffW)3()2()1()0(41)1

26、(ffffW)3()2()1()0(41)2(ffffW)3()2()1()0(41)3(ffffW可见，沃尔什变换本质上是将离散序列f(x)的各项值的符号按照一定规律改变，进行加减运算，因此，它的运算速度相当快。例：N=4的1D-Walsh变换沃尔什正、反变换核只相差1/N这个常数项，因此，计算沃尔什正变换的算法可以直接用来求反变换。10)( )(1) 1(),(niubxbiniuxh沃尔什反变换核为：沃尔什反变换定义为：Walsh反变换二维沃尔什正变换核和反变换核由以下二式给出： 10)( )()( )(11)1(1),(nivbybubxbiniiniNvuyxg10)( )()( )

27、(11)1(1),(nivbybubxbiniiniNvuyxh这两个变换核完全相同，所以下面给出的二维沃尔什正变换和反变换也具有相同形式： 101010)( )()( )(11) 1( ),( 1),(NxNynivbybubxbiniiniyxfNvuW2D Walsh变换可分离性沃尔什变换核是可分离的： 10)()(10)()(212111)1(1)1(1),(),(),(),(),(nivbybniubxbiniiniNNvyhuxhvyguxgvuyxg因此，二维沃尔什变换可以分成两步一维沃尔什变换进行。二维沃尔什变换矩阵表示为：GfGNW21二维沃尔什反变换矩阵表示为：GWGf 下

28、图给出n = 4时沃尔什基本函数的图示，其中白色表示1，而阴影表示 1。 010123uv2301230123yx2D Walsh变换基本函数例：N=4二维沃尔什变换(1)1331133113311331f1111111111111111G图像矩阵：变换核矩阵：二维沃尔什变换：000000000000100212GfGNW1111111111111111f1111111111111111G图像矩阵：变换核矩阵：2D Walsh 变换：000000000000000112GfGNW由上述两个例子可以看出， Walsh变换具有能量集中性质，图像越均匀，能量越集中，因此Walsh变换也可用于图像压缩

29、。例：N=4,2D Walsh变换(2)哈达玛(Hadamard)变换本质上是一种特殊排列的沃尔什变换，因此经常被称作沃尔什-哈达玛变换(DWT-DHT)。由于它的变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以用低阶矩阵求得，因此应用比沃尔什变换更为广泛。最小阶(N = 2)的哈达玛矩阵是： 11112H用HN代表N阶哈达玛矩阵，下式给出计算高阶哈达玛矩阵的迭代关系： NNNNNHHHHH2Walsh-Hadamard变换1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111818H1111212H111111111111

30、1111414H2、4、8阶Hadamard矩阵二维哈达玛正变换核和反变换核：10 )( )()( )( )1(1),(niiiiivbybubxbNvuyxg10 )( )()( )( )1(1),(niiiiivbybubxbNvuyxh二维哈达玛正变换核和反变换核都是可分离的和对称的，并且具有相同形式。因此二维哈达玛变换正变换和反变换也具有相同形式： 1010 )( )()( )( 10) 1)(,( 1),(NxNyvbybubxbniiiiiyxfNvuH 1010 )( )()( )( 10) 1)(,( 1),(NuNvvbybubxbniiiiivuHNyxfHadamard变

31、换数学表达0112323001231230yxuv例：4阶Hadamard变换基本函数以8阶哈达玛矩阵为例：矩阵右边的一列数表示相应的矩阵行的符号变换次数，注意，每一行的这个数都是不同的。这种符号的变化次数被称为这一行的列率(sequency)。526143701111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111818H列率(sequency)将哈达玛变换核矩阵的行重新排序，使得各行的列率递增。这样就产生了有序哈达玛变换核矩阵：7654321011111111111111111111111111111111111111

