第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

1、第 2 讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：tansincos2六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)22正弦sinsin_sinsincos_cos余弦coscoscos_cossinsin_正切tantantantan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限简记口诀：把角统一表示为k2(kZ)的形式，奇变偶不变，符号看象限做一做1tan 330()A. 3B 3C.33D33答案：D2若 cos13，2，0，则 tan等于()A24B.24C2 2D2 2答案：C1辨明两个易误点(1)在利用同角三角函数的平方

2、关系时，若开方，要特别注意判断符号(2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化2三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式 tansincos化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sincos)212sincos的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan4.做一做3cos203()A.12B.32C12D32答案：C4若 sincos12，则 tancossin的值是()A2B2C2D.12解析：选 B.tancossinsincoscossin1cossin2.,学生用书 P57P58)考点一_利用诱导公式化简三角函

3、数式_(1)sin (1 200)cos 1 290cos(1 020)sin (1 050)_(2) 设 f() 2sin （）cos （）cos （）1sin2cos32sin22(1 2sin 0) ， 则f236_解析(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1050sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos (36060)sin(36030)sin60cos 30cos 60sin 303232121

4、21.(2)f()（2sin） （cos）cos1sin2sincos22sincoscos2sin2sincos（12sin）sin（12sin）1tan，f2361tan2361tan461tan6 3.答案(1)1(2) 3规律方法利用诱导公式化简三角函数式的原则遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少1.(1)sin( 1 071 )sin 99 sin( 171 )sin( 261 ) tan( 1089)tan(540)_(2)化简：tan（）cos（2）sin32cos（3）sin（3）_解析：(1)原式(sin

5、 1 071)sin 99sin 171sin 261tan 1 089tan 540 sin(3360 9 )sin(90 9 ) sin(180 9 )sin(270 9 ) tan(33609)tan(360180)sin 9cos 9sin 9cos 9tan 9tan 180000.(2)原式tancossin 22cos（3）sin（3）tancossin2（cos）sintancoscos（cos ）sintancossinsincoscossin1.答案：(1)0(2)1考点二_利用诱导公式求值_(1)已知 sin312，则 cos6_；(2)已知 tan633，则 tan56

6、_解析(1)362，cos6cos23sin312.(2)656，tan56tan 56tan633.答案(1)12(2)33规律方法巧用相关角的关系会简化解题过程常见的互余关系有3与6；3与6；4与4等，常见的互补关系有3与23；4与34等2.(1)已知 sin71223，则 cos1112_(2)若 tan()12，则 tan(3)_解析：(1)cos1112cos1112cos 12cos12，而 sin712sin212cos1223，所以 cos111223.(2)因为 tan()tan12，所以 tan(3)tan()tan12.答案：(1)23(2)12考点三_同角三角函数基本关

7、系式(高频考点)_同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活在高考中以选择题、填空题的形式出现，高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度：(1)知弦求弦；(2)知弦求切；(3)知切求弦(1)(2015辽宁省五校高三联考)已知 cos235， 且2，32， 则 tan()A.43B.34C34D34(2)已知 tan2，求下列各式的值：2sin3cos4sin9cos；4sin23sincos5cos2.解析(1)因为 cos235，所以 sin35，显然在第三象限，所以 cos45，故 tan34.答案B(2)解：原式2tan34tan92234291.sin2cos21

8、，4sin23sincos5cos24sin23sincos5cos2sin2cos24tan23tan5tan2144325411.规律方法同角三角函数关系式及变形公式的应用：(1)利用 sin2cos21 可以实现角的正弦、余弦的互化，利用sincostan可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用： 对于 sincos， sincos， sincos这三个式子，利用(sincos)212sincos，可以知一求二3.(1)已知是第二象限的角，tan12，则 cos_(2)已知sin3cos3cossin5，则 sin2sincos_(3)(2015浙江杭州模拟)若4，2 ，

9、sin 2116， 则cossin的值是_解析：(1)因为是第二象限的角，所以 cos0，cos0，sincos601690.所以2，34，所以 tan125.答案125名师点评本题利用方程思想，所谓方程思想就是把所研究问题转化为方程式(组)求出未知数及各量的值法一：由 sincos、sincos的值构造一元二次方程，把 sin与 cos看作此方程的两根，即可求出 sin与 cos的值，便可求解法二：利用三角函数的基本关系转化为关于 tan的一元二次方程求解(2013高考课标全国卷)设为第二象限角，若 tan(4)12，则 sincos_.解析：tan(4)12，1tan1tan12，解得 t

10、an 13.(sincos)2sin2cos22sincossin2cos2tan22tan1tan211923119125.为第二象限角，tan13，2k342k，sincos0，sincos105.答案：1051若2，2 ，sin35，则 cos()()A45B.45C.35D35解析：选 B.因为2，2 ，sin35，所以 cos45，即 cos()45.2已知 sin() 3cos(2)，|2，则等于()A6B3C.6D.3解析：选 D.sin() 3cos(2)，sin 3cos，tan 3.|2，A2B0，B2A0，sin Asin2Bcos B，sin Bsin2Acos A，c

11、os Bsin A0，点 P 在第二象限3已知 cos(75)13，18090，则 tan(15)_解析：由18090，得1057515，故 sin(75) 1cos2（75）2 23.而 cos(15)cos90(75)sin(75)，sin(15)sin90(75)cos(75)，所以 tan(15)24.答案：244设函数 f(x)sin xcos x，f(x)是 f(x)的导数，若 f(x)2f(x)，则sin2xsin 2xcos2x_解析：f(x)sin xcos x，f(x)cos xsin x，sin xcos x2(cos xsin x)，即 3sin xcos x，得 ta

12、n x13，于是sin2xsin 2xcos2xsin2x2sin xcos xcos2xtan2x2tan x192359.答案：595已知 sin2sin，tan3tan，求 cos.解：sin2sin，tan3tan，sin24sin2，tan29tan2.由得 9cos24cos2.由得 sin29cos24.又 sin2cos21，cos238，cos64.6(选做题)已知 f(x)cos2（nx）sin2（nx）cos2（2n1）x(nZ)(1)化简 f(x)的表达式；(2)求 f2 016 f1 0072 016的值解：(1)当 n 为偶数，即 n2k(kZ)时，f(x)cos2（2kx）sin2（2kx）cos2（22k1）xcos2xsin2（x）cos2（x）cos2x （sin x）2（cos x）2sin2x(n2k，kZ)；当 n 为奇数，即 n2k1(kZ)时，f(x)cos2（2k1）xsin2（2k1）xcos22