直线与平面的所成角

1、直线与平面的所成角直线与平面的所成角 1A Al1l 点点A A1 1是点是点A A在平面上的射影在平面上的射影直线直线l l1 1是直线是直线l l在平面上的射在平面上的射影影n 如图，当直线如图，当直线l l与平面与平面相交且不垂直时，叫做直相交且不垂直时，叫做直线线l l与平面与平面斜交斜交，l l叫做平面叫做平面的的斜线斜线。n如图，设直线如图，设直线l l与平面与平面斜交于点斜交于点M M， M M为斜足，过为斜足，过l l上上任意任意点点A A，作平面，作平面的垂线，垂足为的垂线，垂足为O O，直线，直线OMOM叫叫做直线做直线l l在平面在平面上的上的射影射影. .n规定规定直线

2、直线l l与其在平面与其在平面上的上的射影射影所成的所成的锐角锐角叫做直叫做直线线l l与平面与平面所成的角所成的角. . lMAO直线和平面所成角直线和平面所成角 当直线当直线l l与与平面平面垂直时垂直时, ,它们所成的角等它们所成的角等于于9090； 当直线当直线l l与平面与平面平行或直线平行或直线l l在平面在平面上上时时, ,它们所成的角为它们所成的角为0 0. .直线与平面所成角的范围直线与平面所成角的范围 . . 斜线与平面所成角的范围斜线与平面所成角的范围 . .0,20,2特别的：特别的：例例1：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）AB1在面在面

3、CDD1C1中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB线段线段C1D例例1：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB例例1：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面BB1D1D中的射影中

4、的射影A1D1C1B1ADCBE线段线段B1E例例1：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影A1D1C1B1ADCBO线段线段B1O例例2：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB0o例例2：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中

5、，（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB90o例例2：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB45o求直线与平面所成的角的一般步骤求直线与平面所成的角的一般步骤: :(1)(1)作射影作射影-作出直线在平面内的射影作出直线在平面内的射影; ;(2)(2)判断判断-找到所要求的线面

6、角找到所要求的线面角; ;(3)(3)计算计算-解三角形求出这个角解三角形求出这个角.例例3:3:如图如图,P,P为为ABCABC外一点外一点,PA,PB,PC,PA,PB,PC两两垂两两垂直直,PA=PB=PC=a,PA=PB=PC=a,求求PCPC与平面与平面ABCABC所成角的大小。所成角的大小。CBPA在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中(1)求求BD1和面和面A1ADD1所成的角所成的角余弦值余弦值AA1BB1CC1DD1在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中(2)求求A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角AA1BB1CC

7、1DD1E 已知已知AB是平面是平面 的一条斜线的一条斜线, B为斜足为斜足, AO , O为垂足为垂足, BC为为 内一条直线内一条直线, ABC=600, OBC=450, 求斜线求斜线AB与平与平面面 所成的角所成的角BOCA在正四面体在正四面体ABCD中中,E为棱为棱AD的中点的中点(1)求求AD与平面与平面BCD所成的角所成的角(2)求求CE与平面与平面BCD所成的角所成的角ABCDEMFO一个重要的推论一个重要的推论,AB ACAD 是 的斜线线,若若 DAC= DAB,则则 AD 在在 内的射影平分内的射影平分BACABECD如图所示如图所示,四棱锥四棱锥P-ABCD中中,底面底面ABCD是矩形是矩形, PD底面底面ABCD, AD=PD, E, F分别是分别是CD, PB的中点的中