32、11111111111111111111111111818H有序Hadamard变换主要内容u图像变换概述图像变换概述u傅立叶变换傅立叶变换u离散余弦变换离散余弦变换u Walsh- Hadamard 变换变换u K-L变换变换u 小波变换小波变换u 图像变换的新方法介绍图像变换的新方法介绍四、四、K-LK-L变换变换 Karhunen-Loeve (K-L)变换是建立在统计特性基础上的一种变换，也称为霍特林（Hotelling）变换，因他在1933年最先给出将离散信号变换成一串不相关系数的方法。K-L变换的突出优点是均方误差(Mean Square Error, MSE)意义下的最佳变换。因

33、此，在数据压缩技术中占有重要地位。 1niiiXyTnTnyyyYxxxX,.,.,2121假定假定:是两个是两个n维随机向量。维随机向量。四、四、K-LK-L变换变换正交矩阵正交矩阵11()mniiiiii mX mybnmyyyYTm,.,21四、四、K-LK-L变换变换若用若用来表示来表示X, 即即则与则与精确表示精确表示存在误差。即存在误差。即1niiiXy1( )( )()niiii mX mXX myb 221()()Tniii mmEXmX mE yb如何取如何取bi , i = m+1,n和和 i , i=1,2, ,n，使使均方差最小均方差最小? ?四、四、K-LK-L变换变

34、换均方差：均方差：四、四、K-LK-L变换变换我们可以：我们可以： ,1,.,TiiibE yE Ximn i 取为取为X的协方差矩阵的协方差矩阵Cx的特征向量。的特征向量。nm .21Cx特征值特征值Hotelling变换变换 由于由于 i从大到小排列，从从大到小排列，从m+1到到n的特的特征值和是最小的。选征值和是最小的。选取取Y方差最大的前方差最大的前m个分量表示原输入信号个分量表示原输入信号X。即。即四、四、K-LK-L变换变换TYXnX的协方差矩阵记作：TxCEXXXXn式中：12,.,NXE XXXXxiiiC四、四、K-LK-L变换变换 代表均值向量，则存在如下关系式：n图像的K

35、-L变换YA XE XxC AA四、四、K-LK-L变换变换A为一个正交变换矩阵(MM)，且满足：其中，CX为图像X的协方差矩阵，为特征值，且1200Mnmiim12 min)(n求图像向量求图像向量X的的K-L变换，就是求图像协方差矩变换，就是求图像协方差矩阵阵Cx的特征向量的特征向量 i，也称也称特征向量变换特征向量变换。 n变换后变换后M个个yi分量恢复图像分量恢复图像X的估计的估计估计值误差估计值误差nK-L变换的输出误差最小准则等价于取方差最大变换的输出误差最小准则等价于取方差最大的成分逼近，所以该最佳准则又称的成分逼近，所以该最佳准则又称方差准则方差准则。 miiiymX1)( 四

36、、四、K-LK-L变换变换nK-L变换有时也叫主成分分析（Principal component analysis，PCA）是图像变换中具有最佳性质的一种，常作为标准用来衡量其他变换性能的好坏。n缺点：不利于硬件实现，软件运算量大，没有快速算法。四、四、K-LK-L变换变换n主要用途：四、四、K-LK-L变换变换数据压缩（图像压缩）特征优化模式识别（如人脸识别）四、四、K-LK-L变换变换original imageR imageG imageB imageNo.1 feature imageNo.2 feature imageNo.3 feature imagefull reconstruc

37、t imagesonly one feature is used主要内容u图像变换概述图像变换概述u傅立叶变换傅立叶变换u离散余弦变换离散余弦变换u Walsh- Hadamard 变换变换u K-L变换变换u 小波变换小波变换u 图像变换的新方法介绍图像变换的新方法介绍五、五、Wavelet TransformWavelet Transform 小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪合。从数学来说是大半个世纪“调和分析调和分析”的结晶的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。（包括傅里叶分析、函数空间等）。 小波变换是小

38、波变换是2020世纪最辉煌科学成就之一。在世纪最辉煌科学成就之一。在信号处信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探震勘探、流体力学、电磁场、流体力学、电磁场、CTCT成象、机器视觉、故成象、机器视觉、故障诊断、分形、数值计算障诊断、分形、数值计算等已有重大突破。随着小波等已有重大突破。随着小波分析在理论上的不断发展，其应用领域也在不断拓展。分析在理论上的不断发展，其应用领域也在不断拓展。 小波变换具有良好的局部时频聚焦特性，而被称为小波变换具有良好的局部时频聚焦特性，而被称为“数学显微镜数学显微镜”。五、小波变换五、小波变换(Wa

