2026《高一数学培优讲义》秋季(学生版)

2026届秋季高一数学培优讲义2026届秋季高一数学培优讲义TOC\o"1-1"\h\u第1讲集合及逻辑用语 /193第1讲集合及逻辑用语【知识点梳理】1.1集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素．一般情况下，集合用英文大写字母表示．元素用英文小写字母表示；不含任何元素的集合叫做空集，记作．1.2元素与集合的关系：如果是集合中元素，则属于，记作；如果不是集合中元素，则不属于，记作．1.3某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：自然数集正整数集整数集有理数集实数集或1.4元素的性质①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的．③无序性：集合中的元素是无次序关系的．1.5集合的表示法列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{}”内的表示集合的方法．例如：，．描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如，称为集合的特征性质，称为集合的代表元素．例如：大于的所有整数用描述法表示为．图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn）图．区间表示法：设，且，定义名称符号数轴表示闭区间开区间左闭右开区间一类特殊的区间1.6子集：对于两个集合，如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，我们就说集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）．规定：是任意集合的子集．如果集合中存在着不是集合中的元素，那么集合不包含于，记作或．1.7真子集：如果集合，且存在元素，但，我们称集合是集合的真子集，记作（或），读作真包含于（真包含）．规定：是任意非空集合的真子集．1.8集合相等：如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，我们说集合与集合相等，记作=．1.9交集：对于两个给定的集合、，属于又属于的所有元素构成的集合叫做、的交集，记作“”．集合用符号语言表示为：，1.10并集：对于两个给定的集合、，由两个集合所有元素构成的集合叫做与的并集，记作“”．集合用符号语言表示为;1.11补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U表示．②补集：如果给定集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集，记作“”．读作“在中的补集”．在中的补集的数学表达式是．1.12命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的语句叫做命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如．其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．1.13充分必要条件：如果可推出，则称是的充分条件，是的必要条件．一般地，如果，且，则称是的充分且必要条件，简称是的充要条件，记作，显然也是的充要条件，此时又常说“当且仅当“或“与等价”．如果，且，则称是的充分不必要条件，称为的必要不充分条件．1.14全称量词：短语“所有”、“一切”、“每一个”，在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．1.15全称命题：含有全称量词的命题．全称命题的符号：”对集合中所有，“记为：，．1.16存在量词：短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事件的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．1.17存在性命题：含有存在量词的命题就叫做存在性命题，又叫特称命题．存在性命题的符号：“存在集合中的元素，”记为：，．1.18存在性命题的否定：存在性命题：，；它的否定是：，．将存在量词变为全称量词，再否定它的性质．1.19全称命题的否定：全称命题：，；它的否定是：，．将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．【类型1描述法表示集合的正确理解】【题1】已知集合，则集合的真子集个数为（

）A．32 B．4 C．5 D．31【题2】集合，用列举法可以表示为（

）A． B．C． D．【题3】集合中含有的元素个数为（）A．4 B．6 C．8 D．12【类型2根据元素与集合的关系求参数】【题4】已知集合，且，则实数的值为（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【题5】设集合，，若，则实数______.【题6】已知集合，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【类型3根据集合中元素的个数求参数】【题7】若集合只有一个元素，则实数的取值集合是_________【题8】若集合不含有任何元素，则实数的取值范围是________．【题9】若集合则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【类型4A∪B=A，A∩B=B,的等价应用】【题10】已知集合，.若，求实数的取值范围.【题11】已知集合，集合.(1)求.(2)求，求的取值范围.【题12】已知集合，.(1)若，求；(2)若，求的取值集合.【类型5利用venn图解决集合问题】【题13】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（

）．A．25种 B．27种 C．29种 D．31种【题14】某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【题15】向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（

）A．18 B．19 C．20 D．21【类型6充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比】角度1：“是”标志词【题16】已知，则是的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【题17】设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【题18】“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件角度2：“的”标志词（倒叙结构）【题19】（多选）若：，则成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【题20】若不等式成立的一个充分条件为，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．【题21】已知，若不等式的一个必要条件为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【题22】命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【类型7存在量词命题、全称量词命题的综合应用】角度1：法【题23】若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（

）A． B． C． D．【题24】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是()A． B．C．或 D．或【题25】命题“”为真命题，则实数的取值范围是（）A． B．C．或 D．或【题26】已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．角度2：分离变量法【题27】已知使是真命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【题28】若命题“”是假命题，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【题29】命题“，”为假命题，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【题30】命题“，”为真命题的充要条件是（

