概率论与数理统计_第一章课件

1、概率统计概率统计概率论与数理统计概率论与数理统计 自放自放_引言引言_1概率论概率论 研究起源于意大利文艺复兴时期研究起源于意大利文艺复兴时期. 伽利略伽利略 的论文的论文论赌博论赌博提出了概率论的基本原理提出了概率论的基本原理. 概率论的真正历史是从概率论的真正历史是从 17 世纪中叶开始的世纪中叶开始的. 其主其主 要奠基人要奠基人法国数学家法国数学家 帕斯卡尔帕斯卡尔（Blaise Pascal）和）和 费马特费马特（Pierre Fermat）将赌博中出现的具体问题归纳）将赌博中出现的具体问题归纳 为一般的为一般的 概率原理概率原理 . 到到18世纪，瑞士数学家世纪，瑞士数学家 J.

2、贝努里贝努里 （Jakob Bernoulli）全面论述了）全面论述了 概率论原理概率论原理 并将概率论并将概率论 建立在数学的基础上建立在数学的基础上. 到到 19 世纪，开始利用概率论世纪，开始利用概率论 研究社会经济现象研究社会经济现象， 形成以概率论为基础发展起来的以随机现象为主要研究形成以概率论为基础发展起来的以随机现象为主要研究 对象的对象的 数理统计数理统计 . 20 世纪世纪 50 年代以后，受计算机、年代以后，受计算机、 自放自放_引言引言_2信息论等现代科学技术的影响，统计理论、方法和应用信息论等现代科学技术的影响，统计理论、方法和应用 进入了一个全面发展的阶段，出现进入了

3、一个全面发展的阶段，出现 新的研究领域新的研究领域 ： 多元统计分析、多元统计分析、 时间序列分析、贝叶斯统计、非参数时间序列分析、贝叶斯统计、非参数 统计、线性统计模型等统计、线性统计模型等. 随着统计方法应用领域的不断随着统计方法应用领域的不断 扩展，几乎所有的科学研究都要用到统计学扩展，几乎所有的科学研究都要用到统计学. 统计学统计学 产生与发展的产生与发展的 两条线索两条线索： 政治算术政治算术 社会经济统计社会经济统计 ：人口统计、国民经济统计、物价指数、：人口统计、国民经济统计、物价指数、 保险统计、卫生医疗统计、工农业统计等保险统计、卫生医疗统计、工农业统计等. 概率论概率论 数

4、理统计数理统计 . 第一章第一章_11.1 随机事件及其运算随机事件及其运算 1.2 随机事件的概率随机事件的概率1.3 条件概率与事件的相互独立性条件概率与事件的相互独立性 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 第一章第一章_2第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率确定性现象：确定性现象： 统计规律性统计规律性 随机现象：随机现象： 在一定条件下必然发生的现象在一定条件下必然发生的现象. 在个别试验中其结果呈现出在个别试验中其结果呈现出 不确定性不确定性 , 在大量重复试验中其结果又具有在大量重复试验中其结果又具有 统计规律性统计规律性 的现象的现象. 概率论就是研究随机现象的统计

5、规律性的一门数学概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。分支。其研究对象为：随机现象其研究对象为：随机现象 研究内容为：随机现象的统计规律性。研究内容为：随机现象的统计规律性。Section1_11、随机试验：、随机试验：1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算随机试验，简称随机试验，简称 试验试验 .通常用大写的字母通常用大写的字母E或或E1,E2等等表示表示. 试验可在相同的条件下重复进行；试验可在相同的条件下重复进行； 满足以下三个特点的试验称为满足以下三个特点的试验称为 每次试验的可能结果不止一个，但所有的可能每次试验的可能结果不止一个，但所有的可能 结果是明确可知的；结果是

6、明确可知的； 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 一一 、 基本概念基本概念Section2_1随机试验随机试验 E 的所有可能结果所组成的的所有可能结果所组成的 集合集合 称为称为 试验试验 E 的的 样本空间样本空间 . 记为记为 S 或或 . 样本空间的元素，即样本空间的元素，即 E 的每一个结果称为的每一个结果称为 样本点样本点 ，用用 w表示表示.2、样本空间、样本空间 例例1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况. = H , T 例例2. 将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, 观察正反面出现的

7、情况观察正反面出现的情况. = HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT Section2_1_1例例3. 将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数. = 0 , 1 , 2 , 3 例例4. 抛一颗骰子，观察出现的点数抛一颗骰子，观察出现的点数. = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 例例5. 观察某天通过某路口的汽车的数目观察某天通过某路口的汽车的数目. = 0 , 1 , 2 , 3 , 例例6. 在区间在区间0 , 1上任取一数，观察所取到的数上任取一数，观察所取到的数. = x | 0 x

