第3章离散傅里叶变换(DFT)-bao

1、第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)卢光跃卢光跃 教授教授通信与信息工程学院3.1 3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 3.2 3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质3.3 3.3 频率域采样频率域采样3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例第3章 离散傅里叶变换(DFT)第三章 学习目标 理解理解Fourier变换的几种形式；变换的几种形式； 理解离散傅里叶变换及性质，掌握理解离散傅里叶变换及性质，掌握循环移位循环移位、循环共轭对循环共轭对称性称性，掌握，掌握 循环卷积、线性卷积及二者之间的关系；循环卷积、线性卷积及二者之间的关系； 掌握

2、掌握频域采样理论频域采样理论； 理解频谱分析过程理解频谱分析过程。连续连续=非周期非周期离散离散=周期周期四种傅里叶变换形式的归纳四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数时间函数 频率函数频率函数 连续和非周期连续和非周期 非周期和连续非周期和连续 连续和周期连续和周期（Tp） 非周期和离散非周期和离散（0=2/Tp） 离散离散（T）和非周期和非周期 周期周期（ s=2/T ）和连续和连续 离散离散（T）和周期和周期（Tp） 周期周期（ s=2/T ）和离散和离散（0=2/Tp） nx nx周期延拓周期延拓取主值取主值 kX周期延拓周期延拓取主值取主值DFTIDFT kXDFSIDFSDFTDFT即

3、即DFSDFS只不过时、频域各取一个主值而已只不过时、频域各取一个主值而已3.1 离散傅里叶变换的定义 一一. DFT. DFT的定义的定义1. 1. 周期延拓（以周期延拓（以N为周期）为周期）nNnnxnx其他010)()(rrNnxnx)()( 用用(n)N表示表示（n mod N），其数学上就是表示，其数学上就是表示“n对对N取余数取余数”， 或称或称“n对对N取模值取模值”。 令令 mNnn10n1N-1, m为整数为整数 则则n1为为n对对N的余数。的余数。 NnxNnxnx)()mod()(8)1() 1(xx)5(x例如例如: : 是周期为是周期为N=8的序列，则有：的序列，则有

4、： )(nx8)13()13(xx)7(x2. 2. 取主值取主值)()()(nRnxnxN)()()()()(kRkXkXkXkXNN主值区间的范围主值区间的范围频域频域10101NknkNNnnkNWkXNkXIDFSnxWnxnxDFSkX)()()()()()(3. DFT3. DFT定义式定义式101101010NnWkXNkXIDFTnxNkWnxnxDFTkXNknkNNnnkN,)()()(,)()()(时、频域各取一个主值区间时、频域各取一个主值区间DFSDFT旋转因子的正交性旋转因子的正交性DFT说明说明DFT说明说明例：例：x(n)=R4(n) ，求，求x(n)的的4 4

5、点、点、8 8点点和和1616点点DFT DFT 解：设变换区间解：设变换区间N=4，则，则设变换区间设变换区间N=4N=4，则，则2738280038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnNjkXkx n Wekekk33144004,0( )( )0,1,2,3knknnnkX kx n WWk设变换区间设变换区间N=16， 则则 21531631600316123sin4,0,1,.,15sin1624jknknnnjkXkx n WekekkXkXkXk思考：思考： 其其4点的点的DFT结果？结果？讨论：讨论：N为为DFT变换区变换区间长度，即周期间长度，即周期延

6、拓的周期、频延拓的周期、频域的采样点数；域的采样点数；同一序列，同一序列，N不不同，同，DFT不同；不同；通过后补零使通过后补零使N增大，谱线变增大，谱线变密密高密度谱高密度谱DFT的矩阵表示的矩阵表示 DFT变换将时域数据变换到其对应的离散频率域，因此DFT也可以理解为将时域序列 ( )通过一个映射而得到频域序列 ( )的过程，即该映射关系可以用矩阵表示。DFT的矩阵表示形式为： ( )x n01nN-( )X k01kN-N=XD x其中，时域序列向量x为T (0), (1), (1)xxx NxT表示向量转置。频域序列向量X为 T(0),(1),(1)XXX NXDFT的矩阵表示的矩阵表

7、示121242(1)12(1)(1)(1)1 1 1 11 1 1 NNNNNNNNNNNNNNNNWWWWWWWWW-轾=臌DL LL LL LMMMOML L2221j21 1 1 1 1 1 1 11 1 eWD12344442464443694441 1 1 11 1 1 11 1 j 1 j1 1 1 1 1 1 j 1 j1 WWWWWWWWWDT111121111(0)(0)(1) 1 1 4 21 1(1)(0)(1)xxxxxxXD x轾轾轾+犏犏犏=犏犏犏-臌臌臌2T224222(0)1 1 1 1(1)1 j 1 j6 22j 2 22j1 1 1 1 (2)1 j 1