）A． B．C． D．名校真题练【练习1】设集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞5}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【练习2】已知x，y∈R，则使x＞y成立的充分条件为（）A． B． C．x2＞（y+1）2 D．（x﹣1）3＞y3【练习3】以下五个式子中，错误的个数为（）①{1}∈{0，1，2}；②{1，﹣3}＝{﹣3，1}；③{0，1，2}⊆{1，0，2}④∅∈{0，1，2}；⑤∅∈{0}．A．5 B．2 C．3 D．4【练习4】已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0为真命题，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【练习5】命题，则¬p是（）A． B． C．或x﹣1＝0 D．或x﹣1＝0【练习6】设集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k﹣1，则M∩N＝（）A．{x|x＝2k+1，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z} C．{x|x＝6k+1，k∈Z} D．{x|x＝6k﹣1，k∈Z}【练习7】集合S＝{x|x＝m+，m∈Z}，P＝{x|x＝+，Q＝{x|x＝，k∈Z}（）A．S⊂P⊂Q B．S⊂P＝Q C．S＝P⊂Q D．P⊂Q⊂S【练习8】设m∈R，命题“存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根”的否定是（）A．任意m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根 B．任意m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根 C．存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根 D．存在m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根【练习9】若集合M满足：M≠∅，若a∈M，则﹣a∈M，B＝{x|x≤1}，那么下列集合中为“偶集合”的是（）A．A∩B B．A∪B C．A∩（∁RB） D．（∁RA）∩B【练习10】某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（）A．20 B．21 C．23 D．25【练习11】（多选）已知命题p：x2﹣5x+4≤0，则命题p成立的一个充分不必要条件是（）A．1≤x＜2 B．2＜x≤4 C．1≤x D．x≤4【练习12】（多选）下列说法正确的是（）A．“”是“a＜b”的充分不必要条件 B．A∩B＝∅是A＝∅的必要不充分条件 C．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b” D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件【练习13】若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为．【练习14】设集合，B＝{x||x2﹣ax|≤2}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是．【练习15】已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x＜3}，B＝{x|﹣3＜3x﹣a＜6}．（1）若a＝3，求A∪（∁UB）；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围．【练习16】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|m﹣3≤x≤3m+3}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．【练习17】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；（3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．【练习18】已知集合A＝{1，2}和非空集合B＝{x|x2﹣2ax+a＝0}，C＝{x|x2﹣mx+3≥0}．（1）若命题P：“∀x∈B，都有x∈A”为真命题，求实数a的取值；（2）若“x∈C”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围．【练习19】已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）若a＝2，当x＞1时，求的最小值；（2）求关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a＞0）的解集；（3）当a＜0时，已知A＝{x|﹣2≤x≤﹣1}，B＝{x|y+a＞0}，求a的取值范围．

第2讲基本不等式性质【知识点梳理】1.1均值定理：如果，（表示正实数），那么，当且仅当时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．1.2均值不等式推广：，其中需要前提条件．叫做平方平均值．可以认为基本元素为，，；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值．【注】在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几个条件：①一正：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；实际过程中，两项全是负的其实也可以用均值，提出一个负号即可．所以说“一正”这个条件可以扩展为“同号”②二定：函数式中含变量的各项的和或积或平方和必须是定值；特殊情况下，至少要求各项的和、积、平方和是一个可化简的定式③三相等：只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．需要注意，只要满足条件①，即使等号不成立，不等号也是一定成立的．这种均值的应用常用于不等式放缩．1.3求两个正数和的最小值1．利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数．通常要通过添加常数、凑分母等方式进行构造．2．对于分子分母的最高次数为平方关系的分式函数，可以经过适当的变形，把含有的部分最终化为的形式，进而利用均值不等式处理函数的最值．【注】事实上，处理此类问题的实质是去寻找定值，把给定的式子整理为可以找出其乘积为定值的形式，进而处理原式子的最值．求分式函数的最值在以后的解析几何中会比较常出现．1.4求两个正数积的最大值利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，调整系数，使其和为常数．通常要通过乘以或除以常数、平方等方式进行构造．【注】此类题型中一般用到不等式的形式，其中为定值．若为定值，通过调整系数，可以得到（）的形式．【类型1直接法】【题1】的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【题2】若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【题3】若，则有（

）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值【题4】函数的最小值是________.【题5】若，则的最小值为________________．【类型2凑配法】【题6】（多选）已知，则的取值可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【题7】已知，则的最小值为__________.【题8】若，则的最小值为___________.【题9】已知，则的最小值是______．【题10】若，则的最小值为______．【类型3分离法】【题11】函数的最小值是（

）A． B． C． D．【题12】已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【题13】已知，求的最小值______________.【题14】若，则函数的最小值为（

）A．4 B．5 C．7 D．9【题15】已知，比较两数的大小：______9．【题16】已知，则函数的最小值为___________.【类型4二次与二次（一次）商式（换元法）】【题17】若实数，满足，且，则的最大值为______.【题18】函数的最小值为______．【题19】函数的最小值为___．【题20】设，则函数的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【类型5常数代换“1”的代换】【题21】已知，，，则的最小值为（

）A．13 B．19 C．21 D．27【题22】若正实数，满足，则的最小值是（

）A．4 B． C．5 D．9【题23】已知都是正数，且，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3【题24】已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【题25】已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．【题26】设，为正数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【题27】已知，，且，则的最小值是（

）A．2 B．6 C．3 D．9【题28】已知正实数x，y满足，则最小值为______．【题29】已知，，，则的最小值为__________．【类型6消元法】【题30】负实数，满足，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．【题31】已知，则的最小值是（

）A．14 B． C．8 D．【题32】已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．6【题33】若正数满足，则的最小值是___________.【类型7对勾函数】【题34】函数的最小值为（

