2020年(新课改)数学高考总复习小测：题型上——高考3大题型逐一精研

1、课时跟踪检测(五十六)21.(2018 郑州一检) )已知椭圆 C:j+y(1)求椭圆 C 的离心率;题型上一一高考3大题型逐一精研如图，过 Fi作直线 l 与椭圆分别交于 的最大值.P ,Q 两点，若 PQF2的周长为 4,2,求 FzP ”2解：(1)由题意知|Jy3ab2= c,即 3a2 3 4b2= c2(a2+ 4b2) = (a2 b2)(a2+ 4b2).化简得 a2= 2b2, va+ 4b所以 e=因为 PQF2的周长为 4 2，所以 4a = 4 2,得 a = 2,2由(1)知 b2= 1,所以椭圆 C 的方程为专+ y2= 1,且焦点 F1( 1,0), F2(1,0

2、),若直线 l 的斜率不存在，则直线 I 丄 x 轴，直线方程为22消去 y 并整理得X2+ 2=2,(2k2+ 1)x2+ 4k2x+ 2k2 2= 0,设 P(X1, y1), Q(X2, y2),4 k22k22则X1+X2=，X1X2=2P+1，- -F2P F2Q=(x1-1，y1) (X21，y2)=( (X1 1)(X2 1) + yy=(k2+ 1) )X1X2+ (k2 1)(x1+ X2) + k2+ 14kL22k2+ 1+k+127k 1 = 792k2+ 1 = 22 2k2+ 1，由 k20 可得-P-Qe 1，2 .综上所述，F2P-F2Q 1, 7分别为 Fi,

3、 F2，以 F1F2为直径的圆与直线22= 1(a b 0)的左、右焦点x= 1 ,P1，孑，Q1，-于=2,子，故 FP-Qax+ 2by , 3ab= 0 相切.72.若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y= k(x+ 1),由尸kx+1，22k222=(宀“齐+(k2-1)所以 F2p2Q的最大值是 7.2 22. （2019 沈阳教学质量监测）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 X + 丁=1 上，过 M 作 x- 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 NP = 2NM .（1）求点 P 的轨迹 E 的方程；过 F（1,0）的直线 li与点 P 的轨迹交于 A, B 两点，过

4、 F（1,0）作与 li垂直的直线 12与点1 1P 的轨迹交于 C, D 两点，求证：TAB+TCD!为定值.|AB| |CD|-解：( (1)设 P(x, y),易知 N(x,0), NP = (0, y),( y(-0, 2，:Mx,2又点 M 在椭圆上，x+= 1,942 2点 P 的轨迹 E 的方程为x+y= 1.98证明：当直线 11与 x 轴重合时，AB|= 6, |CD|= 16,丄+丄=红|AB| |CD| 48.当直线 11与 x 轴垂直时，|AB|= 6, |CD|= 6,3丄+丄=口|AB| |CD| 48.当直线 11与 x 轴不垂直也不重合时，可设直线11的方程为

5、y= k（x 1）（）（k丰0），则直线 121的方程为 y= *(x 1),设 A（Xi，yi），B（X2，y2），C（X3，y3），D（X4，y4），y=k（x1 联立直线 11与曲线 E 的方程，得 x2y2IJ +1得(8 + 9k2)x2 18k2x + 9k2 72= 0,= 18k2 2 4 8+ 9k29k2 72 0, 丄18k2x1+x2= R,9k2-72x1x2=_8?9l7,可得2 |AB|=寸仃 k2 (X1十x2f-4x1X2=4：十十$ ,贝 U |CD| =1|AB|十 |CD| 48 k2+ 1 综上可得丄十|糸|为定值.|AB| |CD|x2y2、63.已

6、知椭圆 C:孑十 b2= 1(a b 0)的离心率为 亏，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半轴长为半径的圆与直线 2x2y+ 6 = 0 相切.(1)求椭圆 C 的标准方程;已知点 A, B 为动直线 y= k(x 2)(k丰0)与椭圆 C 的两个交点，问：在 x 轴上是否存-1 - - 在定点 E，使得 EA2+ EA -AB 为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在,请说明理由.解: (1)由 e=，得 C =屮,3a 3又以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为x2+ y2= a2,且该圆与直线2x 2y+ 6 = 0 相切,所以 a = j26|2= Q6，代入

7、得 c= 2,帖十-回所以 b2= a2 c2= 2,ly= k(x 2 ,得(1 十 3k2)x2 12k2x 十 12k2 6= 0.设 A(X1, y1), B(X2, y2),12k212k2 6所以论十x2=1+3k2,x1x2= 1 十 3k2.根据题意，假设 x 轴上存在定点 E(m,0),使得貢2+ EA -AB=(EA + AB)EA =EA EB为定值,同理可得%3十 X4= ,38k2+9972k2 x1x2=_8PH9.2 218+ 9k 9+ 8k 17+-2-=|6|所以椭圆 C 的标准方程为2 2xy丄+ ：=8k+ k ( x3+ 焉$4x3X4=则EXE? =

8、(Xim,yi)(x2m,y?)=(Xi m)(X2 m) + yiy?2 2 2 2=(k + 1)XiX2 (2k + m)(Xi+ X2) + (4k + m) )3m2 12m +10 k2+ m2 6=1+3k2，要使上式为定值，即与 k 无关，只需 3m2 12m+ 10 = 3(m2 6),解得 m=7,此时，2+EAJB= m2 6 = 5,9所以在 X 轴上存在定点E3，0 使得 貢2+宣-AB为定值，且定值为5.4. (2019 惠州调研) )已知点 C 为圆( (x+ 1)2+ y= 8 的圆心，P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且有点 A(1,0)和 AP

9、 上的点 M，满足M7QJAP= 0, AP= 2AM.(1) 当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；若斜率为 k 的直线 I 与圆 x2+ y2= 1 相切，与中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点F ,3JJ4H , O 是坐标原点，且丁OF OHw时，求 k 的取值范围.45解：由题意知 M Q 是线段 AP 的垂直平分线，所以|CP| =|QC|+ |QP|= |QC| + |QA| = 2 2 |CA|= 2,所以点 Q 的轨迹是以点 C, A 为焦点，焦距为 2,长轴长为 2 2 的椭圆，所以 a= 2,c= 1, b= a2 c2= 1,2故点Q的轨迹方程是 2+y2= 1.(2) 设直线 l： y= kx+1, F(X1, y1), H(X2, y2),直线 l 与圆 x2+ y2= 1 相切？一= 1? t2= k2+ 1.Vk2+ 12X+y2=1联立2? (1 + 2k2)x2+ 4ktx+ 2 2= 0,y= kx+ t= 16k2t2 4(1 + 2k2)(2t2 2) = 8(2k2 t2+ 1) = 8k20? k 0,4kt2t2 2X1+X2=1+莎,X1X2= i+2?,所以15? OH = X1X2+ y1y2