39、velet Transform)(Wavelet Transform)n傅立叶变换的不足：五、小波变换五、小波变换(Wavelet Transform)(Wavelet Transform)n傅立叶变换的不足：用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。tf(t)时间时间振幅振幅WtF(u)时间时间频率频率n加窗傅立叶变换(Window Fourier Transform)五、小波变换五、小波变换(Wavelet Transform)(Wavelet Transform)五、小波

40、变换五、小波变换(Wavelet Transform)(Wavelet Transform)nWindow Fourier Transform注：分析中，一般要取小时窗，因此也叫短时傅立叶变换注：分析中，一般要取小时窗，因此也叫短时傅立叶变换(Short-time fourier transform, STFT)。nShort Time Fourier Transform(STFT)nGabor transform(1946)nWigner-Ville Distribution (WVD) 2()2( ,)tjG teexd*1,/2/22jgWtg tgted ( , )jG tw texd

41、五、小波变换五、小波变换(Wavelet Transform)(Wavelet Transform)n窗口函数窗函数五、五、Wavelet TransformWavelet TransformnGabor transform(1946) (1900 - 1979) 22( ,)tjG teexd Gabor变换是为了提取信号Fourier变换的局部信息，使用了一个Gauss函数作为窗函数。 它属于加窗傅立叶变换，Gabor函数可以在频域不同尺度、不同方向上提取相关的特征。 *1,/2/22jgWtg tgted五、五、Wavelet TransformWavelet TransformnWig

42、ner-Ville Distribution (1902-1995) 在Wigner-Ville 分布中使用解析解析信号信号g(t)而不是原实际信号x(t)的优点在于: 第一,解析信号的处理中只采用频谱正半部分,因此不存在由正频率项和负频率项产生的交叉项； 第二,使用解析信号不需要过采样,同时可避免不必要的畸变影响。五、五、Wavelet TransformWavelet TransformnWigner-Ville Distribution 五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn如输入信号为：cos() , 010( )cos(3) ,1020cos(

43、5) , 2030ttf ttttt GaborWDFtime (sec)frequencyWDF-10-8-6-4-20246810-10-8-6-4-20246810time (sec)frequencyGabor-10-8-6-4-20246810-10-8-6-4-20246810五、五、Wavelet TransformWavelet Transform“小波小波”（wavelet)wavelet)就是一种就是一种“尺度尺度”很小的波动，并很小的波动，并具有时间和频率特性。具有时间和频率特性。 时间A时间Bn什么是小波？什么是小波？ 五、五、Wavelet TransformWave

44、let Transform小波函数必须满足以下两个条件的函数：小波必须是振荡的；(1) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局部化的。如：图1 小波例1图2 小波例2五、五、Wavelet TransformWavelet Transform不符合小波特点的例子图4图3五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn什么是小波？ 小波基表示发生的时间和频率小波基表示发生的时间和频率“时频局域性” 图解：Fourier变换的基(上)小波变换基(中)和时间采样基(下)的比较时间采样基时间采样基小波基小波基Fourier基基)(1)()()(),(,abxax

45、dxxxfbaWbabaf五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn连续小波变换的数学表达式 02,)(),(1)(adadbxbaWCxfbaf五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn连续小波变换示意图连续小波变换示意图小波 (t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较 .计算系数C该部分信号与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相似程度越高.小波右移k得到的小波函数为 (t-k) ，然后重复步骤1和2，直到信号结束 .扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为 (t/2) 重复步骤14 .n1822年Fourier变换,

46、在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。n函数,时域定位完全准确，频域无任何定位能力n1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。n1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编码(subband coding),多采样率滤波器组(multirate sampling filter bank).n1910年Harr提出规范正交基。n1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波函数的存在。n1984年,Morlet提出了连续小波。n1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出离散的小波基。n1986

