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1、第五讲第五讲内积空间的同构正交变换向量间的距离与最小二乘法一、内积空间的同构一、内积空间的同构定义：设W1和W2是数域F上的两个内积空间，如果存在从W1到W2的双射 ，满足：),()(),()(3(, ),()()2(, ),()()( ) 1 (11FkkkWW则称内积空间W1和W2同构。定理: 同构的欧氏空间维数相同。定理： 数域F上的任意两个n维欧氏空间同构。推论：数域F上的两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同。二、正交变换二、正交变换间的夹角不变。度不变，保持两个向量正交变换保持向量的长的一个正交变换。是欧氏空间则称（，都有，对任意的中的一个线性变换，如是欧氏空间设定义：V

2、TTTVVT),()(),( 矩阵是正交矩阵。的任一标准正交基下的在）（的一组标准正交基；也是，的一组标准正交基，则是，）若（；，）（是正交变换；）（下列命题等价中的一个线性变换，则维欧氏空间是设定理：VTVTTVTVTVnTnnT4)()() 3)(21 2121(),(), R 2 cos sin sin cos 12,yxyxxyxyyxx（轴作镜面反射上，将向量对在平面例变换平面解析几何中的转角例，三、向量间的距离与最小二乘法三、向量间的距离与最小二乘法时等号成立。仅当）（基本性质：。并记为的距离与称为的长度则向量是欧氏空间，定义：设yxyxdzydyxdzxdxydyxdyxdyxyxyxVyxV, 0),( )3();,(),(),( )2();,(),(1),(,zxyxWzWyxVxWyxxxLWVWVn ,)(,),(21都有则对任一时当的一个子空间，是是一欧氏空间，结论：设最小二乘解。的的解就是则正规方程无解，矩阵，方程组是定理：设最小二乘解。最小的解称为方程组的无解，使得矩阵，如方程组是设最小二乘法：bAXbAAXAbAXnmAbAXbAXnmATT2 例 实验测得一

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