8、j(3)xxxx XD xH1 1 1 11 1 1 11 j 1 j1 j 1 j111 1 1 1 1 1 1 1 441 j 1 j1 j 1 jNND D4 0 0 01 0 0 00 4 0 00 1 0 010 0 4 00 0 1 040 0 0 40 0 0 轾犏犏犏=犏犏犏臌 1轾犏犏犏犏犏犏臌IDFT的矩阵表示的矩阵表示 将DFT用矩阵形式表示，同理，也期望能够采用矩阵形式表示出IDFT，即将式 代入上式，即 N=xA XN=XD xNNN=xA XA D x给出给出DFT和和IDFT的矩阵表示形式，可以以简洁、紧凑的形式表示一些数的矩阵表示形式，可以以简洁、紧凑的形式表示

9、一些数据模型或计算结果，同时，采用矩阵形式表示也非常适合于据模型或计算结果，同时，采用矩阵形式表示也非常适合于MATLAB等等以矩阵为运算单元的软件实现，这种方法也是科技论文常采用的方式。以矩阵为运算单元的软件实现，这种方法也是科技论文常采用的方式。例如：例如：*11NNNND XD Xx轾轾=犏犏臌臌二二. . DFT和和Z变换的关系变换的关系设序列设序列x(n)的长度为的长度为N，其，其Z变换和变换和DFT分别为：分别为：1010( ) ( )( )( ) ( )( )0-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n WkN比较上面二式可得关系式比较上面二式可得

10、关系式 102NkzXkXkNjkNeWz 表明表明 是是Z平面单位圆上幅角为平面单位圆上幅角为 的的 点，也即：点，也即： 将将Z平面单位圆平面单位圆N等分后的第等分后的第k点，所以点，所以X(k)也就是对也就是对X(z)在在Z平面单位圆上平面单位圆上N点点等间隔采样值等间隔采样值。 DFT与序列傅里叶变换的关系为与序列傅里叶变换的关系为 kNjkNeWz2kNWkN2NeXeXkXNjkkNjN2)()()(2DFTDFT的物理意义的物理意义X(k)可以看作序列可以看作序列x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换X(ej)在区间在区间0, 2）上的上的N点点等间隔采样，其采样间隔为等间隔采样，其采

11、样间隔为N=2/N。DFTDFT与序列傅里叶变换、与序列傅里叶变换、Z Z变换的关系变换的关系 jIm(z)o2NW1NW0NWk 0)2( NNW)3( NNWRezoX(ej)X(k)第一采样点在第一采样点在正实轴上正实轴上三三. DFT的隐含周期性的隐含周期性 DFT变换对中，变换对中，x(n)与与X(k)均为有限长序列，但由于均为有限长序列，但由于WNkn的周期性，使的周期性，使x(n) 和和X(k)均具有均具有隐含周期性隐含周期性，且周期均为，且周期均为N。 对任意整数对任意整数m，总有，总有()(),knkmN nk n mNNNNWWWk m n为整数11()0011()00()

12、( )( )( )11()( )( )( )NNk mN nknNNnnNNn mN knkNNnnX kmNx n Wx n WX kx nmNX k WX k Wx nNN三三. DFT的隐含周期性的隐含周期性 DFT变换对中，变换对中，x(n)与与X(k)均为有限长序列，但由于均为有限长序列，但由于WNkn的周期性，使的周期性，使x(n) 和和X(k)均具有均具有隐含周期性隐含周期性，且周期，且周期均为均为N。 对任意整数对任意整数m，总有，总有1 使使DFT具有特殊性质具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等如循环移位、循环卷积等)的根的根本原因，也是学习本原因，也是学习DFT需要着重理解

13、的性质！需要着重理解的性质！2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT运算，即将它看做是周期为运算，即将它看做是周期为N的周期序列的周期序列已知已知x(n)是长度为是长度为N的有限长度序列，的有限长度序列，X(k)=DFTx(n)，令令 ，试求，试求Y(k)=DFTy(n)与与X(k)之间的关系。之间的关系。 nRnxnyNN2例题：解：解： knNNNnknNNnknNNnNNknNNnWnxWnxWnRnxWnykY212210212022120 kjnkNNnNkNnkNNnnkNNnNnkNNnknNNneWnxWWNnxWnxWNn

14、xWnx121022102102102102,02-120 kXkkNk偶数，奇数DFT与与DFS的关系：的关系：有限长度序列的有限长度序列的DFT正好是其周期正好是其周期延拓序列的延拓序列的DFS级数系数的主值序列！级数系数的主值序列！2102110021021100( ) ( )( )( )( )1( )( )( )11( )( )NjknNnNNjknknNNNnnNjknNnNNjknknNNNnnX kDFS x nx n exnex n Wx nIDFS X kX k eNXkeX k WNN3.2 离散傅里叶变换的基本性质一一. . 线性性质线性性质x x1 1(n)(n)和和x

