第五章机械振动

1、第五章 机械振动1 定义：任一物理量在某一定值附近往复变化.2 分类：（1）机械振动 物体围绕一固定位置往复运动. （2）周期和非周期振动（3）简谐运动 最简单、最基本的振动.谐振子 作简谐运动的物体. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.简谐运动复杂振动合成分解一 关于振动的几个概念二 简谐运动的基本特征讨论的步骤：（1）确定振动系统的平衡位置，并以平衡位置为坐标原点，建立坐标系。（2）让系统偏离平衡位置，然后分析系统受力状况，求出系统所受的合外力。（3）根据牛顿运动定律，导出简谐运动的运动微分方程。kl0 xmoAA00Fx以弹簧振子为例介绍简谐运动的基本分析方法和

2、几个基本特征。makxFxtx222ddmk2令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa积分常数，根据初始条件确定)cos(tAxxxFmotx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa1 动力学特征：2 运动学特征：3 能量特征：kxF0dd222xtx简谐运动方程xatAdtdvatAdtdxvtAx22)cos()sin()cos(常量pkEE 简谐运动的判断（满足其中一条即可）xtx222dd2）简谐运动的动力学描述kxF1）物体受线性回复力作用 平衡位置0 x)s

3、in(tAv)cos(tAx3）简谐运动的运动学描述（在无外驱动力的情况下）三 简谐运动的定义)cos(tAx1 振幅maxxA 2 周期、频率2T 周期21T 频率T22 圆频率)(cosTtAtx图AAxT2Tto四 描述简谐运动的物理量tx图AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAxxvvvvkmT2弹簧振子周期注意（1）周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关（2）简谐运动中， 和 间不存在一一对应的关系.1） 存在一一对应的关系;),(vxt202）相位在 内变化，质点无相同的运动状态； 3 相位t3）初相位 描述质点初始时刻的运动状态. ) 0( t20( 取 或 ) (2n

4、n相差 为整数 质点运动状态全同.（周期性）22020vxA00tanxv4 常数 和 的确定A000vv xxt初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAxcos0A2 0sin0Av2 0sin取0, 0, 0vxt已知 求讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto1 单摆 如图所示系统（细线的质量和伸长可忽略不计），细线静止地处于铅直位置，重物位于O 点时为平衡位置. 若把重物从平衡位置O 略微移开后放手, 重物就在平衡位置附近往复的运动这一振动系统叫做单摆. 求单摆小角度振动时的周期lmoA5

5、五 其它形式的简谐运动lmoAmglmglMsin22ddtJmgl2mlJ lgt22dd222ddt)cos(mtlg2令令TFPglT2转动转动正向正向sin,5时时解解2 2 角简谐振子角简谐振子0mm固定点固定点悬丝悬丝参考线参考线（ 为扭转系数）悬丝的恢复力矩MJT2 角简谐振子周期（ J 为角简谐振子转动惯量） 以 为原点逆时针旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动xAoxoAcos0Ax 当 时0t0 x六 旋转矢量法xoAtt t)cos(tAx时 以 为原点逆时针旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动xAo)cos(tAx 以 为原点逆时针旋转矢量 的端

6、点在 轴上的投影点的运动为简谐运动xAo （旋转矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的 图txAAx2AtoabxAA0讨论 相位差：表示两个相位之差 . 1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt0 xto同步 2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它超前落后txo反相例1 一弹簧振子系统，已知 且 时 Akm,0t1）物体从平衡位置向x轴正向运动2）

7、物体从平衡位置向x轴负向运动3）物体在正的12最大位移处向x轴正向运动4）物体在正的12最大位移处向x轴负向运动求：振动方程解：mk)cos(tAx)cos(tmkA以下由旋转矢量法求初相oxA1）物体从平衡位置向 x 轴正向运动2）物体从平衡位置向x 轴负向运动3）物体在正的12最大位移处向 x 轴正向运动4）物体在正的12最大位移处向 x 轴负向运动2A2/12/23/43/3)2cos(tmkAx1）)3cos(tmkAx3）)2cos(tmkAx2）)3cos(tmkAx4）例2 已知一质点作谐振动，曲线如图。求振动方程10. 005. 0)(mx)(sto05. 010. 05解：)

8、cos(tAxmA10. 0由旋转矢量图可知)34(32oroxs5t时s0ts5ts0t时t2t 567)32(25307m)34307cos(10. 0tx5如图 m = 210-2 kg ,弹簧的静止形变为l = 9.8cm；t = 0时，x0= 9.8cm， v0= 0 确定平衡位置： mg=k l 取为原点 令向下有位移 x, 则回复力)cos(tAx1srad10098.08 .9lgmkXOxm例3求（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取 x0=0，v0 0为计时零点,写出振动方 程，并计算振动频率。解该振动为简谐振动，则lmgk)(xlkmgFkx由初始条件得或

9、, 0)arctan(00 xvm098. 0)(2020vxA由x0=0.098m知srad/10振动方程为：(2)按题意 t = 0 时 x0 = 0，v0 011.6Hz22gl0sin0cos 1cosm)10cos(108 . 92tx2m)210cos(108 . 92txXOxmsin()At v)cos(tAx11A1xx01 两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsinAAAAtg)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动七 简谐