）A． B．2 C．3 D．4【题35】求函数的最值.【题36】若，则的最小值是（

）A．6 B．5 C． D．3【题37】已知，求的最小值___________

名校真题练【练习1】已知1≤a≤2，﹣1≤b≤4，则a﹣2b的取值范围是（）A．[﹣7，4] B．[﹣6，9] C．[6，9] D．[﹣2，8]【练习2】（）下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则【练习3】若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，那么a﹣|b|的范围是（）A．﹣3＜a﹣|b|≤3 B．﹣3＜a﹣|b|＜5 C．﹣3＜a﹣|b|＜3 D．1＜a﹣|b|＜4【练习4】若正实数x，y满足x+y+xy＝8，则下列结论不正确的是（）A．x+y的最小值为4 B．xy的最大值为4 C．x+2y的最小值为 D．x2+y2的最大值为8【练习5】若a＞0，b＞0且a+b＝3，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【练习6】以下说法正确的是（）A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．若正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为4【练习7（多选）】设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（）A．若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1 B．若，则a﹣b＜1 C．若，则|a﹣b|＜1 D．若|a3﹣b3|＝1，则|a﹣b|＜1【练习8（多选）】以下正确的选项是（）A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＞b，c＜d，则 C．若ac2＞bc2，则a3＞b3 D．若a＞b，m＞0，则【练习9（多选）】已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2（）A．B． C．a2+b2的最小值为D．【练习10（多选）】下列说法正确的是（）A．函数的最小值为2 B．若正数x，y满足4x2+9y2+3xy＝30，则xy的最大值是2 C．已知实数x，y满足﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则2x﹣3y∈（﹣2，13） D．若对任意x∈[1，+∞），恒成立，则a＞﹣3【练习11（多选）】若a＞0，b＞0，且a+4b＝1（）A．ab有最大值 B．有最大值2 C．有最小值5 D．a2+16b2有最小值【练习12（多选）】设正整数a，b满足a+b＝1，则（）A． B． C． D．【练习13】若实数x，y满足﹣1≤2x+3y≤2且﹣3≤x﹣y≤1，则M＝3x+4y的取值范围是．【练习14】若2＜x＜8，4＜y＜6，则的取值范围是．【练习15】已知实数a＞b＞0，当取得最小值时，则的值为．【练习16】已知0＜a＜2，则的最小值为．【练习17】某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供x（0≤x≤20），将产量增加到m＝（x+2）万件万元，并以每件（注：收益＝销售金额+创业补助﹣成本）（1）求该企业获得创业补助后的收益y万元与创业补助x万元的函数关系式；（2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？【练习18】（1）已知x＞﹣1，求的最小值．（2）已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．【练习19】（1）已知x＞0，y＞0且xy﹣4x﹣y＝0，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．（2）已知x，y∈（1，+∞），且xy﹣4x﹣y+2＝0【练习20】（1）若正实数x，y满足2x+y＝2，求的最小值；（2）若正实数x，y满足，求x+y的最小值．【练习21】求下列式子的最值．（1）已知，求的最小值；（2）已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．

第3讲一元二次不等式【知识点梳理】1.1对于含有参数的一元二次不等式，解法步骤总结如下：①首先应判定二次项系数是否为零，分别加以讨论；②在二次项系数不为零的条件下，将二次项系数化为正的，讨论对应的二次方程是否有根，即讨论判别式的正负；③在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出二次方程对应的根；④比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集．⑤最后将可以合并的合并，并按参数的范围分别写出解集．【注】含参数的一元二次不等式的解答是以后要学习的求导数的单调性的基础，在高考中是必考的，需要对参数进行各种分类讨论，不重不漏，遵循一定的原则，养成良好的分类习惯．1.2已知一元二次不等式解集求参数范围（1）由一元二次不等式的解集的形式考虑对应的二次函数的图象，把解集转换为二次函数的图象与轴的交点问题，进而转化为对应的关于参数的不等式，从而解出参数的范围．（2）我们把含参数的不等式看成一个含有两个变量的不等式．若通过整理，可以将这个不等式中的两个变量分别调整到不等号的两端，使之每一边仅含有一个变量，这个方法通常叫做分离参数．对于一个含参不等式，如果我们可以对它分离参数，那么我们不论知道哪一个变量的取值范围，去求另一个的范围都很容易了，因为我们要研究的都只是一个含有一个自变量的函数的值域问题．1.3对于含有分式的不等式解法思路：先将不等式整理为或，再化为整式不等式求解．；1.4含有参数的不等式恒成立问题【注】解决含有参数不等式恒成立问题，一般都可以转化为一元二次不等式相关的问题，其处理方法大致有两种：①整体分析法：将不等式问题转化为含参的一元二次函数的零点分布问题，再利用根的判别式或数形结合的思想，得到相关不等式，使问题得到解决；②参数分离法：将参数分离出来，将恒成立问题转化为求函数最大值或最小值的问题．一般参数容易分离时，第②个方法比较容易；当参数不容易分离或分离后得到的函数太复杂时，再考虑用整体分析法，通过数形结合与分类讨论得到结果．还有一种不是很常用的方法，不等式含有两个变量时，可以灵活的将代数式看成其中任一个变量的函数，复杂程度往往有很大的区别．【类型1一元二次不等式（不含参）的求解】【题1】不等式的解集为（

）A．或 B．C．或 D．【题2】不等式的解集是________．【题3】不等式的解集是（

）A． B． C． D．，或【题4】不等式的解集为___________.【类型2一元二次不等式（含参）的求解】角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论【题5】解不等式.【题6】求不等式（）的解集．【题7】设函数．当时，求关于的不等式的解集．【题8】当时，求关于的不等式的解集．【题9】设函数，，解关于x的不等式；角度2：最高项系数含参从0开始讨论【题10】解关于的不等式.【题11】已知函数.若，解关于的不等式.【题12】若，解关于的不等式．【题13】已知函数.若，解关于的不等式.角度3：不可因式分解型，从开始讨论【题14】解关于的不等式：．【题15】已知一元二次函数，满足．(1)求的解析式；(2)解关于x的不等式．【类型3一元二次不等式与对应函数、方程的关系】【题16】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（

）A． B．或 C． D．或【题17】已知的解集为（），则的值为（

）A． B． C．1 D．2【题18】若不等式的解集是，则的解集为（

）A． B． C． D．【题19】若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．【题20】若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.【类型4二次不等式恒成立问题】【题21】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C．D．【题22】已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.【题23】已知关于的不等式．(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．【题24】（多选）不等式对任意的R恒成立，则（