15、 x2 2(n)(n)是两个有限长序列，长度分别为是两个有限长序列，长度分别为N N1 1和和N N2 2 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中式中a、 b为常数，即为常数，即NmaxN1, N2，则则y(n)的的N点点DFT为：为： （补零问题！）（补零问题！） Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1其中其中X1(k)和和X2(k)分别为分别为x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT。 NmaxN1,N2线性性质的验证线性性质的验证已知已知x(n)是长度为是长度为N的有限长度序列，其的有限长度序列，其N点点DFT为为X(k)=DFTx(n)，在序列，在序列前部

16、前部补补N个个0值，得到序列值，得到序列试求试求Y(k)=DFTy(n)与与X(k)之间的关系。之间的关系。 12,.,1,.,0, 0NNnnxNnny思考题：二二. . 循环移位循环移位 1. 1. 定义定义 一个长度为一个长度为N的有限长序列的有限长序列x(n)的的循环移位循环移位定义为定义为 y(n)=x(n+m)NRN(n) ：仍为长度为仍为长度为N的序列的序列！ 循环移位过程示意图循环移位过程示意图 移出主值移出主值区间的序区间的序列值又依列值又依次从另一次从另一侧移入主侧移入主值区间值区间12345n=0N=6左移顺时针转左移顺时针转 如：如： x(n+2)右移逆时针转右移逆时针

17、转 如：如：x(n-2)从时间起点开始，从时间起点开始，逆时针读取数据逆时针读取数据2. 2. 时域循环移位定理时域循环移位定理设设x(n)是长度为是长度为N的有限长序列，的有限长序列，y(n)为为x(n)循环移位，循环移位，即即 )()()(nRmnxnyNN则循环移位后的则循环移位后的DFTDFT为为 )()()()()(kXWnRmnxDFTnyDFTkYmkNNN证：利用证：利用周期序列的移位性质周期序列的移位性质加以证明加以证明 )()()(kXWmnxDFSmnxDFSmkNN可直接按IDFTY(k)证明再利用再利用DFSDFS和和DFTDFT关系关系 101()1 ()( ) (

18、)( )()( )( )NNNNknNNnNmk l mNNlmNmkmklNNNlmDFT x nmRnDFT x nm Rnx nmWx lWWx lW 这表明，有限长序列的循环移位在离散频域中引入一个和频这表明，有限长序列的循环移位在离散频域中引入一个和频率成正比的率成正比的线性相移线性相移 ，而对频谱的幅度，而对频谱的幅度没有影响没有影响幅度谱的平移不变性幅度谱的平移不变性。 mkNjkmNeW2已知已知x(n)是长度为是长度为N的有限长度序列，的有限长度序列，X(k)=DFTx(n)，在序列前部补，在序列前部补N个个0值，得到序列值，得到序列试求试求Y(k)=DFTy(n)与与X(k

19、)之间的关系。之间的关系。 12,.,1,.,0, 0NNnnxNnny nRNnynyNN221思考题： 3. 3. 频域循环移位定理频域循环移位定理调制特性调制特性 对于频域有限长序列对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个，也可看成是分布在一个N N等分的圆周上，所以对于等分的圆周上，所以对于X(k)的循环移位，利用频域与时的循环移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：域的对偶关系，可以证明以下性质： )()(nxDFTkX)()()()(2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN这就是调制特性这就是调制特性时域序列的调制等效于频域的循环移位时域序列的调制等效于

20、频域的循环移位。 )(nNxnRnxNN序列反转序列反转101()()010 ()()()( )()( )()NnkNnNnkNnNnkNnNNDFT xnxn Wxn Wx n WXkRkX Nk)(*)()(*)()()(*)()(*)(*10)(10*10kNXkRkNXWnxkRkXWnxWnxnxDFTNNNnnkNNNNNnNnnkNnkN122njnNNjnNNeeW 1,.1 , 0NkkXnxDFT序列共轭序列共轭)(*)()(*kXnRnxDFTNN)(*)(*kXnNxDFT kNXkRkXnRnxDFTnNxDFTNNNN )(序列共轭反转序列共轭反转序列反转序列反转四

21、四. 循环卷积循环卷积 1、时域循环卷积定理时域循环卷积定理有限长序列有限长序列x1(n)和和x2(n)，长度分别为长度分别为N1和和N2， N=maxN1,N2。x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT分别为分别为： X1(k)=DFTx1(n)，X2(k)=DFTx2(n) 若若Y(k)=X1(k)X2(k)，则则y(n)=IDFTY(k) ？ 111200 NNknNNNnmY kDFT y nx m xn mRnW knNNNnNmNWnRmnxmxnyDFTkY101021 102121012101102101NkkXkXkXWmxkXWmxWnRmnxmxNmkmNkmNNmNnk

