第二章投影基础

1、第二章 投影基础2-1 点的投影点的投影2-2 直线的投影直线的投影2-3 平面的投影平面的投影例题例题1例题例题22-1点的投影点的投影三、点的直角坐标与三面投影的关系三、点的直角坐标与三面投影的关系二、三投影面体系中点的投影二、三投影面体系中点的投影一、三投影面体系的建立一、三投影面体系的建立五、两点的相对位置关系五、两点的相对位置关系四、三投影面体系中点的投影规律四、三投影面体系中点的投影规律基本要求1、 熟练掌握点在第一分角内不同位置的投影特性及作图方法；2、 熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系；3、 掌握两点的相对位置关系及重影点可见性的判别。 一、三投影面体系的建立一、三投影面体

2、系的建立水平投影面 H HV OX正面投影面 V V W OZ 侧面投影面 W HW OY ZYWO两投影面体系及三投影面体系的建立两投影面体系及三投影面体系的建立 三投影面体系由V、H、W 三个投影面构成。H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。O二、二、 三投影面体系中点的投影三投影面体系中点的投影点A的水平投影 a 点A的正面投影 a点A的侧面投影 aHa aa VWXOZYWYHaaaA 1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA 三、

3、点的直角坐标与三面投影的关系三、点的直角坐标与三面投影的关系VXZYWOayaxazxyzaaaA1. aa OX轴，aaz = aay = XA2. aaOZ轴， aax =aa y = ZA3. aax = aaz =YA四、三投影面体系中点的投影规律四、三投影面体系中点的投影规律HVOXb bc cCcca bBb Aaa a五、五、 两点的相对位置两点的相对位置两点中x坐标差值大的点 在左两点中y坐标差值大的点 在前 两点中z坐标差值大的点 在上a a ab b bBAcd(c)dCDa(b)abAB六、六、 重影点的投影重影点的投影a例题一例题一已知点已知点A的正面与侧面投影，求点的

4、正面与侧面投影，求点A的水平投影。的水平投影。a a a985例题二例题二已知点已知点A在点在点B之前之前5毫米，之上毫米，之上9毫米，之右毫米，之右8毫米，求点毫米，求点A的投影的投影。一、一、 直线的投影直线的投影2-2直线的投影直线的投影二、二、 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置六、六、 直角投影定理直角投影定理三、三、 一般位置线段的实长及它与投影面的夹角一般位置线段的实长及它与投影面的夹角四、四、 属于直线上的点属于直线上的点五、五、 两直线的相对位置两直线的相对位置 基本要求基本要求 基本要求基本要求一、一、 直线的投影直线的投影 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。

5、abc(d)一、特殊位置直线1.直线平行于一个投影面 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线2.直线垂直于一个投影面 (1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线3.从属于投影面的直线 从属于投影面的直线 从属于投影面的铅垂线 从属于投影轴的直线二、一般位置直线二、二、 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置(1) 水平线水平线 只平行于水平投影面的直只平行于水平投影面的直aababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3反映、 角的真实大小（2）正平线）正平线只平行于正面投影面的直线只平行于正面投影面的直线aabab

6、bXabab baOZYHYWAB 投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 a b=AB 3 反映、角的真实大小（3）侧平线）侧平线只平行于只平行于侧侧面投影面的直线面投影面的直线aa b a bbAB投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH 2 ab =AB 3反映 、 角的真实大小XZa b bbaOYHYWab a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1 a b 积聚 成一点 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB（1）铅垂线）铅垂线 垂直于水平投影面垂直于水平投影面的直线的直线AB（2）正垂线正垂线 垂直于垂直于正面正面投

7、影面的直线投影面的直线bababa投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OX ; ab OZ 3 ab = ab =ABABzXab baOYHYWab（3）侧垂线）侧垂线 垂直于垂直于侧面侧面投影面的直线投影面的直线投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OYH ; ab OZ 3 ab = ab =ABABbaababZXabbaOYHYWab从属于从属于V 面的直线面的直线ZXabaOYHYWabbBbbabaA a从属于从属于V 投影面的铅垂线投影面的铅垂线ZYWbXaba(b)OYHa从属于从属于OX轴的直线轴的直线ZXabaOYHYWabb二、一般位置直线二、一般位置

8、直线ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：1 a b、 ab、a b均小于实长 2 a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3不反映 、 、 实角四、作图1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角 例题1三、三、 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角一般位置线段的实长及其与投影面的夹角|zA-zB |AB1 求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab2 求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角|yA-y

9、B|aXabbabABABab|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角角ABbbabaa|xA-xB|xA-xB|例题1 已知已知 线段的实长线段的实长AB，求它的水平投影。，求它的水平投影。a|zA-zB| abABab|zA-zB|直线上的点具有两个特性： 1从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用这

10、一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。 例题2 例题3 例题4四、四、 属于直线的点属于直线的点cc 例题例题2 2 已知线段AB的投影图，试将AB分成21两段，求分点C的投影c、c 。例题例题3 3 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。cccabc例题例题4 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。cLABzA-zBcab五、五、 两直线的相对位置两直线的相对位置 （1）平行两直线（2）相交两直线 （3）交叉两直线（4）交叉两直线重影点投影的可见性判断 例题5 例题6 例题7（1）平行两直线）平行两直线