）A． B． C． D．【题25】，则的取值范围为__________．【题26】已知不等式的解集是．(1)求常数a的值；(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．【类型5一元二次函数求最值（含参数）】【题27】已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)当时，求函数在区间上的最大值；(3)求在上的最大值与最小值．【题28】已知二次函数，且满足，.(1)求函数的解析式；(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．【题29】已知函数的图象过点，且满足．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最小值；【类型6根据不等式的解求参数】【题30】已知函数，若不等式的解集是(1)求的解析式；(2)若函数在区间上的最小值为20，求实数的值.【题31】已知函数，，.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)若最小值为，求的值.【题32】已知函数．(1)当时，解关于x的不等式；(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．【题33】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，求a的值．名校真题练【练习1】已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（）A．﹣4≤a≤4 B．﹣4＜a＜4 C．a≤﹣4或a≥4 D．a＜﹣4或a＞4【练习2】命题“对任意的m∈[﹣1，1]，总存在唯一的x∈[0，使得x2﹣2x﹣am﹣1＝0”成立的充分必要条件是（）A．﹣2≤a≤2 B．﹣1≤a≤1 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜1【练习3】若x的不等式x2+（m+1）x+m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1或3＜m≤4 D．﹣2＜m≤﹣1或3≤m＜4【练习4】若不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则不等式2x2+bx+a＜0的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C． D．【练习5】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【练习6】已知当x＜0时，关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2有解，则实数a的取值范围是．【练习7】已知实数a，b满足0＜b＜1+a，若关于x的不等式（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是．【练习8】已知函数y＝ax2+（1﹣a）x+a（a∈R）．（1）若ax2+（1﹣a）x+a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a＜3a+2．【练习9】已知集合A＝{x|m﹣1≤x≤2m﹣1}，集合B＝{x|（x﹣2）（x+3）＜0}．（1）若m＝2，求A∪B；（2）若A⊆B，求实数m的范围．【练习10】已知f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R（1）当a＝﹣2时，解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若存在x∈[3，+∞），使得f（x），求实数a的取值范围．【练习11】已知函数f（x）＝x2﹣bx+b﹣1，b∈R．（1）求集合M＝{x|f（x）≥0}；（2）设N＝{x|x∈∁RM，x∈Z}，若N中恰好有2个元素【练习12】已知函数，a≠0，b≠0．（1）当b＝1，且a＜0时，解关于x的不等式f（x）；（2）若a＞2，b＞2，若f（1），求a+b的最小值．【练习13】已知集合，集合B＝{x|x2+x+a﹣a2＜0}．（1）若存在x0∈A，使得B≠∅，求a的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【练习14】已知集合A＝{x|x2+3≤4x}，B＝{x|a≤x≤3a+2}．（1）当a＝1时，求A∩B和（∁RA）∪（∁RB）；（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【练习15】已知命题p：关于x的方程x2+4x+m＝0（m＞0）有两个不相等的实数根．（1）若p是真命题，求实数m的取值集合A；（2）在（1）的条件下，集合B＝{m|2a﹣1＜m＜a+1}，求实数a的取值范围．

第4讲函数之相关概念【知识点梳理】1.1映射的概念：设是两个给定的非空集合，如果按照某种对应法则，对内任意一个元素，在中有唯一确定的元素与对应，则称为集合到集合的映射．记作．称是在映射的作用下的象，称做的原象．映射必然具有的两个最本质的属性：①任意；②唯一；1.2函数的概念：设集合是非空的数集，对于中的任意实数，按照确定的对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数．记作．其中，叫做自变量，自变量的取值范围（数集）叫做这个函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．函数也常写作函数或函数．1.3函数的三种表示法集合的表示方法列举法描述法图示法优点简单、直观严谨直观缺点不能表示复杂的集合抽象很难表示规则函数的表示方法列表法解析法图象法优点不需要计算、直观简明概括，易求值直观，能反映大趋势缺点不能表示复杂的函数不直观不够精细1.4函数的定义域（1）具体函数的自然定义域：（2）限制定义域：（3）抽象复合函数的定义域问题．1.5函数的值域1.5.1部分常见函数的值域：一次函数、二次函数、反比例函数遇到这三种函数的值域问题，我们应该首先画这些函数的草图，然后再看看函数对应的是图象的哪一段，最后得到所求函数的值域．1.5.2简单复合函数的值域：求复合函数的值域是一层一层从内往外走，先看整个函数的定义域，再依次从内层开始求每层的值域，每一个内层的值域都对应它外面一层的定义域，这样一层层的处理就可以得到整个函数的值域了．求解值域问题有两个大致的方向，一个方向是借助于基本函数的图象解决我们熟悉的函数及其复合函数的值域问题，当然每个人熟悉的函数是不一样多的，后面我们也会学习更多的函数，比如对勾函数、指对函数，扩充我们的函数库；另一个是借助于代数基本变形求值域，比如配方法、换元法、分离常数法、判别式法等．当然，这两个方向不是完全独立的，很多时候，进行换元或者分离常数后，一个陌生的函数会转化为我们熟悉的函数，从而利用图象解决值域问题．1.6同一函数判断两个函数是否相同，只需要判断定义域与对应法则，它们就可以确定一个函数，值域是被确定的．这也是为什么写函数时，只需要写明解析式与定义域．同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．1.7复合函数的概念：如果是的函数，记作，是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集非空，则通过确定了是的函数，这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数．1.8图象变换有四种基本的形式，包含九种具体的变换方式，四种基本变换形式九种具体的变换方式针对图象的具体操作变换后对应的解析式平移变换水平平移向右（左）平移个单位（）垂直平移向上（下）平移个单位（）翻折变换上下翻折轴上方的图象不变，将轴下方的图象翻折到轴上方来左右翻折轴右边的图象不变，将轴右边的图象翻折到轴的左边覆盖原来左边的图象对称变换按轴对称将的图象作关于轴的对称按轴对称将的图象作关于轴的对称按原点对称将的图象作关于原点的对称伸缩变换横向伸缩纵坐标不变，横坐标变为原来的（倍）纵向伸缩横坐标不变，纵坐标变为到原来的（倍）1.9函数图象的三大变换：平移、对称、翻折．给定函数，，（1）函数图象的平移：包括上下平移与左右平移，得到与，见下图⑴；（2）函数图象的对称：得到，见下图（2）；（3）函数图象的翻折：得到与，见下图（3）．（1）平移变换（2）对称变换（3）翻折变换【类型1函数关系的判断】【题1】下列图形是函数图像的是（

