理论力学-第21-22课时

1、0limtndntdt 定义及其推导过程定义及其推导过程 nr+ rrPPMOrnr 要求理解角速度是矢量要求理解角速度是矢量vr()dvdardtdtddt加速度加速度理解三个欧拉角的含义及其转理解三个欧拉角的含义及其转动过程，推导欧拉运动学方程动过程，推导欧拉运动学方程进动进动 章动章动 自转自转sinsincossincossincosxyz欧拉运动学方程欧拉运动学方程1. 定轴转动的角动量定轴转动的角动量 irim ivziiiiJrmvkrmii 2 对于绕固定轴对于绕固定轴oz 转动的整个刚体而言转动的整个刚体而言: 对于绕固定轴对于绕固定轴oz的转动的质元的转动的质元 而言而言:

2、 im 2Ni iiJmrI2Ni iiImr定义定轴转动的转动惯量定义定轴转动的转动惯量: 2VIrdV1niiiiJrm v1ni iiiJm rr21niiiiiJmrrr2. 定点转动的角动量定点转动的角动量irimizxyoiv对于一般的定点转动情况对于一般的定点转动情况根据角速度与线速度的关系，得：根据角速度与线速度的关系，得：根据矢量分析，得：根据矢量分析，得：2AB AA BA A B 1ni iiiJm rr21niiiiimrrriiiirxiy jz kxyzijk先写出表达式中的位矢和角速度矢量的分量形式先写出表达式中的位矢和角速度矢量的分量形式代入公式代入公式21ni

3、iiiiJmrrr整理，得整理，得22111nnnxxiiiyi iizi i iiiiJm yzmxymxz问题问题2.2：能从两个式子看出结果吗？其它分量呢？：能从两个式子看出结果吗？其它分量呢？依照刚才的规律，则依照刚才的规律，则y和和z轴分量为：轴分量为：22111nnnxxiiiyiiizii iiiiJm yzmx ymx z21niiiiiJmrrr22111nnnyxiiiyiiiziiiiiiJm y xm zxm y z22111nnnzxi iiyi iiziiiiiiJmz xmz ym xy221nxxiiiiImyz221nyyiiiiImzx221nzziiiiI

4、mxy1nyzzyiiiiIIm y z1nzxxziiiiIIm z x1nxyyxiiiiIIm x y为了方便起见，我们令：为了方便起见，我们令：xxxxxyyxzzJIIIyyxxyyyyzzJIIIzzxxzyyzzzJIII则三个分量可改写为：则三个分量可改写为：zxybo22xxVIyzdm22xxVIyzdxdydz22000bbbxxIdzyzdy dx223Mb000ijk223yyzzxxIIIMb000bbbxyIxdxydy dz214Mb214xyxzyzIIIMbxxxxxyyxzzJIII222000211344MbMbMb2016MbyyxxyyyyzzJII

5、I2016Mb2111122nni iiiiiiTm rm vv根据体系的动根据体系的动能定义，得：能定义，得：问题问题3：如何理解刚体的转动动能？如下方法求解刚体的：如何理解刚体的转动动能？如下方法求解刚体的总动能是否正确？总动能是否正确？I0为固定轴为固定轴O的转动惯量。的转动惯量。2201122cTmvI如果写成下面的表达式呢？为什么？如果写成下面的表达式呢？为什么？221122ccTmvI111122nni iiii iiiTmvrrmv根据矢量运算规则，得：根据矢量运算规则，得：12TJ 12xyzxyzTijkJ iJ jJ k因此，可以写成：因此，可以写成：也就是：也就是：000

6、ijk223yyzzxxIIIMb214xyxzyzIIIMb214yxzxzyIIIMb 12xyzxyzTijkJ iJ j J k22200000011112666TijkMbiMbjMbk22014Mb irivzimii1.定轴转动的转动惯量定轴转动的转动惯量21niiiIm定义：定义：平行轴定理：平行轴定理：2cIImd22211122niiiTmI问题问题3.1：普通物理的力学是如：普通物理的力学是如何定义定轴转动惯量？何定义定轴转动惯量？此时，有：此时，有：角动量公式角动量公式:xxxxxyyxzzJIIIyyxxyyyyzzJIIIzzxxzyyzzzJIII 12xyzxy