22、nNNNNm与教材上不同 nxnxnRmnxmxnxnxnRmnxmxkYIDFTkXkXIDFTnyNNmNNNmN12101221102121NN循环卷积结果仍为有限长序列！循环卷积结果仍为有限长序列！注意：循环卷积的长度！注意：循环卷积的长度！计算步骤：计算步骤：将将x2(m)周期化，形成周期化，形成x2(m)N；再反转形成再反转形成x2(-m)N，取主值序列则得到，取主值序列则得到 x2(-m)NRN(m)，通常称之为，通常称之为x2(m)的循环反转的循环反转；对对 x2(m)的 循 环 反 转 序 列 循 环 右 移的 循 环 反 转 序 列 循 环 右 移 n， 形 成， 形 成

23、x2(n-m)NRN(m)；当当n=0,1,2,N-1时，分别将时，分别将x1(m)与与x2(n-m)NRN(m)相乘，并在相乘，并在m=0到到N-1区间内求和，便得区间内求和，便得到其循环卷积到其循环卷积y(n)。nN-10n)(1nxN-10)(2nx)(0)(22mRmxmxNN0m)(12mRmxNN0m)(22mRmxNN0m)(32mRmxNN0m0233211N-1nN)(2nx)()(1nxny两个长度两个长度小于等于小于等于N的的序列的序列的N点点循环卷积循环卷积长度仍为长度仍为N，与线性卷积与线性卷积不同不同N=6 nxnnnn24434231212344321 nRnxn

24、RnxnRnxnx4424424422342312例题：例题：00( )( )( )( )()()( )NNNNx nnx nx nnnx nnRn 4321123444 3 2 11 2 3 4 4 4 3 2 1 24 22 24 30 2 8 6 4 6 3 12 912 8 4 16 nxnnnn24434231212344321 nRnxnRnxnRnxnx4424424422342312不进位乘法！不进位乘法！3024222443214321143221433214思考：若两序列作思考：若两序列作N=5点循环卷积，结果如点循环卷积，结果如何何？4 0 1211534 0 12152

25、34 032012344300 1 2 3030 若两序列作若两序列作N=5点循环卷积，结果如点循环卷积，结果如上上！2 2、频域循环卷积定理、频域循环卷积定理)()()(21nxnxnyx1(n)，x2(n)皆为皆为N点有限长序列，点有限长序列，y(n)的的N N点点DFTDFT为为 时域序列相乘，时域序列相乘，乘积的乘积的DFTDFT等于各个等于各个DFTDFT的循环卷积再乘以的循环卷积再乘以1/1/N N。 N)()(1)()()(1)()()(1)()(2111022101kXkXNkRlkXlXNkRlkXlXNnyDFTkYNNNlNNNl证明：对证明：对Y(k)两边取两边取IDF

26、T、利用调制定理即可！利用调制定理即可！1 1、有限长共轭对称与共轭反对称、有限长共轭对称与共轭反对称 设有限长序列设有限长序列x(n)的长度为的长度为N点，则它的有限长共轭对点，则它的有限长共轭对称分量称分量xep(n)和有限长共轭和有限长共轭反对称分量反对称分量xop(n)分别被分别被重新定义重新定义为为: : )()()()(*nNxnxnNxnxopopepepnN-1 nN-1 三三. . 有限长共轭对称性有限长共轭对称性 nRnxnNxNNepep4213关于关于N/2点的点的对称性对称性共轭对称性共轭对称性的基本概念的基本概念N为偶数为偶数n=N/2-n()(),01222()(

27、),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn xep(n)为实数点为实数点为纯虚数点为纯虚数点N=8x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1 x*(N-n)=xep*(N-n)+xop*(N-n) = xep(n)-xop(n) 0nN-1 )()()()()()(*nNxnxnxnNxnxnxopep2121复复序列对称性分析序列对称性分析nxnxnxopep kXjkXkXImRe序列序列DFT)()(21)()()(21)(*nNxnxnxnNxnxnxopep复复序列对称性分析序列对称性分析 nxjnxnxImRe kXkXkXopep序列序列DFT)()(2

28、1)()()(21)(*nxnxnxnxnxnxIR实实序列对称性分析序列对称性分析 nxjnxnxImRe kXkXkXopep序列序列DFT为零为零为零为零 kNXkXkXkXep实序列的频谱具有有限实序列的频谱具有有限长共轭对称性长共轭对称性实实偶偶序列对称性分析序列对称性分析序列序列 nxjnxnxoImRe nNxnx为零为零 nxnxnxopep为零为零于是：于是：DFT： kXkXep kXkXRe kNXkX实偶序列的频谱具有实偶序列的频谱具有偶偶实实对称性对称性 nxjnxnxoImRe nNxnx为零为零实实奇奇序列对称性分析序列对称性分析序列序列 nxjnxnxoImRe

29、 x nx Nn 为零为零 nxnxnxopep为零为零于是：于是：DFT： kXkXep ImX kjX k X kX Nk 实奇序列的频谱具有纯虚奇函数实奇序列的频谱具有纯虚奇函数 nxjnxnxoImRe x nx Nn x(n)X(k)实偶函数实偶函数偶实函数偶实函数实奇函数实奇函数虚奇函数虚奇函数虚奇函数虚奇函数实奇函数实奇函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数N=9应用举例：应用举例： 。 点信号的可同时求得两个独立实点一次，组合成一个复序列和长实序列两个DFTNDFTN2121,N22112121kjXkNYkYnjxDFTkYkXkNYkYnxDFTkYnyDFTkYnjxnxn