）A．B．C．D．【题2】若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（

）A．B．C．D．【类型2求函数的定义域】角度1：求常规函数的定义域【题3】函数的定义域为（

）A．B．C．D．【题4】函数的定义域为（

）A． B． C． D．【题5】函数的定义域是（

）A． B． C． D．角度2：求抽象函数、复合函数的定义域【题6】的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【题7】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【题8】已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．【类型3函数的值域】角度1：一次、二次、反比例函数的值域【题9】函数的值域是（

）A． B． C． D．【题10】函数的值域为________.【题11】作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：(1)，；(2)，．角度2：根式型值域【题12】函数的值域为（

）A．B．C．D．【题13】求函数的值域______．【题14】函数的值域为（

）A． B． C． D．【题15】求下列函数的值域：(1)；(2)．角度3：分式型值域【题16】函数的值域为（

）A． B． C． D．【题17】函数的值域是__________．【题18】求函数的值域.【题19】求函数的值域.【题20】求下列函数的值域：(1)；(2)；角度4：根据值域求参数【题21】若函数的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【题22】若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【题23】已知函数，，若对，，使成立，则实数的取值范围为___________.【题24】已知函数的值域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．角度5：根据值域求定义域【题25】已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．【类型4求函数的解析式】角度1：待定系数法：【题26】已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．【题27】若二次函数满足，，求.【题28】（多选）一次函数满足：，则的解析式可以是（

）A．B．C．D．【题29】二次函数（）满足，且，求的解析式；角度2：换元法：【题30】已知函数满足，则（

）A．1 B．9 C． D．【题31】已知，则的解析式为___________.【题32】已知，则________．【题33】已知函数.求函数的解析式；角度3：配凑法：【题34】已知，则（

）．A． B． C． D．【题35】已知函数，则（

）A．B．C．D．【题36】已知，则_______．角度4：方程组（消去）法：【题37】已知，，则的解析式为________．【题38】已知函数的定义域为，且，则_______【题39】若函数，满足，且，则________．【题40】已知，则的解析式是________．角度5：赋值法求抽象函数的解析式【题41】设函数满足，且对任意，都有，则=_________.【题42】设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．【题43】若函数满足，写出一个符合要求的解析式_________．【题44】已知函数对一切实数都有成立，且.（1）求的值；（2）求的解析式；【类型5分段函数的求值】角度1：分段函数求值【题45】已知函数，则___________.【题46】已知函数，则___________.【题47】已知函数则________.角度2：分段函数求值域【题48】函数的值域为（

）A．B．C．D．【题49】已知函数(1)求，的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；【题50】求函数在－的最值.角度3：根据分段函数值域求参数【题51】已知函数无最大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【题52】若函数的值域为，则实数的取值范围是______.【题53】（多选）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（

）A．2 B．-1 C．0 D．1名校真题练【练习1】下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A． B． C． D．【练习2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）＝x，g（x）＝ B．f（x）＝x（x∈R），g（x）＝x（x∈Z） C．f（x）＝|x|，g（x）＝ D．f（x）＝x，【练习3】如图，一高为H的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为T．若鱼缸水深为h时，则函数h＝f（t）的图像大致是（）A．B． C．D．【练习4】已知函数f（x）的定义域是[﹣1，4]，则的定义域是（）A．（1，5] B．（1，4] C．[1，3] D．（1，3]【练习5】若f（x）满足关系式f（x+1）＝2x﹣3，f（x）＝（）A．2x+1 B．2x﹣5 C．3x﹣5 D．3x+1【练习6】函数f（x）满足关系式f（x）+2f（1﹣x）=，则f（2）的值为（）A． B． C． D．【练习7】若f（﹣1）＝x++1，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x2﹣1（x≥﹣1） B．f（x）＝x2+3x+3（x≥﹣1） C．f（x）＝x2+x+1（x≥﹣1） D．f（x）＝（x﹣1）2（x≥﹣1）【练习8】已知，则f（x）的解析式为（）A．，且x≠1） B．，且x≠1） C．，且x≠1） D．，且x≠1）【练习9】已知函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（2x+1）（）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．【练习10】已知x≠0，函数f（x）满足f（x﹣）2+，则f（x）的表达式为（）A．f（x）＝x+ B．f（x）＝x2+2 C．f（x）＝x2 D．f（x）＝（x﹣）2【练习11】以下各组函数中，表示同一函数的有（）A．，g（x）＝x B．， C．y＝x0， D．与y＝x+2（x≥﹣2）【练习12】给出以下四个判断，其中正确的是（）A．已知函数的值域为 B．关于“x∈[1，2]的不等式x2﹣2x﹣a≥0有解”的一个必要不充分条件是a＜0 C．函数f（x）＝x2，定义域A⊆R，值域B＝{4}，则满足条件的f（x）有3个 D．若函数，且f（m）＝4，则实数m的值为【练习13】已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是．【练习14】函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是．【练习15】抽象函数的定义域的求解：（1）若函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，则f（x﹣1）的定义域为；（2）若函数f（x2﹣1）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x+1）．【练习16】已知f（x+1）＝x2﹣3x+2，则f（x）＝．【练习17】已知函数f（x）的定义域是[﹣2，1]，则f（x）＝的定义域是．【练习18】已知函数，回答下列小题．（1）画出函数f（x）的图像；（2）求f（x）的最小值．【练习19】求抽象函数的定义域（1）已知函数f（x）＝，求函数求函数f（x+1）的定义域（2）已知函数f（3x+1）的定义域为（﹣1，6]，求函数f（2x﹣5）的定义域．【练习20】已知函数f（x）的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式、定义域和值域；（Ⅱ）求f（3），f[f（3）]，f{f[f（3）

