2019年黑龙江省哈尔滨六中高考数学三模试卷(理科)(解析版)

1、2019年黑龙江省哈尔滨六中高考数学三模试卷（理科）、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(3 分)设集合 U=xNx2- 4x- 5 0B.f(x)v0步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一C .J4ir：11.( 3 分)长方体 ABCD - AiBiCiDi中，.；.，点 N 是平面 AiBiCiDi上的点，且满足 11- ；：,当长方体 ABCD - AiBiCiDi的体积最大时，线段 MN 的最小 值是()A .叫汁B . 8C.；D .!V；

2、/i2.( 3 分)已知 f (x)是定义在R上的可导函数，且满足(X+2)f (X)+xf (X)0,则( )X1、X2,使得对任意实数 x 总有f(Xi)w f (x)w f(X2)成立，则 A|X1- X2|的最小值为()A -BC：D.厂)的最大值为 A，若存在实数A. f (x) 0B.f(x)v0C. f (x)为减函数、填空题(把答案填在题中横线上)22、,14. (3 分)若直线 ax+by+1 = 0 (a0, b0)把圆(x+4)+ (y+1)= 16 分成面积相等的两部分，+的最小值为2a b-15.(3 分)抛物线 y2= 4x 的焦点为 F，其准线为直线 I，过点 M

3、 (5, 2 =)作直线 I 的垂线，垂足 H，则/ FMH 的角平分线所在的直线斜率是 _ .9a16.(3 分)数列an满足 ai= , an+1=，则数列an的前 750 项和 S75032(2n+l) an+l三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 已知函数 f (x)= 2sinxcosx+2 灯 1cos2x -(1) 求函数 y= f (x)的最小正周期和单调递减区间；(2)已知 ABC 的三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,其中 a = 7,若锐角 A 满足 f (丄)=且 sinB+sinC =-，求 ABC 的面积.261418.中国

4、特色社会主义进入新时代，中国经济出现了一系列不一样的速度.(如图)，2011 年起年主营收入 2000 万以上的工业企业成为规模以上工业企业.据了解，规模以上工业企业占全国工业企业总数的20%，但其产值在全国工业企业产值中所占比例超过90%，在国民经济中起到了举足轻重的作用.在科技高速发展的今天科技进步对经济的影响日益增加，2017 年全球企业研发投入排行榜中前50 名中国仅有华为上榜， 而且据统计全国仅有 12%的规模以上工业企业设立了研发机构.D. f (x)为增函数(a、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、b 的值，进而可得 a+b =脱以上T业及H：般产业帥血增運匸、规模口上蚀

5、増加瞒建规模虹胃技棉琏业馴鱷速现则肽嫌醸行业幡训艇2013 20114 2015 2016 2017注：应技术制蛊业他括医m业.就空，嶽天SfiiSft制谨 业”电子矗通信设询K造业等：六大盲範龍行业包播石油拥匸炼蛊 和核體料加1：业$團图年份20132014201520162017贡献率%52.553.85556.257.5(1)现对 20 家规模以上工业企业进行调查，求恰有两家设置了研发机构的概率(只列式不求)；(2)国家长期科学与技术发展规划纲要中提出“到2020 年力争科技进步对经济增长贡献率达到 60% ”，如图若科技进步对经济增长的贡献率与年份呈线性关系，设乂=年份-2012，求出

6、科技进步对经济增长的贡献率y 关于 x 的回归直线方程(精确到0.01),并预测 2020 年能否实现目标；(3) 结合图，请为中国未来经济发展提出合理化建议.(1)求椭圆 C 的方程;在求直线方程；若不存在，说明理由.20.在如图所示的六面体中，面ABCD 是边长为 2 的正方形，面 ABEF 是直角梯形，/ FAB1510Snn_ E(y-y)E垃化勺河i i=li=l匕r_E)2 xL2-n72i=l nn ； xiyi= 837.4,丄 x = 55i=li=l119.已知椭圆C 弓+岭=1(ab0), F / b2(1, 0)为右焦点，过 F 的直线 I 交椭圆 C 于M , N 两

7、点，当直线 I 垂直于 x 轴时，直线OM 的斜率为丄上，其中 O 为坐标原点.(2)若点 P 为椭圆上一动点，是否存在直线I，使得四边形 ONPM 为平行四边形，若存科扌支进件:科技进歩对蛉济增长的 贞献帑楚播广畑术进址对养济 增尺的罚献份緬.即抓除r憐本 和劳动之外的直他I q霖对绅挤堆 圧的必献=90, AF / BE, BE = 2AF = 4.(1)求证：AC /平面 DEF ;(2 )若二面角 E - AB - D 为 60。，点 P 在线段 BE 上，当二面角 F - AC - P 的余弦值为 二丄时，求二 1.3 BE(I)若 f (x)在(2, +8)上存在极值点，求 a 的