30、ynxnxopep五五. DFT. DFT形式下的帕塞伐定理形式下的帕塞伐定理 10101NkNnkYkXNnynx)(*)()()(*证：证： 101010101010111NkNnNnknNNnNkknNNnkYkXNWnxkYNWkYNnxnynx)()()()()()()()(*10101NkNnkXkXNnxnx)(*)()()(*1021021NkNnkXNnx| )(| )(|令令x(n)=y(n)DFTDFT性质表性质表( (序列长皆为序列长皆为点点) ) 例题：设实序列设实序列x(n)，N=14，其，其14点点DFT为为X(k)，已知前，已知前8点值为：点值为：X(0)=12

31、 X(1)=-1+3j X(2)=3+4jX(3)=1-5j X(4)=-2+2j X(5)=6+3jX(6)=-2-3j X(7)=10试确定试确定1）X(k)在其他频率点的值；在其他频率点的值；2）不通过计算）不通过计算IDFTX(k)，确定下列值：，确定下列值： x(0) x(7) 130213074130nnnjnnxnxenxX(0), X(1), X(2), , X(N-1) 3.3 频率域采样 是否任意一个频率特性（例如，理想是否任意一个频率特性（例如，理想低通特性）都能用频域采样的办法去逼低通特性）都能用频域采样的办法去逼近呢？近呢？其限制条件是什么？其限制条件是什么？频域采样

32、后会带来什么样的误差？在频域采样后会带来什么样的误差？在什么条件下才能消除误差？什么条件下才能消除误差？一、频域采样一个一个任意的任意的绝对可和的非周期序列绝对可和的非周期序列x(n)，其，其Z变换为：变换为： nnznxzX对对X(z)在单位圆上进行在单位圆上进行N点等间隔采样：点等间隔采样： 1,.,1 , 0NkWnxzXkXnnkNWzkN分析：分析： nxkXIDFTN ?nxnxN能否代表有限长度序列有限长度序列 任意长度序列任意长度序列 101011NmknkNNkmNm n kNmkx m WWNx mWN mrNnmWNNkknmN其它01110 nxnxrNnxNr 101

33、:NknkNNNWkXNkXIDFSnxIDFSkXnx的为令由由 得到的周期序列得到的周期序列 是是原非周期序列原非周期序列x(n)的周期延拓，其时域周期的周期延拓，其时域周期为频域采样点数为频域采样点数N。时域采样造成频域的周期时域采样造成频域的周期延拓，延拓，频域采样频域采样同样会造成时域的周期延拓同样会造成时域的周期延拓。 )(kX)(nxNx(n)为无限长序列为无限长序列时域周期延拓时域周期延拓必必会混叠失真，产生误差；会混叠失真，产生误差；当当n增加时信号衰减得越快，或频域采样越密增加时信号衰减得越快，或频域采样越密（即采样点数（即采样点数N越大），则误差越小，即越大），则误差越小

34、，即xN(n)越接近越接近x(n)；x(n)为有限长序列，长度为为有限长序列，长度为M：NM，不混叠，可无失真恢复；，不混叠，可无失真恢复；NM，不混叠不混叠N=3M，混叠混叠其值为其值为1 1x(n)=xN(n)讨论：讨论：z=exp(j2pikm/N)第第k个内插函数的个内插函数的零极点零极点 jImz|z| 1ej0 1Re zkN2je)1(2jNNeo(N1)阶零极点对消零极点对消恢复时，第恢复时，第k个采样点个采样点值仅由自己决定，不值仅由自己决定，不受其他采样点值影响。受其他采样点值影响。用频域采样用频域采样X(k)表示表示X(ejw)的内插公式的内插公式 10Nkjkezjek

35、XzXeXj 2112sin2sin1NjNNkjezkjkeekNkNNNzejkNNjekNkNNN22122sin22sin1Nkejk 2)(kNkXeXNkj 210)()(内插函数：内插函数：212sin2sin1NjeNN内插函数幅度特性与相位特性内插函数幅度特性与相位特性(N=5) |()|1N 5N4N4oN2N2 22arg()1 1(NN2 2)1 1(NN22o|1(w-2/N)|当变量当变量=0 时，时， ()=1；当当 （i=1, 2, , N-1)时时， ()=0。因而可知，因而可知， 满足以下关系：满足以下关系： Ni2Nk2kiNiNkNkik,20212)(