第5讲函数单调性最值【知识点梳理】1.1单调性的概念函数是由于自变量经过某个对应法则对应到值域中的一个数，所有的函数的性质都围绕着一个问题：当自变量发生某种变化时，函数值发生了什么变化？所谓单调性是指随着自变量的增大（或减小），函数值是否也增大或减小．奇偶性是指：当自变量取相反数时，函数值是保持不变，还是也取相反数．周期性是指：当自变量变化时，函数值呈周期变化．一般地，设函数的定义域为，区间：（1）增函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是增函数；（2）减函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是减函数；（注：B版定义是：对于区间中的任意两个值，改变量，则当（）时，就称函数在区间上是增（减）函数．我们从直观上引出单调性的概念，与A版的定义更契合，所以用了A版的单调性的定义；从证明单调性上来讲，B版更直接）1.2单调性：如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间叫做的单调区间．1.3单调性的严格证明从本讲开始，我们去研究函数的性质时，我们一直按照下面的顺序进行：性质的定义常见函数的性质复合函数的性质如：单调性在直观上：单调递增——图象上升、单调递减——图象下降；逐渐进行抽象：单调递增——增加，也增加；单调递减——增加，减小．数学表达（单调性的证明是高中第一个严格的证明）：在区间内任取，比较的大小．（注意是任取）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性，即“任意取，”，证明单调性时不可随意以两个特殊值替换；二是它们有大小；三是它们同属于一个单调区间，三者缺一不可．用定义法判断或证明函数的单调性的关键在于比较的大小，这可以通过作差变形来实现．于是我们得到定义法证明函数单调性的一般步骤：1.4用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设，是该区间内的任意两个值，且．②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．1.5单调性的运算：函数间、、、的运算的单调性规律：（默认在函数的公共定义域上讨论）⑴函数与常数：与的单调性相同；：时，与单调性相同；时，与单调性相反；⑵函数与：①是增函数，是增函数时，是增函数；②是增函数，是减函数时，是增函数；（这可以由⑴⑵①直接推出）③是增（减）函数，是增（减）函数时，的单调性不确定．如：函数．当，且时，是增（减）函数；当，且时，是减（增）函数．1.6常见函数的单调性：1.6.1一次函数（），单调性由决定，，，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减．1.6.2二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．1.6.3反比例函数，．当时，在和上分别单调递减；当时，在和上分别单调递增．以上三类函数的单调性的结论可以直接应用．“单调递增”、“单调递增”也可直接使用，不必证（除非原题就是要证明这个结论）．1.7复合函数单调性复合函数的单调性满足同增异减，当内层函数和外层函数的单调性相同时，整个函数体现为增函数．当内层函数和外层函数的单调性相反时，整个函数体现为减函数．对于复合函数的单调性，必须考虑函数与函数的单调性，函数的单调性如下表：增函数增函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数小结：同增异减．【类型1利用定义法判断或证明函数的单调性】【题1】已知函数，（1）判断函数的单调性，并证明；（2）求函数的最大值和最小值.【题2】判断在的单调性.【类型2求函数的单调区间】角度1：利用图象求函数的单调区间【题3】如图是函数的图象，则函数的减区间是（

）A． B． C． D．【题4】函数的单调递减区间是（

）A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞）【题5】下列四个函数图象中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（

）A．B．C．D．角度2：求复合函数的单调区间【题6】函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【题7】函数的单调增区间为（）A． B． C． D．【题8】函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【类型3函数单调性的应用】角度1：利用函数的单调性比较大小【题9】已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【题10】函数在是增函数，若，则有（

）A． B．C． D．【题11】设函数是上的减函数，则

（

）A． B．C． D．角度2：利用函数的单调性解不等式【题12】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【题13】已知函数，若则实数的取值范围是____．【题14】已知函数，则不等式的x的解集是________．角度3：利用函数的单调性求参数的取值范围【题15】函数在上是增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【题16】已知函数的增区间是，则实数的值为___________.【题17】若函数，在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【题18】若是上的单调减函数，则实数的取值范围为____.【类型4求函数的最值（值域）】【题19】函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．【题20】已知函数．(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；(2)求函数在区间上的值域.【题21】已知函数（1）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；（2）求在区间上的最值．【类型5二次函数的最值问题】角度1：不含参数的二次函数最值问题【题22】函数在区间上的最大值、最小值分别是（

）A． B． C． D．最小值是，无最大值【题23】函数的值域为（

）A． B． C． D．【题24】函数的最大值与最小值之和

（）

A．1.75 B．3.75 C．4 D．5【题25】设，则函数的最大值为______.角度2：含参数的二次函数最值问题【题26】已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)已知在上单调递增，求的取值范围；(3)求在上的最小值.【题27】已知函数．(1)若函数为偶函数，求实数的值；(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；(3)求函数在区间上的最小值．【题28】已知二次函数，且满足，.(1)求函数的解析式；(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．【类型6恒成立与能成立问题】【题29】若函数的定义城为，则实数的取值范围是（

）A．[0，1] B．[0，1） C．[0，] D．[0，）【题30】已知函数，，对，，使成立，则实数的取值范围是___________.【题31】已知函数，若对任意的恒成立，则实数取值范围是_________.【题32】设函数.(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围.【题33】若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围．

