特殊平行四边形二初二数学主讲教师邓兰萍ppt课件

1、特殊平行四边形二特殊平行四边形二初二数学初二数学 主讲教师主讲教师: :邓兰萍邓兰萍 正方形正方形一一完美的正方形完美的正方形:.是更特殊的平行是更特殊的平行四边形四边形:具有平行四边形具有平行四边形的普通特征的普通特征;.是特殊的矩形是特殊的矩形:有有一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩形;.是特殊的菱形是特殊的菱形:有有一个角是直角的菱形一个角是直角的菱形;.是中心对称图形是中心对称图形又是轴对称图形又是轴对称图形有四有四条对称轴条对称轴 .如图如图:菱形菱形正方形正方形矩形矩形平行四边形平行四边形CDBAABOCDABHGFEODC二.正方形的特征 .边:四条边相等;AB=BC=CD=DA

2、.角:四个角相等; A=B=C=D=90.对角线:相等且相互垂直平分;AC=BD,ACBD,AO=OC,BO=OD.O是正方形ABCD的对称中心, 直线AC.BD.EF.GH都是它的对称轴.三.正方形的识别:阐明:根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系,遇到详细问题时,可以本着先判别是平行四边形,再判别是矩形或菱形,进而得到正方形.4个个2个个平行四平行四边形边形正方形正方形菱形菱形矩形矩形四边形四边形1个个1个个1个个1个个2个个al四.其它:.与正方形相关的三角形:等腰直角三角形.图形分解:.正方形的面积:S正方形=a 2 = l 2ODBBAAODCBA213.正方形问题中常见的图形变

3、换:五五. .正方形知识的运用正方形知识的运用: : 例例. .知知: :如图如图,E,E是正方形是正方形ABCDABCD中中BDBD 上一点上一点, ,且且BEBEBC,BC,求求:DCE:DCE的度数的度数. .分析:正方形ABCD对角线BD平分ABC, 故BCD是等腰Rt,DBC45,由 条件可知BEC为等腰,BCE可求, 进而利用正方形特征可求DCE度数.EDCBA解正方形ABCD ABCBCD90 又BD平分ABC BEBC 在BEC中由内角和可知 DCEBCDBCE9067.522.5EDCBA1452CBEABC1=180)=67.52BCEBECCBE（FEDCBA例例. .如

4、图如图, ,ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,CD,CD是角平是角平分线分线,DEAC,DEAC于于E,DFBCE,DFBC于于F.F.试阐明试阐明DFCEDFCE为为正方形的理由正方形的理由. . 分析:判别正方形可先确定四边DFCE为矩形或菱形证明:ACB90 又DEAC于E,DF BC于FCEDCFD90四边形DFCE为矩形,有三个角是直角的四边形是矩形CD是ABC的角平分线 DEDF角平分线上的点到角的两边间隔相等矩形DFCE为正方形一组邻边相等的矩形是正方形 FEDCBA例例. .如图如图,E,E是正方形是正方形ABCDABCD内一点内一点, ,且且ABEABE是等边三角

5、形是等边三角形. .求求:BED:BED的度数的度数. .EDCBA分析:由于正方形ABCD与正三角形ABE边等,因此可利用特殊四边形和三角形角的关系得到结论.EDCBA1=(180)=752AEDADEDAE解:正方形ABCD DAB90 ADAB 又ABE为等边三角形 EABAEB60 AEAB ADAE DAEDABEAB30 在ADE中,由内角和, 有 BEDAEBAED6075点评:问题一:假设等边ABE的E点落在正方形ABCD的外部 时,想一想图形是什么样,能画出来吗?这时 BED是多少度? 问题二:假设E是平面内一点,且有它到正方形ABCD各顶 点的间隔相等,问这样的E点存在吗?

6、假设存在, 有几个?他能画图表示吗?例例.知知:如图如图,E、F、G分别是正方形分别是正方形ABCD中中BC、AB、CD上的点上的点,且且AEFG.求证求证:AE=FG. ABCDEFG分析:假设将线段FG,沿射线FB方向平移, 平移间隔为线段FB的长.由于条件 给出的是正方形,因此可得到线段 BP如图这样可利用正方形的特 征,得到ABE绕正方形对角线交点 逆时针旋转90能与BCP重合,对应 线段AEBPFG解答过程略.ABCDEFGp点评:是不是这个标题的条件还可以这样变卦:如图, 假设M、N分别是AD、BC上的点,E、F分别是AB、 DC上的点,且有MNEF,那MN与EF的数量关 系一定等

7、吗?请阐明他的理由.NEBFDCAM例例. .知知: :如图如图,E,E、F F分别是正方形分别是正方形 ABCD ABCD中中ABAB、BCBC的中点的中点, ,且且CECE交交 DF DF于于M M点点. .求证求证:AM=AB.:AM=AB. ABCDEFM分析:由根本图形的分析,BEC绕正方形 中心逆时针旋转90能与FCD重合, 易证ECDF,将BCE绕E点旋转180,得到 EAP,由于是正方形ABCD,故P、A、D共线, APBC且APBC, MA是RtDPM斜边 中线,有APAMAB证明略FEBDCAM12P例例. .知知: :如图如图,P,P是正方形是正方形ABCDABCD中中A

