等比数列的前项和(1)

1、2.5 等比数列的前n项和第1课时 等比数列的前n项和 传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活中，发现了的生活中，发现了6464格棋（也就是现在的国际象格棋（也就是现在的国际象棋）的有趣和奥妙，棋）的有趣和奥妙，决定要重赏发明人决定要重赏发明人他的宰相西萨他的宰相西萨 班班 达依尔，让他随意选达依尔，让他随意选择奖品择奖品. . 宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内赏他粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内赏他四粒麦子四粒麦子依此依此类推，每一格上的类推，每一格上的麦子

2、数都是前一格麦子数都是前一格的两倍，国王一听，的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来几粒麦子，加起来也不过一小袋，他也不过一小袋，他就答应了宰相的要就答应了宰相的要求求. .实际上国王能实际上国王能满足宰相的要求吗？满足宰相的要求吗？1.1.掌握等比数列的前掌握等比数列的前n n项和公式项和公式. .( (重点）重点）2.2.掌握前掌握前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法. .（重点）（重点）3.3.对前对前n n项和公式能进行简单应用项和公式能进行简单应用. .（难点）（难点） S S1 1= =a a1 1 S S2 2=a=a1 1+a+a2 2=a=a1 1+a+a1 1q q =

3、 =a a1 1(1+q)(1+q) S S3 3=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3=a=a1 1+a+a1 1q +aq +a1 1q q2 2 = =a a1 1(1+q+q(1+q+q2 2) ) S S4 4=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=a=a1 1+a+a1 1q+aq+a1 1q q2 2+a+a1 1q q3 3 = =a a1 1(1+q+q(1+q+q2 2+q+q3 3) )探究：探究：等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式1212(1)(1)(1)11aqqaqSqq即12313(1 )(1)(1)11aqqqaqSqq即qqa

4、qqqqqaS1)1 (1)1)(1 (413214即1(1)(1)1nnaqSqq猜想得：猜想得： Sn= a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn - -得：得： S Sn n(1-q)=a(1-q)=a1 1-a-a1 1q qn n当当q q11时，时，1(1).1nnaqSq等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和项和 11 , 1(1).11nnnaqSaqqq有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了，有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了，问题问题1 1：a a1 1=1,q

5、=2,n=64.=1,q=2,n=64.可得可得: :S S6464= =估计千粒麦子的质量约为估计千粒麦子的质量约为40g40g，那么麦粒的总质量超，那么麦粒的总质量超过了过了7 0007 000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. .64641 (1-2 )=2 -1()=18 446 744 073 709 551 615()1-2粒粒1.1.注意注意q=1q=1与与q1q1两种情形两种情形2.q12.q1时，时，nnnaa qa (q )Sqq 111113.3.五个量五个量n n，a a1 1，q q，a an n，S Sn n中，解决中，解决“知三求二

6、知三求二”问题问题. . 11 ,1(1).11nnnaqSaqqq1919例例 求求下下列列等等比比数数列列前前8 8项项的的和和: :111111（1 1） , , ,. , , ,.2482481 1（2 2）a a 2727，a a ，q 0.q 0.243243 为为1 188888 88 811111 因1 因a =,q =,n = 8，a =,q =,n = 8，2222111111111-1-1-1-2222222212551255所所以以S =1-=.S =1-=.1111225622561-1-2222解解: :类型一：等比数列前 项和的基本运算n 当当时时 8 81 19

7、 98 88 81 11 12 2 由由a a = =2 27 7, ,a a = =, ,可可得得2 27 7q q , ,2 24 43 32 24 43 3又又由由q q 0,+a)=n+1 (a0,a a1 10),0),则此数列的通项公式为则此数列的通项公式为_._. a an n=(a=(a1)a1)an n 3.2+(2+23.2+(2+22 2)+(2+2)+(2+22 2+2+23 3)+(2+2)+(2+22 2+2+23 3+2+21010）=_.=_. 2 2121224 24 等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式111(1),111,1nnnnaa qaqSqq