8、 1 注：样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其表注：样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其表示方法，可以用列举法，也可以用描述法示方法，可以用列举法，也可以用描述法.在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的；可以是有限个，也可以是无限个的；可以是有限个，也可以是无限个.对于一个随机试验而言，样本空间并不唯一。在同一对于一个随机试验而言，样本空间并不唯一。在同一试验中，当试验的目的不同时，样本空间往往是不同的，试验中，当试验的目的不同时，样本空间往往是不同的，但通常只有一个会提供最多的信息。例如在运动员投篮但通常只有一个会提供最多的信息

9、。例如在运动员投篮的试验中，若试验的目的是考察命中率，则样本空间为的试验中，若试验的目的是考察命中率，则样本空间为 中，不中；若试验的目的是考察得分情况，则样本中，不中；若试验的目的是考察得分情况，则样本空间为空间为 .32101分分，分，分，Section2_2试验试验 E 的样本空间的样本空间 的子集称为的子集称为 E 的的 随机事件随机事件 ，简称简称事件事件 . 3、随机事件、随机事件 在每次试验中，在每次试验中，当且仅当当且仅当 事件中的事件中的 一个样本点一个样本点 出现出现 时，称这个时，称这个 事件发生事件发生 . 基本事件：基本事件： 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成

10、的单点集. 必然事件：必然事件： 样本空间样本空间 ， 即每次试验一定发生的事件即每次试验一定发生的事件. 不可能事件：不可能事件： 空集空集 ， 即每次试验一定不发生的事件即每次试验一定不发生的事件. Section2_2_1随机事件与集合随机事件与集合 样本空间样本空间 = ：全集：全集 样本点样本点 ： 中的元素中的元素 随机事件随机事件 A ：由具有某些：由具有某些 特性的样本点特性的样本点 所组成的样本所组成的样本 空间空间 的一个子集，即的一个子集，即 A . A AASection2_2_2例例7. 将一颗骰子抛掷若干次，直到掷出的点数之将一颗骰子抛掷若干次，直到掷出的点数之 和

11、超过和超过 2 为止为止. 写出样本空间与事件写出样本空间与事件 A = 恰好抛掷骰子一次恰好抛掷骰子一次 . 解：解： = 3 , 4 , 5 , 6 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 111 , 112 , 113 , 114 , 115 , 116 A = 3 , 4 , 5 , 6 Section2_31. 包含包含 含义：含义：事件事件 A 发生必然导致事件发生必然导致事件 B 发生发生. 二、事件间的关系与事件的运算二、事件间的关系与事件的运算 若若 A B ，则称，则称 事件事件 B 包含事件包含事件

12、 A . 若若 A B 且且 B A ，则称，则称事件事件 A 与事件与事件 B 相等相等 ， 记作记作 A = B . BABASection2_3_1事件事件 AB 发生发生. 事件事件 B 的的 和事件和事件 或或 并事件并事件 . 2. 和和（并并） 含义：含义：当且仅当事件当且仅当事件 A、B 中至少有一个发生时，中至少有一个发生时， 事件事件 AB = | A 或或 B 称为事件称为事件 A 与与 ABBA称称 为为 n 个事件个事件 的和事件；的和事件； nkkA1nAAA,21称称 为可列个事件为可列个事件 的和事件的和事件. 1kkA,21AASection2_3_2事件事件

13、 AB（AB） 发生发生. 事件事件 B 的的 积事件积事件 或或 交事件交事件 . 3. 积积（交交） 含义：含义：当且仅当事件当且仅当事件 A 与事件与事件 B 同时发生时，同时发生时， 事件事件 AB(或或AB) = | A 且且 B 称为事件称为事件 A 与与 AB称称 为为 n 个事件个事件 的积事件；的积事件； nkkA1nAAA,21称称 为可列个事件为可列个事件 的积事件的积事件. 1kkA,21AASection2_3_3事件事件 AB 发生发生. 4. 差差 含义：含义：当且仅当事件当且仅当事件 A 发生、事件发生、事件 B 不发生时，不发生时， B事件事件 B 的的 差事

14、件差事件. 事件事件 AB = | A 且且 B 称为事件称为事件 A 与与 ABASection2_3_45. 互不相容互不相容（互斥互斥） 含义：含义：事件事件 A 与事件与事件 B 不能同时发生不能同时发生. 互不相容互不相容 的，或的，或 互斥互斥 的的.此时此时AB 记为记为 A+B. 若若 AB = ，则称事件，则称事件 A 与与 事件事件 B 是是 BA可列个（有限个）事件可列个（有限个）事件 两两互不相容两两互不相容 . BSection2_3_56. 对立对立（互逆互逆） 含义：含义：在每次试验中，事件在每次试验中，事件 A 与事件与事件 B 必有必有 一个一个 互为互为 对