36、)(2kXeXkNj k=0, 1, , N-1 也 就 是 说 ， 函 数也 就 是 说 ， 函 数 在 本 采 样 点在 本 采 样 点 ， 而在其他采样点而在其他采样点 上，函数上，函数 。整个整个X(ej)就是由就是由N N个个 函数分别乘上函数分别乘上X(k)后求和。后求和。 所以很明显，所以很明显，在每个采样点上在每个采样点上X(ej)就精确地等于就精确地等于X(k)（因为其他点的插值（因为其他点的插值函数在这一点上的值为零，没有影响）即函数在这一点上的值为零，没有影响）即 Nk2Nkk202NkikiNii,2Nk212Nkk 各采样点之间的各采样点之间的X X(e(ejj) )

37、值由各采样点的加权插值由各采样点的加权插值函数值函数在所求在所求点上的值的点上的值的叠加得到的。叠加得到的。 频率采样理论为频率采样理论为FIRFIR滤波器的结构设计，以及滤波器的结构设计，以及FIRFIR滤波器传递函数的逼近提供了又一个有力的工具。滤波器传递函数的逼近提供了又一个有力的工具。 kNkX2)( zkXznxzXkNnnNn1010 kNkXenxeXNkNnnjj21010对时域序列对时域序列x(nx(n) )，X(zX(z) )是按是按z z的幂级数（即罗朗级数）展的幂级数（即罗朗级数）展开的，开的， x(nx(n) )为罗朗级数的系数；为罗朗级数的系数；对频域序列对频域序列

38、X(kX(k) )，X(zX(z) )是按函数集展开的，是按函数集展开的， X(kX(k) )为展开为展开系数；系数；对时域序列对时域序列x(nx(n) )，频响，频响X(eX(ejwjw) ) 展成负正弦级数（傅立叶级展成负正弦级数（傅立叶级数），数）， x(nx(n) )为负正弦级数的谐波系数；为负正弦级数的谐波系数；对频域序列对频域序列X(kX(k) )，频响，频响X(eX(ejwjw) ) 展成内插函数的级数，展成内插函数的级数， X(kX(k) )为展开系数；为展开系数；3.4 DFT的应用举例 DFTDFT在数字通信、语言信号处理、图像处理、功率谱估计、在数字通信、语言信号处理、图

39、像处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广值分析等各个领域都得到广泛应用。泛应用。 对时域连续信号的频谱进行分析对时域连续信号的频谱进行分析计算信号各个频率分量计算信号各个频率分量的幅值、相位和功率（功率谱具有突出主频率特性，在的幅值、相位和功率（功率谱具有突出主频率特性，在分析带有噪声干扰的信号时特别有用）。分析带有噪声干扰的信号时特别有用）。卷积及卷积及相关相关运算运算 3.4.1 用DFT计算线性卷积 如果（L点循环卷积）112120( )( )( )( )()( )LLLmy nx nx

40、nx m xnmR n1122( )( )( )( )X kDFT x nXkDFT x n0kL-1则，由时域循环卷积定理有则，由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1 由此可见，循环卷积既可在由此可见，循环卷积既可在时域直接计算时域直接计算，也可以，也可以在频域计算，其计算框图如下图示。由于在频域计算，其计算框图如下图示。由于DFT有快速有快速算法算法FFT，当，当N很大时，在频域计算的速度快得多，因很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用而常用DFT(FFT)计算循环卷积。计算循环卷积。 图图 3.4.1 用用DFT计算循环卷积计算循环卷积 L点

41、的点的DFT运算！运算！ 在实际应用中，为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤在实际应用中，为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等，需要计算两个序列的波处理等，需要计算两个序列的线性卷积线性卷积！为了提高运算速度，也希望！为了提高运算速度，也希望用用DFT计算线性卷积。计算线性卷积。 存在的矛盾：存在的矛盾：DFT只能直接用来计算循环卷积只能直接用来计算循环卷积! 为此导需要导出线卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷为此导需要导出线卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。积相等的条件。 假设假设h(n)和和x(n)都是有很长序列，长度分别是都是

42、有很长序列，长度分别是N和和M。 它们的线性卷它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：积和循环卷积分别表示如下： 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )NlmLcLLmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmR n(3.4.1) (3.4.2) 其中，其中， LmaxN, M 1010( )( )()( )( ) ()( )NcLmqNLqmy nh mx nmqL R nh m x nmqL R n ( )(),Lqx nx nqL对照式对照式(3.4.1)可以看出，可以看出， 上式中上式中 10( ) ()()( )()( )N

43、lmclLqh m x nqLMy nqLy ny nqL R n(3.4.3) 利用周期延利用周期延拓概念拓概念那么，循环卷积和线性卷积之间的关系即可以确定出来！那么，循环卷积和线性卷积之间的关系即可以确定出来！ 线性卷积周期延拓为循环卷积；循环卷积即为该周期信号的主值序列！线性卷积周期延拓为循环卷积；循环卷积即为该周期信号的主值序列！周期周期延拓延拓图图 3.4.2 线性卷积与循环卷积线性卷积与循环卷积 0123451234h(n) x(n)nL 60123451234nL 867h(n) x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )01234