8、CAC上一点上一点,PEAD,PEAD于于 E,PFCD E,PFCD于于F.F.求证求证: :OEOF;OEOF;OE=OF.OE=OF.ABCDEFPO分析:处理问题的关键是判别E点绕O点顺时针旋 转90后能与F点重合,关键是AEDF? 由条件不难知道AEP是等腰Rt,而四 边形EPFD易证为矩形,所以有AEEPDF, 问题得证:ABCDEFPO证明:正方形ABCD中,BADADC90 OAOD且AOD90 OAEODF45 P是AC上一点,且PEAD于E,PFCD于F, 即PEDPFD90 四边形EPFD为矩形,EPDF 在AEP中, EPAPAE45, AEEP AEDF 将AOE绕O

9、点顺时针旋转90,A点与D点重合,E点与F点重合OEOF由可知,E、F是 AOE与DOF关于O点旋转对称的点,OEOFABCDEFPO例例7.7.知知: :如图如图,E,E是正方形是正方形ABCDABCD的对角线的对角线 BD BD上恣意一点上恣意一点, , AE AE的延伸线交的延伸线交CDCD于于G,G,交交BCBC的延的延 长线于长线于H,FH,F是是GHGH的中点的中点. . 求证求证:CFCE:CFCE。FEBDCAH2G341分析:由于正方形是轴对称图形,所以DAE与DCE关于直线 BD对称,12 又由于正方形ABCD中,ADBC,所以1H 在RtGCH中,由于F点是GH中点 所以

10、CFFH,3H 所以23 由于3490 所以2490 故CFCE 证明过程略BCHFEDA2G341例例8.8.如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD中中,EBF=45,EBF=45,E,E、F F分别在边分别在边ADAD和和CDCD上上. .求证求证:EF=AE+FC.:EF=AE+FC.ABCDEF分析:待证结论中EF与AE、FC比较分散,应想方法挪动图形,相对集中,思索到结论出现AEFC 无妨把FBC绕B点逆时针旋转90得到PBA,由于正方形ABCD,CBAD90显然P、A、E共线,问题就转化为证明PEEFFEBDCAp由于对应点P、E与B点连线夹角为90,又EBF45,可知BE平分

11、PBF,又由于BPBF,故BPE与BFE关于直线BE对称,问题得证.证明过程略.FEBDCAp点评:几何问题中有时会见线段和差问题,普通处置时 常用手段是“截长补短即将每条短线段中的一条通 过 变换与另一条接在一同,证明其和等于长线段, 这叫补短,另一种情况是把长线段截出一段等于 一条短线段再证明剩下的部分与另一条短线段相 等,这叫截长.例例9.9.知知: :如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O,EO,E是是ACAC上一点上一点, ,过点过点A A作作AGBEAGBE于于G,AGG,AG交交BDBD于于F.F.阐明阐明OE=OF.OE=

12、OF.假设点假设点E E在在ACAC的延伸线上的延伸线上, AGBE, AGBE交交DBDB的延伸线于的延伸线于F,F,其其他条件不变如图他条件不变如图, ,那么结论那么结论“OE=OFOE=OF还成立吗还成立吗? ?请阐明请阐明理由理由. .图2OABCDEFGBDCAOEFG12图1分析:1正方形ABCD中,ACBD,OAOB又由于AGBE,所以12,AOF绕O点逆时针旋转90后能与BOE重合,因此有OEOF2受1的启发,BOE绕O点顺时针旋转90后也能与AOF重合,因此OEOF结论仍能成立. 图2OABCDEFGBDCAOEFG12图1点评:和有些标题类似,虽然E、F点的位置有变化,但

13、OEOF的结论确没有发生变化,由此可知许多图 形之间都存在这种内在联络.图2OABCDEFGBDCAOEFG12图1例例10.10.如图如图, ,假设点假设点P P为正方形为正方形ABCDABCD边边ABAB上一点上一点, ,以以PAPA为一为一边作正方形边作正方形AEFP,AEFP,连连BEBE、DP,DP,并延伸并延伸DPDP交交BEBE于点于点H.H.求证求证:DHBE:DHBE。如图如图, ,假设点假设点P P为正方形为正方形ABCDABCD内恣意一点内恣意一点, ,其他条件其他条件不变不变, ,，的结论能否成立，的结论能否成立? ?假设成立，请给出证明假设成立，请给出证明; ;假设不假设不成立成立, ,请阐明理由请阐明理由. .图1ABCEFHPD图2DPHFECBA1由条件可知DAP绕A点顺时针旋转90就可与BAE重合, 12 又由于34,因此在 DAP和 BHP中DAPBHP, 由于DAB90,所以BHP90,故DHBH