47、年,Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基，证明了小波的自正交性。n1987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。n1988年,Daubecies在NSF/CBMS的小波专题研讨会进行了讲座。小波分析发展简史小波分析发展简史 小波基（小波基（尺度函数尺度函数和和小波函数小波函数）可以通过给定滤波系）可以通过给定滤波系数生成。数生成。 有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是对称的，有的是非对称的。是对称的，有的是非对称的。 小波的小波的近似系数近似系数和和细节系数细节系数可以通过滤波系数直接导可

48、以通过滤波系数直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这是出，而不需要确切知道小波基函数，这是 Daubechies 等的重要发现，使计算简化，是快速小波分解和重建的基等的重要发现，使计算简化，是快速小波分解和重建的基础。础。0123456-1010123456-1010123456-101f=sin(t), a=1f=sin(2t),a=1/2f=sin(4t),a=1/4f=(t), a=1f= (2t),a=1/2f= (4t),a=1/4v时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行移动，如图所示。u尺度函数(Scaling function, , phiphi) 父小波函数；父小波函数；

49、 近似空间（低频）；近似空间（低频）；u小波函数(Wavelet function, psi) 母小波函数；母小波函数； 细节空间（高频）细节空间（高频） xxjkjk,构成Vj+1的正交基。 xx和满足下列关系式（二尺度方程）： 222211n Zn Znxl nxnxh nxnl nh nh nln其中称为低通滤波器，称为高通滤波器。且五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn离散小波变换中的(x)与(x) 五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn部分小波函数部分小波函数(x)及其尺度函数及其尺度函数(x)基函数和滤

50、波系数基函数和滤波系数(Haar) “近似”基函数“细节”基函数分解低通滤波器分解高通滤波器重构低通滤波器重构高通滤波器Lo_D= 0.7071 0.7071Hi_D =-0.7071 0.7071Lo_R= 0.7071 0.7071Hi_R =0.7071 -0.7071 基函数和滤波系数基函数和滤波系数(db4-正交正交,不对称不对称 )基函数和滤波系数基函数和滤波系数(sym4-正交,近似对称)基函数和滤波系数基函数和滤波系数(bior3.7双正交，对称)n信号的多尺度分解： 011122JJJjJnkkkkn Zkjkjjkkjjkkn Zjjkkn Zf xcxncxdxcdccl

51、 nkMattlatddh nk称为尺度系数，称为小波系数，它们的计算：一维 算法五、五、Wavelet TransformWavelet Transform五、五、Wavelet TransformWavelet Transform一级分解一级分解harr五、五、Wavelet TransformWavelet Transform二级分解二级分解harr四级分解四级分解harr五、五、Wavelet TransformWavelet Transform2D小波变换是由1D小波变换扩展而来的，2D尺度函数和2D小波函数可由1D尺度函数和小波函数张量积得到，即： ;LLLHHLHHxxyxxyx

52、xyxxy图像的2D小波变换包括沿行向(水平方向)和列向(垂直方向)滤波和2-下采样。五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn二维多尺度分析：五、五、Wavelet TransformWavelet Transform图像的小波变换（一级分解）图像的小波变换（一级分解）垂直细节水平细节近似图象对角细节图像的小波分解图像的小波分解( (金字塔分解金字塔分解) )小波基函数一览p wavemngr(read) ; %读取小波函数名及相关信息。五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn几个Matlab函数dwt()dwt()函

53、数函数dwt()dwt()函数函数idwt()idwt()函数函数wcodemat()wcodemat()函数函数dwt2()dwt2()函数函数idwt2()idwt2()函数函数wavedec2()wavedec2()函数函数示例示例1 1：2D2D图像的小波分解图像的小波分解示例示例2 2：图像的：图像的2 2级小波分解级小波分解五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn超小波(Beyond Wavelet)分析技术 Curvelet 曲波 Ridgelet 脊波 Bandelet 带波 Beamlet 束波,小线波 Wedgelet 楔波 Surfa