44、51234nN M1 867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 10重叠时哪些点是不同的？哪那些点是相同的？重叠时哪些点是不同的？哪那些点是相同的？用用DFT计算计算线线性卷积性卷积框图框图 补L N个零点L点DFT补L M个零点L点DFTL点IDFTy(n)h(n)x(n)N点序列点序列M点序列点序列优点：当两个序列长度相当时，运算量小优点：当两个序列长度相当时，运算量小缺点：缺点：当两个序列长度相差较大时，运算当两个序列长度相差较大时，运算量及存储量、时延的问题量及存储量、时延的问题 当其中一个序列无穷

45、长时当其中一个序列无穷长时? 设序列设序列h(n)长度为长度为N，x(n)为无限长序列。将为无限长序列。将x(n)均匀分段，均匀分段， 每段长度取每段长度取M， 则则0( )( )( )( )()kikMx nx nx nx nRnkM于是，于是， h(n)与与x(n)的线性卷积可表示为的线性卷积可表示为000( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n(3.4.4) 图 3.4.4 重叠重叠相加相加法卷积示意图 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N

46、10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) nnnnnnh(n)线性谱估计（线性谱估计（传统谱估计传统谱估计）数据直接数据直接FFT求谱，对谱求谱，对谱的模取平方运算得功率谱（周期图法），或对数据自相的模取平方运算得功率谱（周期图法），或对数据自相关函数求谱即为功率谱（自相关法）。对被处理数据以关函数求谱即为功率谱（自相关法）。对被处理数据以外数据作了不合理假设；外数据作了不合理假设；假设以被处理数据长度为一周期，以外为其周假设以被处理数据长度为一周期，以外为其周期延拓或全为零，准确程度受数据截取长度影期延拓或全为零，准确程度受数据截取长度影响；响；数据较短时，估计出来的值方差大，

47、分辨率低，数据较短时，估计出来的值方差大，分辨率低，甚至面目全非。甚至面目全非。DFT进行谱估计进行谱估计为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号虚拟的无限长信号。 用计算机进行测试信号处理时，不可能对无用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个过程称信号截断。间片段进行分析，这个过程称信号截断。 周期延拓信号与真实信号是不同的：周期延拓信号与真实信号是不同的：能量泄漏误差能量泄漏误差 信号的时域波形分析信号的时域波形分析 超门限报警超

48、门限报警 信号类型识别信号类型识别 基本参数识别基本参数识别 Pp-p信号的频域分析信号的频域分析 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。来了解信号的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里叶傅里叶变换变换X(t)= sin(2nft)0 t0 f信号频谱信号频谱X(f)X(f)代表了信号代表了信号在不同频率分量成分的大在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号小，能够提供比时域信号波形更直观

49、、丰富的信息。波形更直观、丰富的信息。 时域分析与频域分析的关系时域分析与频域分析的关系时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域分析频域分析 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。信号的频率组成和各频率分量大小。 图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断故障诊断故障诊断通过振动信号频谱分析，确定通过振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据转速最大频率

50、分量，然后根据转速和传动链，找出故障点。和传动链，找出故障点。一、用DFT对连续信号作谱分析的基本步骤xa(t)Xa(j)x(n)x(n)d(n)xN(n)NxN(n)Xa(ejw)XN(k)NXN(k)抽样抽样t=nTs截短截短周期延周期延拓拓周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期周期延拓周期延拓s=2/TsXa(ejw)*D(ejw)卷积卷积抽样抽样0 =/N周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期FTDTFTDTFTDFSDFT信号的频谱分析：计算信号的傅立叶变换信号的频谱分析：计算信号的傅立叶变换如何利用如何利用XN(k)近似近似Xa(j)?T0=NT=N/fsF0=1/T0=1/NT=fs

51、/NF0：频率分辨率：频率分辨率1.近似近似处理处理(0阶近似阶近似)a.b.频域抽样频域抽样：一个周期分：一个周期分N段，采样间隔段，采样间隔F0时域周期延拓：周期为时域周期延拓：周期为T0=1/F0 0=2F0 频域采样间隔频域采样间隔 nxDFTTenxTenTxTjkXNnknNjNnnTjk1021000NFffFTkss2220000c.01020102001000011121210jkXIDFTTejkXNfNNejkXFejkXdejXnTxNknkNjsNknkNjNknTjknTjS10000Nksdd步骤：步骤：结论：结论：用用DFT计算计算理想低通滤波器理想低通滤波器频

52、响曲线频响曲线 截取一段截取一段T0=8sfs=4Hz,T=0.25sN=T0/T=32,F0=1/NT=0.125HzH(k)=T DFTh(n) k=0,1,.31h(n)=ha(nT)R32(n)2.低频处低频处逼近好，逼近好，高频处高频处因混叠因混叠失真而失真而逼近不逼近不好好二、谱分析误差及参数选择1、混叠失真混叠失真抽样造成的误差抽样造成的误差时域抽样：时域抽样：fs2fh， fs限制谱分析范围限制谱分析范围频域抽样：频域抽样：F0=1/T0，F0为频谱分辨率为频谱分辨率NfNTFTFfTTNss10000为为信信号号的的有有效效持持续续时时间间，F0为频谱分辨率：谱分析中能够分辨