8、取值范围;(H)设 xi (0,1),X2 (1,+8)，若 f(x2)-f(xi)存在最大值，记为 M(a).则a 01. 【分析】根据题意，求出集合U，由补集的定义计算可得答案.2【解答】解：根据题意，集合 U = xN|x - 4X-5 0 = 0,1 , 2, 3, 4, 5,又由 A= 1 , 2, 4，则?uA=0, 3, 5;故选：B.【点评】本题考查补集的计算，关键是求出全集，属于基础题.2. 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【解答】解：复数 z=J_= ： J =一，则复数 z 在复平面内对应的点l-2i5:位于第一象限.55故选：A.【点评】本题考查了复数的运

9、算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题.3. 【分析】根据方程表示双曲线求出 m 的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断 即可.22【解答】解：若方程、+-= 1 表示双曲线，m-1 ni-2贝9(m-1) (m-2)v0，得 1vmv2,2 2贝厂1vmv2”是“方程+= 1 表示双曲线”的充要条件，m-1 in-2故选：C.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线方程的特点求出m 的取值范围 是解决本题的关键.4. 【分析】 直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案.【解答】解：tl 丄平面a,直线 m?平面3.若a/ 3贝yI 丄平面3

10、,有 I 丄 m,正确;2如图，由图可知不正确；3直线 I 丄平面a,l / m, ma,又 m?平面3, I a丄3,正确；4由图可知不正确.正确的命题为.故选：D.【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中的点线面的位置关系，是中档题.5.【分析】根据题意，求出向量；-：的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得若1丄(7- ：J,则有(I- )= 2 (2 - x) +3X(- 1)= 0,解可得 x 的值，即可得答案.【解答】解：根据题意，向量i=(2, 3), I：=( x, 4),贝U =( 2 - x, - 1),若丄(I - ),则有i?( i-l】)=2 ( 2

11、- x) +3x(- 1)= 0 ,解可得：x=12故选：B.【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系.6.【分析】利用通项公式即可得出.【解答】解：通项公式 Tw=I-=( - 1)r?25-r-x5-2r,5X5令 5 - 2r = 3，解得 r = 1 .展开式中 x3项的系数= - 80.故选：B.【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7.【分析】先讨论当选 2 名男教师和 1 名女教师时，不同的选法种数，再讨论当选 2 名男教师和 1 名女教师时时，不同的选法种数，然后相加即可【解答】解：当选 2 名男教师和

12、1 名女教师时，不同的选法种数有-| （种）当选 1 名男教师和 2 名女教师时时，不同的选法种数有1 二_4 I （种）故男女至少各有一人，则不同的选法共有30+40 = 70 （种）故选：B.【点评】本题考查了分步计数原理及分类计数原理.&【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以一为公比的等比数列，由 S6= 378 求得首2项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程.【解答】解：记每天走的路程里数为 an,由题意知an是公比書的等比数列，由 S6= 378,得.=378,解得：a1= 192,- I：! = 12 （里）故选：C.【点评】 本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础

13、题，解题时要认真审题，注意等 比数列的性质的合理运用.9. 【分析】根据条件判断对应的点的符号是否一致，利用排除法进行判断即可._ 1【解答】解：f （10，排除 D, f （- 1）=-=- 一 V 0,排除 B,e2+le_+l1+e2C故选：A.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法是解决本题的关键.10.分析】先化简 f（x）= 2sin （ 2019X+斗），得 A = 2,根据题意即求半个周期的 A 倍.【解 答】 解： 依 题 意 f （ x ）=sin 2019xcos+cos2019xsin +cos2019xcos+sin 2019 xsin6633= 0,

14、 x 0 时，G( x) 0, xv0 时，G( x)v0,故 G(x)在(-a,0)递减，在(0,+s)递增，故 G (x) G (0)= 0,1：又 x = 0 时，（0+2） f （0） +0?f（ 0） 0,故 f （0） 0,故选：A.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，构造函数g （x）= x2?ex?f（x）是解题的关键，本题是一道中档题.二、填空题（把答案填在题中横线上）213.【分析】观察所给的等式，照此规律，第7 个等式中：a= 7, b = 72- 1 = 48,即可写出结果.故答案为：55【点评】 本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看

15、清楚式子中的项与项 的数目与式子的个数之间的关系.14.【分析】由题意，圆心（-4，- 1 ）代入直线 1: ax+by+1 = 0，可得 4a+b= 1，利用1”的代换，结合基本不等式求最值，即可得出结论.【解答】解：由题意，圆心（-4，- 1）代入直线 1: ax+by+1 = 0，可得 4a+b = 1，+一=( 1+ ) (4a+b)2a b2a b当且仅当=丄且 4a+b= 1，2a b+的最小值为 8，2a b故答案为：&【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及基本不等式的运用，关键是分析得到直线ax+ by+1 = 0 过圆的圆心，是基础题.15.【分析】由抛物线定义可知|MH|=