54、celet 面小波 Directionlet 方向波方向波 Contourlet 轮廓波轮廓波 Shearlet 剪切波剪切波多尺度几何分析多尺度几何分析.主要内容u图像变换概述图像变换概述u傅立叶变换傅立叶变换u离散余弦变换离散余弦变换u Walsh- Hadamard 变换变换u K-L变换变换u 小波变换小波变换u 图像变换的新方法介绍图像变换的新方法介绍六、近期新的变换方法六、近期新的变换方法n分数阶傅立叶变换 Fractional Fourier Transform (FrFT):nS变换 Stockwell 变换变换n19291980 早期未被人们重视的研究。n1980年，V.Na

55、mias 从特征值和特征函数的角度提出了分数阶傅立叶变换的概念。定义为传统傅立叶变换的分数幂形式。n1994年， L.B.Ameida将分数阶傅立叶变换解释为时频面上的坐标轴旋转。1 1、分数阶傅立叶变换、分数阶傅立叶变换n简介：-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4wF(w)0-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6wF(w)/2FT0.1 FT?n问题提出：1 1、分数阶傅立叶变换、分数阶傅立叶变换1 1、分数阶傅立叶变换、分数阶傅立叶变换n定义一：信号的p阶FRFT是一个线性积分运算，

56、即：( )( , ) ( )ppF s uKt u s t dt221cotexpcot,22sin( , )(),2(),(21)pjtutujjnKt utuntun其中：tuv1 1、分数阶傅立叶变换、分数阶傅立叶变换n定义二：cossinsincosutvw ,2pp其中：称为阶数。tuv1 1、分数阶傅立叶变换、分数阶傅立叶变换n物理意义：FT: 时间域时间域 频率域频率域FrFT: 时间域时间域 分数域分数域 注注: 分数域分数域介于时间域和频率介于时间域和频率域之间。部分像时间，部分像域之间。部分像时间，部分像频率。频率。 某一角度某一角度下的下的FrFT等效于顺时针旋转等效于顺

57、时针旋转角度下角度下的的Gabor 变换，即变换，即 FRFT( ) = with angle n物理意义：,cossin , sincosXxGu vGuvuv1 1、分数阶傅立叶变换、分数阶傅立叶变换因此：因此：-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4wF(w)-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4wF(w)-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4wF(w)00.010.2-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.8

58、11.21.41.6wF(w)/ 2-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6wF(w)-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6wF(w)/ 43 /41 1、分数阶傅立叶变换、分数阶傅立叶变换)cotexp(cot1)(2iiFrFT1 1、分数阶傅立叶变换、分数阶傅立叶变换FrFT of a Delta Function22exp( 2)1tanexp(tan2sectan)FrFTiii 1 1、分数阶傅立叶变换、分数阶傅立叶变换FrFT of a Sine Function22ex

59、p( 2)1tanexp(tan2sectan)FrFTiii 1 1、分数阶傅立叶变换、分数阶傅立叶变换FrFT of a Sine Functionn1996年，Stockwell等人，首次提出的一种新的时频分析方法Stockwell 变换(简称S变换)，它是非平稳信号时频分析的有力工具。n2003年，高静怀(西安交大)、Pirmegar等人采用广义高斯窗代替高斯窗，提出广义S变换。2 2、S S变换变换n简介：2 2、S S变换变换n特点：S变换是一种介于STFT和WT之间的时频分析方法，它与STFT和WT既有密切联系又具有不同的特点。(1)变换结果是一个时间局部谱，克服了STFT不能调

60、节分析窗口频率的缺点，并与傅氏谱保持直接联系。(2)引进了小波的多分辨分析，具有WT的自适应时频窗、输入长度不受时窗的限制，而且基本小波不必满足容许性条件等优越性质。n基本S变换定义：2 2、S S变换变换n广义S变换定义：dteepfthpfSftiptf22)(2222)(),(22()22( ,)( )2ftiftfSfh teedt2 2、S S变换变换333256cos 2 (10)cos 2 ()0:25572.55122:131cos 2*0.7122:131105:136cos 20105:136 ,1 255nnnTnTnh nThnnhnTnTnS变换的应用：2 2、S S