53、为频谱分辨率：谱分析中能够分辨的两个频率分量的最小间隔的两个频率分量的最小间隔分析如何提高频率分辨率？分析如何提高频率分辨率？若想同时提高最高频率与频率分辨率，必若想同时提高最高频率与频率分辨率，必须须N02Ffh2、截短效应（降低频谱分辨率截短效应（降低频谱分辨率 混叠失真）混叠失真） 周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。况。 将截断信号谱将截断信号谱 X XT T()()与原始信号谱与原始信号谱X()X()相相比较可知，它已不是比较可知，它已不是原来的两条谱线

54、，而原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱是两段振荡的连续谱. . 原来集中在原来集中在f0f0处的能处的能量被分散到两个较宽量被分散到两个较宽的频带中去了，这种的频带中去了，这种现象称之为频谱能量现象称之为频谱能量泄漏泄漏。周期延拓信号与真实信号是不同的：周期延拓信号与真实信号是不同的：能量泄漏误差能量泄漏误差克服方法：克服方法：增加窗函数的长度；增加窗函数的长度；用缓慢截短方式，不加矩形窗。改用旁瓣能用缓慢截短方式，不加矩形窗。改用旁瓣能量较小的余弦窗、三角形窗、升余弦窗等。量较小的余弦窗、三角形窗、升余弦窗等。克服方法：信号整周期截断克服方法：信号整周期截断常用窗函数常用窗函数3、 为提高

55、效率为提高效率, ,通常采用通常采用FFTFFT算法计算信号频谱，算法计算信号频谱，设数据点数为设数据点数为N N，采样频率为，采样频率为F Fs s。则计算得到的。则计算得到的离散频率点为离散频率点为: : Xs(Fi) ， Fi = i *Fs / N , i = 0，1，2，.，N/2 X(f)f0f 如果信号中的频如果信号中的频率分量与频率取样点率分量与频率取样点不重合，则只能按四不重合，则只能按四舍五入的原则，取相舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线邻的频率取样点谱线值代替。值代替。 栅栏效应误差实验：栅栏效应误差实验： u 能量泄漏与栅栏效应的关系能量泄漏与栅栏效应的关系 频谱的离

56、散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。锐，产生误差的可能性就越大。 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。无穷大。 实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。也能得到该频率分量的一个近似值。 从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。从这个意义上说，能量泄

57、漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。 能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。的。N=T0/T=T0*fs=0.1*8K=800为使频率分辨率提高一倍，为使频率分辨率提高一倍， F0=5 Hz，要求，要求sFTN20511160054000200.min只有通过

58、增加信号的有效持续时间只有通过增加信号的有效持续时间T0来增来增加采样点数加采样点数N才能得到才能得到高分辨率谱高分辨率谱；通过后补零使通过后补零使N N增加得到增加得到高密度谱高密度谱。高分辨率谱和高密度谱差异比较高分辨率谱和高密度谱差异比较高密度谱是在高密度谱是在原有序列后插零原有序列后插零；高分辨谱是高分辨谱是增加采样点增加采样点；高密度谱呈许多谱线型高密度谱呈许多谱线型,而且当补充而且当补充0越多越多, 谱线也越密集谱线也越密集； 高分辨率谱则在取样点达到一定程度后，高分辨率谱则在取样点达到一定程度后， 谱线一定了，也没有那种密集度。谱线一定了，也没有那种密集度。 3. 用DFT对序列

59、进行谱分析 非周期序列： 我们已知道单位圆上的Z变换就是序列傅里叶变换，即 DFT是其DTFT的等间隔采样，在满足频域采样定理时原始信号可以恢复出来！()( )jjz eX eX z对周期为N的周期序列 ，由(2.3.10)式知道， 其频谱函数为用DFT的隐含周期性知道， 截取 的主值序列x(n)= RN(n)， 并进行N点DFT得到( )x n21022() ( )( ) ()( ) ( )( )jkNjknNnX eFT x nX kkNNX kDFS x nx n e 其中 ( )x n( )x n( ) ( ) ( )( )( )( )NNX kDFT x nDFT x n RnX k

60、 Rk 如果截取长度M等于 (n)的整数个周期， 即M=mN，m为正整数，则 x2102(1)0( )( )( )( )( )( )( )0,1,1MMMknMMMnm NknmNnxnx n RnXkDFT xnx n ex n ekmN令n=n +rN, r=0, 1, , m-1, n=0, 1, , N-1,则2 ()110221100210210( )()( )()()nrN kmNjmNMrnnmNjkjrkmNmrnmjrkmrmjrkmrXkx nrN ex n eekXemkXem 210,0,Mjkrmrme因为 k/m=整数k/m整数 在任意周期内在任意周期内求和求和 如