16、 |MF|，进而可推断出/ FMH 的角平分线所在的直线经 过 HF 的中点，禾 U 用斜率的两点式即可得到结论.=4+4= 8，【解答】解：连接 HF，因为点 M 在抛物线 y2= 4x 上,所以由抛物线的定义可知|MH|= |MF |，【点评】在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用抛物线定义有M 满足定义，它到准线的距离为 d,则|MF|= d,可解决有关距离、最值、弦长等问题;二是利条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.=2(2n+1),然后 bn=通an16.【分析】本题可将递推式倒过来， 通过计算可得an+l过用累加法求出 bn的通项公式，然后再求出

17、 an的通项公式，然后对 an的通项公式进行裂项，在求和的时候即可相消得到S750的值.【解答】解：由题意，可将递推式倒过来，得:+2 (2n+1),an+lan则有：-=2 (2n +1) an+11I 3可令 bn=则：b1= =J2bn+1 bn= 2 ( 2n+1) .b3-b1f,所以 MHF 为等腰三角形,所以/ FMH 的角平分线所在的直线经过 HF 的中点,因为 F (1, 0), H (- 1 , ，2 血),所以HF的中点为(0，二)，所以/FMH的角平分线的斜率为二故答案为:Vsb2-bi=2x(2x1+1),b3-b2=2x(2x2+1),bn-bn-1=22(n-1)

18、+1.各项相加，可得：bn=i+2x(2X1 + 1)+2X(2X2+1)+22(n-1)+1=+2x2x1+2+(n-1)+1x(n-1)2=+2xn(n-1)+n-12=2n2-.2a=1 1 2 2 =1_1 九：_1匸：一、c2S750a1+a2+a3+a7501 -1 +丄-33557149915011501= 1500R .故答案为：j1.1501【点评】 本题主要考查通过递推公式求数列的通项公式，可采用常用的倒过来的技巧，以及累加法求数列通项公式的应用，采用裂项相消法求数列的前n 项和的方法.本题属中档题.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 【分析】（1）运

19、用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数 的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；（2）由条件-丄 -可得角 A，再运用正弦定理可得 b+c 13,由余弦定理，2 1 *可得 be 40,由三角形的面积公式计算即可得到所求.(2) : ；， ,18【解答】 解：(1)._：.!：.-L1.-L二-21：- -，因此 f(x)的最小正周期为1-.2，可得由 I.-2xkn+WxWkn+,k Z,12 12.-I(kZ)；12即 f(X)的单调递减区间为 _.12(2)由.1 I. !：1 11?一;，又 A 为锐角，则一3由正弦定理可得 . -,sinA型v32R 14则.

20、 _-由余弦定理可知，_丄_：_巴 _一2bc2bc2可求得 be = 40,故一十 I一冲一：.一2bc【点评】 本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.【分析】(1)显然“恰有两家设置了研发机构的概率”符合二项分布概型，代入公式即可;(2)求得：，代入.，|的计算公式，求出回归直线方程后代入x= 8 即可;(3)根据两图的变化趋势，给出合理化建议.【解答】解：(1)设事件 A:恰有两家设置了研发机构，则 P (A) =7. (12%)2(88%)18；;(2) : ；， ,1X52. 5+2X53阳3X5

21、5+4X 5& 2+5X 5匚5-5X 3X各l2+ 2Z+ 3+ 42+ 5-5X32i=l1.24.回归直线方程为，一 |7 . ： ；当 x = 8 时，：二:厂，60，能实现目标.(3 )建议发展规模以上工业企业的，增加对科技研发的投入.【点评】本题考查统计概率中的二项分布，回归直线的求法，是中档题.19.【分析】(1)先求出直线 I 垂直于 x 轴时，M ( c, ),利用直线 0M 的斜率为一, a3建立方程：；-二- . ,求得 a =二，根据 a, b, c 的关系求出椭圆方程；(2)假设存在直线 I，使得四边形 ONPM 为平行四边形，其充要条件为：- I门，则点 P 的坐标

22、为(X1+x2, y1+y2).由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线I 的方程.解得 a=W.: , b= “寸_ $?22故椭圆 C 的方程为-；(2)设 I: x= my+1, M (xi, yi), N (X2,K=my+122,整理得(2m +3) y +4my- 4 = 0.L2x2+3y =6假设存在直线 I,使得四边形 ONPM 为平行四边形,Z打珥亠i=l【解答】解：(1)v椭圆 C:a2b21 (a b 0), F (1, 0)为右焦点, c= 1,过 F 的直线 I 交椭圆 C 与M , N 两点,K2当直线 I 垂直于 x 轴时，M (c ,),直线 0M 的斜率为主丄