7、zTijkJ iJ jJ k动能公式动能公式:12zxyzkJ iJ jJ k12zzJ212zzzI问题问题3.2：角动量能写成：角动量能写成J=Izzz z吗？吗？2.定点转动的转动惯量定点转动的转动惯量xxxxxyyxzzJIIIyyxxyyyyzzJIIIzzxxzyyzzzJIII 定点转动的角动量：定点转动的角动量：则角动量和角速度矢量则角动量和角速度矢量可以写成矩阵形式：可以写成矩阵形式：xyzxyzJJJJ问题问题3.3：解析几何中坐标如何：解析几何中坐标如何用矩阵表达？角动量和角速度呢？用矩阵表达？角动量和角速度呢？同时，为了方便表达角动量与角速度的关系，我们令：同时，为了方

8、便表达角动量与角速度的关系，我们令：xxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIIII 因此角动量与角速度的关系，可以用矩阵表达：因此角动量与角速度的关系，可以用矩阵表达：xxxxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzJIIIJIIIJIIIJI二维矩阵的物二维矩阵的物理量称为张量理量称为张量简化为：简化为：问题问题3.4：转动动能如何用矩阵表达？：转动动能如何用矩阵表达？根据前面结论，定点转动的刚体的转动动能为：根据前面结论，定点转动的刚体的转动动能为： 12xyzxyzTijkJ iJ jJ k也可以改写为矩阵表达形式：也可以改写为矩阵表达形式：1122xxyzyzJTJJJ12x

9、xxyxzxxyzyxyyyzyzxzyzzzIIITIIIIII12IT 简写为：简写为：212I例题例题3：如图所示如图所示,四个质量均为四个质量均为m的质点位于的质点位于xy平面上，坐平面上，坐标分别为标分别为(a,0)，(-a,0),(0,2a),(0,-2a),它们被可不计质量的杆它们被可不计质量的杆连成一刚体，求对原点的惯量张量。连成一刚体，求对原点的惯量张量。mmmm2aaa2aoyx解：根据定义，有：解：根据定义，有：221nxxiiiiImyz因此：因此：22228xxImama22yyIma210zzIma0 xyxzyzIII 22280000200010maImama对

10、原点的转动对原点的转动惯量张量：惯量张量：irimizxyoi3. 绕瞬时轴的转动惯量绕瞬时轴的转动惯量21niiiIm与定轴转动惯量与定轴转动惯量类似，定义瞬时类似，定义瞬时轴转动惯量：轴转动惯量：瞬时轴的方向其实就是该时刻瞬时轴的方向其实就是该时刻角速度的方向，如果我们定义角速度的方向，如果我们定义它的单位矢量为：它的单位矢量为：coscoscosnijk如果该时刻的角速度大如果该时刻的角速度大小为小为，则，则转动动能：转动动能：212TI该时刻的转动动能当然也可以表达为：该时刻的转动动能当然也可以表达为：此时，角速度表达为：此时，角速度表达为：n矩阵表达为：矩阵表达为：coscoscos

11、12IT n因此：因此：12IT 212nIn212TI比较：比较：可知瞬时轴与定点转动的转动惯量关系为：可知瞬时轴与定点转动的转动惯量关系为：nInI 即：即：coscoscoscoscoscosxxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIIII例题例题4：如图所示如图所示,四个质量均为四个质量均为m的质点位于的质点位于xy平面上，坐平面上，坐标分别为标分别为(a,0)，(-a,0),(0,2a),(0,-2a),它们被可不计质量的杆连它们被可不计质量的杆连成一刚体，求：成一刚体，求：(1)绕过原点的与绕过原点的与x,y,z轴的夹角都相等的瞬时轴的转动惯量轴的夹角都相等的瞬时轴的转动惯

12、量;(2)在某个时刻沿在某个时刻沿(1)问所述的瞬时轴转动，求此时刚体对原点问所述的瞬时轴转动，求此时刚体对原点的角动量矢量与该轴的夹角。的角动量矢量与该轴的夹角。mmmm2aaa2aoyx解：解：(1)已知条件，有：已知条件，有： 22280000200010maImama222coscoscos1同时已知：同时已知：3coscoscos3 0nInI 根据定义：根据定义：因此：因此： 0nInI 2222228cos2cos10cosmamama2203ma(2)先求角动量：先求角动量： 0JI则：则：2223380030203001033Jmamama得：得：2382103Jmaijk夹角：夹角：arccosJ nJ0272Ni iiJmrIxxxxxyyxzzJIIIyyx xyyyyz zJ