名校真题练【练习1】设函数f（x）的定义域为R，则“∀x∈R，f（x+1）（x）”是“函数f（x）为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【练习2】下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝x B．y＝|x| C．y＝﹣x2+1 D．【练习3】若函数f（x）＝4|x﹣a|+3在区间[1，+∞）上不单调（）A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]【练习4】函数满足对∀x1，x2∈R且x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，1） D．[0，1]【练习5】若函数f（x）＝在R上为增函数，则实数b的取值范围是（）A． B．[1，2] C． D．【练习6】已知f（x）＝在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（0，3） B．[，3） C．[，3） D．[，]【练习7】已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，0]【练习8】函数f（x）＝在区间（﹣2，+∞）上单调递增（）A．（0，） B．（，+∞） C．（﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【练习9】定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有，则必有（）A．函数f（x）是先增加后减少 B．函数f（x）是先减少后增加 C．f（x）在R上是增函数 D．f（x）在R上是减函数【练习10】函数的最大值为（）A． B． C．10 D．【练习11（多选）】对于函数，下列说法正确的是（）A．若b＝1，则函数f（x）的最小值为2 B．若b＝1，则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增 C．若b＝﹣1，则函数f（x）的值域为R D．若b＝﹣1，则函数f（x）是奇函数【练习12（多选）】对于函数，下列判断正确的是（）A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．当m∈（0，1）时，方程f（x）＝m总有实数解 C．函数f（x）的值域为 D．函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）【练习13】已知y＝f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．【练习14】对a，b∈R，记，函数f（x）2，2x+3}（x∈R）的最小值是；单调递减区间为．【练习15】已知函数的图象经过点A（1，0），．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；（3）求f（x）在区间上的值域．【练习16】已知函数f（x）＝的图像过点（1，1）．（1）求实数m的值；（2）判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上的单调性【练习17】已知函数．（1）若g（x）＝（x+1）f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，试判断g（x），3]上的单调性并用定义法给与证明，写出此时g（x）【练习18】已知函数．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．【练习19】已知函数．（1）若a＝9，求f（2）的值；（2）若a＝9，判断函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞0，判断f（x）在区间（0，+∞），并用定义证明．

第6讲函数奇偶性专项【知识点梳理】1.1函数奇偶性函数图象的对称性轴对称中心对称函数示意图奇偶性偶函数奇函数满足的关系式本质当取的自变量互为相反数时，函数值相等当取的自变量互为相反数时，函数值也互为相反数1.2函数奇偶性的定义与判定1.2.1奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做奇函数；1.2.2偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做偶函数．从这里可以引申出三个结论：结论一：如果一个奇函数，在处有定义，则一定有．结论二：既奇又偶的函数有穷多个，这些函数的值域都为．结论三：已知，系数为常数．（1）若是奇函数，则系数满足；（2）若是偶函数，则系数满足．对于一个多项式函数来说，若它是奇函数，则一定只有奇次项，若它是偶函数，则一定只有偶次项．一般情况下认为，偶函数与、、、、常数相关，由以上东西加加减减得到的多为偶函数；1.3单调性与奇偶性综合所有跟奇偶性相关的问题实质上就是一个问题：告诉你一半区间上的性质，让你去求另一半性质．单调性：若一个偶函数在上单调递增，则在上单调递减；若一个奇函数在上单调递增，则在上单调递增．1.4抽象函数的奇偶性奇偶性的问题涉及到一对互为相反数的自变量，这可以提供一些奇偶性问题思考的方向：比如已知一个含参函数的奇偶性求参数的问题中，就可以直接取一对互为相反数的自变量，从而得到函数值相关的一个等式．而抽象函数问题中，也可以通过找一对互为相反数的自变量，与奇偶性建立起联系，【类型1用定义法判断函数的奇偶性】【题1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【题2】判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)【类型2分段函数奇偶性的判断】【题3】判断下列函数的奇偶性．【题4】判断下列函数的奇偶性：.【类型3抽象函数的奇偶性】【题5】已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且．(1)求．(2)证明：．【题6】已知定义在上的函数，满足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判断并证明函数的奇偶性.【题7】已知函数满足．(1)求的值；(2)求证：；【类型4函数奇偶性的应用】角度1：求函数值【题8】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则(

)A．－12 B．12 C．9 D．－9【题9】已知函数为上的奇函数，当时，，则等于（

）A． B． C．1 D．3【题10】已知，且，那么___________【题11】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则___________.【题12】已知函数为奇函数，当时，，求．角度2：求函数解析式【题13】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【题14】已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（

）A．B．C．D．【题15】已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，______．角度3：求参数的值或取值范围【题16】若函数是奇函数，则实数的值为___________.【题17】函数是偶函数，且它的值域为，则__________．【题18】设函数在区间上为偶函数，则的值为___________.【题19】已知函数是定义在上的奇函数，则______.角度4：求函数的值域或最值【题20】已知是定义在上奇函数，且时，，则在上最大值为(

)A．1 B．8 C． D．【题21】若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（

）A． B． C．或 D．不存在【题22】是定义在R上奇函数，且时，，则在上最大值为_____.角度5：解不等式【题23】定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【题24】定义上函数在上单调递增，且偶函数，不等式解集为（

）A．B．C．D．【题25】定义在上偶函数在区间单调递减，若，则实数m取值范围是（

）A． B． C． D．【类型5函数性质的综合应用】【题26】已知函数．(1)若，判断的奇偶性并加以证明．(2)当时，先用定义法证明函数在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值．(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．【题27】已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：.