23、3b2T b2-二- 二c ay2), P (xo, yo).联立*其充要条件为匚 iY- ,x0= X1+X2, yo= y1+y2, 即P（1, 一 二）.2m +32m +3点 P 在椭圆上，“=；,解得 |2m+32+32i=y+b 使得四边形 ONPM 为平行四边形.2综上，存在直线 I:【点评】 本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题.20.【分析】（1）连接 AC, BD 相交于点 O,取 DE 的中点为 G,连接 FG , OG.只证 AC/ FG,即可.（2）先证 EC 丄平面 ABCD，再以 C 为坐标

24、原点，CB 为 x 轴、CD 为 y 轴、CE 为 z 轴建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.【解答】证明：（1）连接 AC, BD，交于点 O,取 DE 的中点为 G,连接 FG, OG .贝 U OG /丄邛，OG=.,又因为 AF /丄 BE, AF =；：,2iLr所以四边形 AOGF 是平行四边形，所以 AC / FG ,又 FG?平面 DEF , AC?平面 DEF , AC/平面 DEF .解：（2） ABCD 是正方形，ABEF 是直角梯形,/FAB=90,DA 丄 AB,FA 丄 AB,ADnAF=A,AB 丄平面 AFD，同理可证 AB 丄平面 EBC .又因为二面角 E

25、- AB - D 为 60,/ FAD 为二面角 E- AB - D 的平面角,所以/ FAD =/ EBC= 60，所以 BE= 2AF = 4, BC = 2，所以 EC 丄 BC,因为 AB 丄平面 EBC，得 AB 丄 BC,所以 EC 丄平面 ABCD .以 C 为坐标原点，CB, CD , CE 所在直线分别为 x ,y, z 轴正方向建立空间直角坐标系,则 C (0, 0, 0), D (0, 2, 0) , E (0 , 0 , 2 ；),A (2, 2, 0), F (1 , 2, V3),设平面 FAC 的法向量为 =（x, y, z） ,2,2 , 0 ),._=( 1

26、, 0,-：、),ill vniLATufLL 11贝 V * *,取 z= 1 ,得 IT51),ropAF=K-/3z=0由题意知BP-XBE=(- 2,0,-忑)，P(2- 2 入)，设平面 PAC 的法向量为n=(x, y, z), CA=( 2, 2, 0), CP=( 2 - 2 入 0,2庇), 则匡呼戒尸，取yW得U),npCP=(2-2入)卄庁人卫二0所以 Icosv . 1=_二=丄厶 整理，得 49 *- 14 X- 2 = 0,ln|-|n|3由 0VXV1,解得打.故二= 7 BE 7【点评】本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基 础知识

27、，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，属于中档题.【分析】(I)求出函数 f(x)的导数，得到 a= x+在 x(2, +g)上有解，由 y= x+XX1 R在 x (2, +g)上递增，得 x+丄 (, +g),求出 a 的范围即可；X 2(H)求出函数f(X)的导数，得到f(X2)-f(X1)max=f(n) -f(m),求出 M(a)=f (n)- f (m)= aln 旦+ (m- n) + (丄-亠)，根据函数的单调性求出 M ( a)的最大IDn in值即可.2 .【解答】解：(I)f(x)= = -1-= _ 二一,x (0,+g),* K/由题意得，x2- ax+1

28、= 0 在 x (2, +g)上有根(不为重根)，即 a = x+丄在 x (2, +g)上有解，21由 y = x+_在 x (2, +8)上递增，得 x+丄 (卫_, +,xx 2检验，a 时，f (x)在 x (2, +上存在极值点，2二 a (2_,+8)；2(H)若 Ovaw2f( x)=1 在(0, +8)上满足 f ( x)w0, f (乂)在(0, +8)上递减， f (x2) - f (x1)v0,min=aLmn=l对任意 X2 (1, +8)，有 f (X2)wf ( n), - f ( x2)- f ( X1)max= f(n)- f( m), M (a) = f (n

29、)- f (m)= aln 二 + (m - n)设 h (x)= 2 (丄+x) lnx+2 (丄-x), x (1, e,h( x)= 2 (1 -) Inx, x (1, e, h(x) 0,即 h (乂)在(1, e递增,a -h(x)max=h(e)=,e M (a)存在最大值为 .e【点评】 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道 f( X2)f （X1）不存在2方程 xax+1 =0 有 2令其为 m,n,且不妨设Ovmv1vn,f (x)在(0, m)递减,在（m, n）递增，在（n, +8）递减,对任意 xi (0, 1),有f (xi) f(m),+ (),nIDm=亠代入上式，消去 a,n+ (丄-n),丄 +nwe+丄,n1,ne将 a = m+n = + n,nM (a)=