11、 1若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各组同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。 2平行两线段之比等于其投影之比。baadbbccXbaabdcdc（2）相交两直线）相交两直线 当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间点的投影规律，反之亦然。bXaabkcddck（3） 交叉两直线交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的两直线为交叉两直线。 b Xa abc d dc11 (2 )2（4）交叉两直线重影点投影的可见性判断）交叉两直线重影点投影的可见性判断(3 )4 1(2)43341 2 12例题例题5 5 判断两直线的相

12、对位置dacboYWYHz例题例题6 6 判断两直线的相对位置11dc 11例题例题7 7 判断两直线重影点的可见性3(4)34121(2)六、六、 直角投影定理直角投影定理（一）、垂直相交的两直线的投影定理一定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。（二）、交叉垂直的两直线的投影定理三定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线

13、平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。例题8例题9例题10（一）、垂直相交的两直线的（一）、垂直相交的两直线的投影投影cXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab acAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac（二）、交叉垂直的两直线的（二）、交叉垂直的两直线的投影投影例题例题8 8 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。bbf例题例题9 9 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。feeb 例题例题1010 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB =23。bcABab|yA-yB|bc=BCcaa2-3 平面的投影平面的投影一、一、 平面的表

14、示法平面的表示法二、二、 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性三、三、 属于平面的点和直线属于平面的点和直线 基本要求基本要求基本要求基本要求1.掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹线表示法。掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹线表示法。2.熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法，能由以知熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法，能由以知平平面的两个投影求作其第三投影。面的两个投影求作其第三投影。3.掌握平面内的点和线的几何条件及作图方法。掌握平面内的点和线的几何条件及作图方法。4.掌握平面内投影面平行线及投影面最大斜度线的投影特性掌握平面内投影面平行线及投影面最大斜度线

15、的投影特性和和作图方法。作图方法。一、平面的表示法一、平面的表示法（一）、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。（二）、平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。 l（一）、用几何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcdd（二）、（二）、 平面的迹线表示法平面的迹线表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ二、二、 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性（一）、投影面的垂直面1铅垂面2正垂面3侧垂面（二）、投影面的

16、平行面1水平面2正平面3侧平面（三）、一般位置平面PPH1铅垂面铅垂面投影特性 (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为ABC的类似形 (3) abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小 ABCacbabab bab ccc铅垂面迹线表示法铅垂面迹线表示法PHPPHQQV 2正垂面正垂面 投影特性 (1) abc 积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OX、 OZ的夹角反映、 角的真实大小 AcCabBbababaccc正垂面的迹线表示法正垂面的迹线表示法 QQVQVSWS 3侧垂面侧垂面投影特性 (1) abc积聚为一条线 (2) abc、

17、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OZ、 OY的夹角反映、角的真实大小 CabABcbababaccc侧垂面的迹线表示法侧垂面的迹线表示法VWSwSZXOYSwY1水平面水平面投影特性： (1) abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影 abc反映 ABC实形 CABabcbacabccabbbaacc2正平面正平面投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影 abc反映 ABC实形 cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面投影 abc 反映 A

18、BC实形 3侧平面侧平面abbbacccabcbacabcCABa（三）、一般位置平面（三）、一般位置平面投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 不反映、 的真实角度 abccabbaaabbccbacABC（一）、属于一般位置平面的点和直线（二）、属于特殊位置平面的点和直线（三）、属于平面的投影面平行线（四）、属于平面的最大斜度线三、三、 属于平面的点和直线属于平面的点和直线1平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、

19、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。例题1 例题2 例题3（一）、属于一般位置平面的点和直线（一）、属于一般位置平面的点和直线1取属于平面的直线取属于平面的直线 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。EDFddeeff 2取属于平面的点取属于平面的点 取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线EDddee例题1 已知已知 ABC给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点D是否属于该平面。是

20、否属于该平面。ddee例题2 已知点已知点D在在 ABC上，试求点上，试求点D的水平投影的水平投影 。dd例题3 已知点已知点E在在 ABC上，试求点上，试求点E的正面投影的正面投影 。ee（二）、属于特殊位置平面的点和直线（二）、属于特殊位置平面的点和直线 1取属于投影面垂直面的点和直线 2过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3过特殊位置直线作平面 (1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面bbl1 取属于投影面垂直面的点和直线aaeffeabbaSbaabABl2过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作铅垂面PH过一般位置直线A

21、B作正垂面SVPPHSVABl(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面l(几何元素表示法)mn(n)(m)(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法迹线表示法)baSVQWPHl(1) 过正垂线作平面 (迹线表示法)PVSVQVRV（a ）给题（c）作侧垂面（ b）作正平面（d）作正垂面（有无穷多个）l(2) 过正平线作平面PHSHgg（a ）给题（c）作正垂面（ b）作正平面（d）作一般位置平面（有无穷多个）（三）、属于平面的投影面平行线（三）、属于平面的投影面平行线属于平面的水平线和正平线 例题4 例题5平面上投影面平行线平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的直线。既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平面上对在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影平行线。投影面分别有三组投影平行线。平面上的投影平面平行线既具有投影面平行线的投影性质与所平面上的投影平面平行线既具有投影面平行线的投影性质与所属平面保持从属关系属平面保持从属关系Pl属