10、运动的合成xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1）相位差212k)2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 讨论xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2）相位差) 12(12k) 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx3）一般情况2121AAAAA21AAA2）相位差1）相位差21AAA212k) 1 0( ，k相互加强相互削弱) 1 0( ，k) 12(12k11Axo2 多个同方向同频率简谐运动合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(

11、222tAx)cos(nnntAxA多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动1A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx) 1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3A4AxO5A6A0A),2, 1,(kkNk2） 2kN1）2 k),2, 1,0(k 个矢量依次相接构成一个闭合的多边形 .N讨论3 两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.合振动频率振幅部分tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112讨论 , 的情况 ttAx22cos)22cos

12、2(12121tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx2212T121TtAA22cos2121122)(211max2AA0minA合振动频率振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅 振动频率拍频（振幅变化的频率） 4 两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成质点运动轨迹 （椭圆方程）)cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx（1） 或2012xAAy12讨论（2） 12xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxtAxc

13、os1)2cos(2tAy（3）2121222212AyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx讨论1A2Aoxy 用旋转矢量描绘振动合成图 两相互垂直同频率同相位简谐运动的合成阻尼振动，受迫振动和共振2.2.原因原因: :阻尼力阻尼力系统在振动过程中，受到摩擦、粘滞力等阻力作系统在振动过程中，受到摩擦、粘滞力等阻力作用，能量将随时间逐渐衰减用，能量将随时间逐渐衰减 。1.1.现象：现象：振幅随时间振幅随时间衰衰减减AAtOx阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线dtdxkxdtxdm223.3.振动的动力学方程振动的动力学方程( (以弹簧振子在粘滞液体中运动为例

14、以弹簧振子在粘滞液体中运动为例) )系统受的粘性阻力与速率成正比系统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数比例系数 叫阻力系数。叫阻力系数。kvf022022xdtdxdtxd固有角频率固有角频率: :mk /20阻尼系数阻尼系数: :m2物体不能作往复运动物体不能作往复运动的临界情况，到达平的临界情况，到达平衡位置时间最短。衡位置时间最短。运动没有周期性，经运动没有周期性，经过相当长的时间物体过相当长的时间物体才能回到平衡位置。才能回到平衡位置。过阻尼运动过阻尼运动阻尼越小，越接近谐阻尼越小，越接近谐振动，阻尼越大，振动，阻尼越大，“周期周期”越长。越长。000欠阻尼振动欠阻尼振动临界阻尼运动临

15、界阻尼运动)cos()(00teAtxt220ttecectx)(2)(1202202)(tecctx)()(214.4.振动表达式和振动曲振动表达式和振动曲线线三种阻尼振动的比较三种阻尼振动的比较otx三种阻尼的比较三种阻尼的比较bcaT b b）过阻尼）过阻尼 a a）欠阻尼）欠阻尼 c c）临界阻尼）临界阻尼0005.5.应用举例：电流表、电压表的指针最好处于临应用举例：电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。1. 1. 受迫振动受迫振动振动系统在外界策振动系统在外界策动力的作用下维持动力的作用下维持等幅振动。等幅振动。 2. 2.

16、受迫振动的动力学方程受迫振动的动力学方程设策动力按余弦规律变化设策动力按余弦规律变化 即即tFtFpcos)(tfxdtdxdtxdpcos22022由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有tFdtdxkxdtxdmpcos22即即mFfmmk/2/0)cos()cos(ep0tAtAxt2p22p204)(fA2p20p2tg受迫振动系统达到稳定时应作与策动力频率相同的谐振动。受迫振动系统达到稳定时应作与策动力频率相同的谐振动。受迫振动（定态解）受迫振动（定态解）策动力的角频率策动力的角频率阻尼振动（暂态解）阻尼振动（暂态解）1 1 共振现象：共振现象：受迫振动振幅达极大值，这种现象叫做共振受迫振动

17、振幅达极大值，这种现象叫做共振. .策动力的频率跟系统固有振动频率接近或相等策动力的频率跟系统固有振动频率接近或相等2 2 共振的条件共振的条件2p22p204)(fA0ddpA220r2共振频率共振频率共振振幅共振振幅220r2fA共振频率共振频率220r2共振振幅共振振幅220r2fAPAo共振频率共振频率0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼阻尼阻尼0桥梁桥梁倒塌倒塌雪雪 崩崩机器机器损坏损坏翻翻 船船共振危害共振危害案例案例 基本方法基本方法: :破坏外力的周期性破坏外力的周期性改变外力的频率改变外力的频率改变物体的固有频率改变物体的固有频率增大系统的阻尼增大系统的阻尼乐器的共鸣乐器的共鸣箱箱电磁电磁共振共振核磁核磁共振共振共振利用共振利用案例案例 共振武器共振武器火车的危险速率与轨长 例 车轮行驶到两铁轨接缝处时，受到一次撞击，使车厢受迫振动当车速达某一速率时（使撞