名校真题练【练习1】已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1），则（）A． B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0【练习2】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x），+∞）上单调递增．若f（3+m）+f（3m﹣7），则m的取值范围为（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）【练习3】已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2），则满足xf（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（0，2）∪（2，+∞） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【练习4】在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）（2﹣x），若f（x）在区间[1，则f（x）（）A．在区间[0，1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B．在区间[0，1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C．在区间[0，1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D．在区间[0，1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数【练习5】已知函数f（x）为偶函数，且在（﹣∞，f（﹣1）＝2，则不等式f（2x+1）（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）【练习6（多选）】已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称的图象的对称中心也是f（x）图象的一个对称中心，则（）A．点（﹣2，0）是f（x）的图象的一个对称中心 B．f（x）为周期函数，且4是f（x）的一个周期 C．f（4﹣x）为偶函数 D．f（31）+f（35）＝2【练习7（多选）】已知函数，则下述结论正确的是（）A．f（x）为奇函数 B．f（x）的图象关于（0，1）对称 C．f（x）在R内是单调增函数 D．关于x的不等式f（x）+f（x﹣2）＞2的解集为（1，+∞）【练习8（多选）】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，（）A．f（0）＝﹣2 B．|f（x）|的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞） C．当x＜0时， D．xf（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）【练习9（多选）】定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）（y），当x＜0时，f（x）＞0（x）满足（）A．f（0）＝0 B．y＝f（x）是奇函数 C．f（x）在[m，n]上有最大值f（n） D．f（x﹣1）＞0的解集为{x|x＜1}【练习10】若函数是奇函数，则f（f（3））．【练习11】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）2﹣x﹣1，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝．【练习12】已知，且f（﹣3）＝﹣5，求f（3）＝．【练习13】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）2﹣2x，则x＜0时，f（x）＝．【练习14】已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）（y）＝f（x+y），且当x＜0时，f（x）（1）求证f（x）为奇函数；（2）试判断f（x）在R上的单调性并证明；（3）解关于x的不等式f（ax﹣1）＜0．【练习15】函数f（x）＝是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且．（1）确定f（x）的解析式；（2）判断f（x）在（﹣2，2）上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【练习16】已知函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣3，3）上的单调性并加以证明；（3）解不等式．第7讲幂函数及其应用【知识点梳理】1.1幂函数的概念幂函数：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．（1）由于对于类似的形式我们研究不了，∴高中只研究是有理数.如：，，，，，，等，而课本中重点研究时的情况.（2）形如都不是幂函数，因此要注意幂函数的书写形式（3）要注意幂函数与指数函数的区别.指数函数：形如，为自变量，自变量在指数位置，底数为常数且为正值；幂函数：形如，为自变量，为常数，自变量在底数位置，常数在指数位置，常数可正可负，即1.2指数函数：1.3幂函数：幂函数的图象与其它函数相比，在理解和记忆上都感到比较困难.主要因为幂函数的图象的位置和形状变化复杂，只要指数稍有不同，图象的位置和形状就可能发生很大的变化.所以有必要对幂函数的图象分布进行一番考查.下面我们就通过举例来研究这类函数的图象和性质：1.4幂函数的图象与性质幂函数的图象当分别为，，，，时，幂函数图象如下图：从这些函数的图象大家可以看到，幂函数随着的取值不同，它的定义域、性质和图象也不尽相同.但它们也有一些共同的性质：1.5幂函数的性质（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；【注】当时，在处也可以取到；当时，在处无意义.（2）如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；（3）如果，则幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴．当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．通过上边的函数图象我们知道有的函数过第一、二象限，有的函数过第一、三象限，又有的函数只过第一象限，而且咱们上边只画了时函数的图象，但如果某一天我们遇到了等时，这些函数的图象应该怎么画呢？你能否马上就画出这个函数的草图呢？那这个又是由谁决定的呢？我们来看一下它的第⑷条性质：（4）幂函数的奇偶性决定幂函数过的象限．奇函数过一、三象限；偶函数过一、二象限；非奇非偶函数只过第一象限．1.6幂函数的图象主要分以下类．⑴当时，图象是过点平行于轴但扣去点的一条“断”直线；⑵当为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点；⑶当为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点；⑷当为负偶数时，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限，但不过原点；⑸当为负奇数时，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限，但不过原点；⑹当为正分数时，设为（，是互质的正整数）．①如果，都是奇数，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点；如是奇函数，图象为：②如果是偶数，为奇数，幂函数为非奇非偶函数，图象在第一象限及过原点；如是非奇非偶函数，∴图象只在第一象限，即③如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点．如是偶函数，图象为：⑺当为负分数时，设为（，是互质的正整数）．①如果，都是奇数，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限；②如果为偶数，为奇数，幂函数的图象只在第一象限；③如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限．如是偶函数，图象为1.7函数值的大小比较及其应用（函数值的大小比较关键在于构造适当的函数）.（1）若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；（2）若指数不同底数相同，则考虑指数函数；【类型1对幂函数的概念的理解】【题1】下列函数是幂函数的是（

）A．y=x2-1 B．y=x【题2】在函数y=1xA．0 B．1 C．2 D．3【题3】已知函数fx=a2-A．-1或2 B．-2或1 C．-1 D．1【类型2求幂函数的函数值、解析式】【题4】已知幂函数y=fx的图象过4,32点，则fA．22 B．4 C．42 D【题5】已知幂函数y=fx的图象过点2,A．y=2x B．y=x C【题6】已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2)A．-3 B．-13 C．13【类型3求幂函数的定义域】【题7】下列函数定义域为R的是（）A．y=x-12 B．y=【题8】函数fx=xA．-∞,+∞B．-∞,0∪0,+∞C．0,+∞D【题9】5个幂函数：①y=x-2；②y=x45；