15、立事件对立事件 或或 互为互为 逆事件逆事件 . 若若 AB = 且且 AB = ，则称事件，则称事件 A 与事件与事件 B 发生，且发生，且 仅有仅有 一个发生一个发生. A事件事件 A 的对立事件记作：的对立事件记作： . A.,AAAA.AA注意：注意： ().ABBABABABSection2_3_6例例1. 将一颗骰子抛掷两次，观察掷出的点数将一颗骰子抛掷两次，观察掷出的点数. 令令 A = 两次掷出的点数相同两次掷出的点数相同 ， B = 点数之和为点数之和为 10 C = 最小点数为最小点数为 4 . 写出该试验的样本空间写出该试验的样本空间. 用样本点表示事件用样本点表示事件

16、A , B , C 以及以及 AB , ABC , AC , CA , A( BC ) . 解：解： = 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 , 41 , 42 , 43 , 44 , 45 , 46 , 51 , 52 , 53 , 54 , 55 , 56 , 61 , 62 , 63 , 64 , 65 , 66 Section2_3_6_1 A = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 B = 46 , 55 , 64 C = 4

17、4 , 45 , 46 , 54 , 64 AB = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 46 , 64 ABC = AC = 11 , 22 , 33 , 55 , 66 CA = 45 , 46 , 54 , 64 A( BC ) = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 46 , 64 Section2_42. 交换律：交换律：AB = BA ， AB = BA . 三、事件运算的性质三、事件运算的性质 3. 结合律：结合律：A( BC ) = ( AB )C ， A( BC ) = ( AB )C . 4. 分配律：分配律：A( BC )

18、= ( AB )( AC ) ， A( BC ) = ( AB )( AC ) . 1. 吸收律：吸收律： 若若 A B ，则，则 AB = A ，AB = B . （交交 取小，取小，并并 取大）取大） .BBAABABABASection2_4_16. 双重否定律：双重否定律： . AA 差积转换公式：差积转换公式： . BAABABA 直和分解公式：直和分解公式：将一事件分解为若干个互不相将一事件分解为若干个互不相 .ABAABBABABABAB5. 德德摩根律：摩根律： . BABABABA,其它的其它的重要性质：重要性质： 容事件之和容事件之和. .BAABA 记号记号概率论概率论集

19、合论集合论样本空间样本空间,必然事件必然事件全集全集不可能事件不可能事件空集空集样本点（基本事件）样本点（基本事件）元素元素事件的关系及运算与集合的关系及运算的对照表事件的关系及运算与集合的关系及运算的对照表A事件子集A的对立事件（逆事件）A的余集事件A发生必有事件B发生A是B的子集A=B事件A与事件B等价A与B相等AB事件A与B至少有一个发生A与B的并集AB事件A与B同时发生A与B的交集A-B事件A发生而事件B不发生A与B之差AB=事件A与事件B互不相容（互斥事件）A与B没有公共元素Section2_4_2例例2. 设设 A , B , C 为三个事件，试用为三个事件，试用 A , B ,

20、C 表示表示 下列事件：下列事件： A , B 中中 A 发生；只有发生；只有 A 发生发生. A , B , C 中至少有一个发生；恰好有一个发生中至少有一个发生；恰好有一个发生. A , B , C 中至少有两个发生；恰好有两个发生中至少有两个发生；恰好有两个发生 . A , B , C 中最多有一个发生中最多有一个发生. A , B , C 都发生；都不发生；不都发生都发生；都不发生；不都发生 . A , B 中至少有一个发生，但中至少有一个发生，但 C 不发生不发生. 解：解： A ； .BA A B C ； .ABCABCABCSection2_4_2_1 AB BC AC ABCA

21、BCABC CBAABCABCABCABBCAC ()AB C ABCCBAABCABCABBCACSection2_4_3 第第 2 次出现正面次出现正面. 只有第只有第 2 次出现正面次出现正面. 第第 2 次才出现正面次才出现正面. 正面出现正面出现 2 次次. 例例3. 将一枚硬币抛掷三次，设将一枚硬币抛掷三次，设 表示第表示第 i 次出现次出现 iA正面正面 ( i = 1 , 2 , 3 )，试用，试用 表示下列事件：表示下列事件： iA解：解： 2A 321AAA21AA321321AAAAAA321321321AAAAAAAAASection2_4_4例例4. 设设 A , B

22、 为两个任意事件，化简下列事件并为两个任意事件，化简下列事件并 说明其含义：说明其含义： . )()(BABABA . BABABA解：解： ABBABABA)()( BABABABASection3_11.2 随机事件的概率随机事件的概率定义定义 在相同的条件下，进行在相同的条件下，进行 n 次试验，在这次试验，在这 n 次次 一、频率一、频率 试验中，事件试验中，事件 A 发生的次数发生的次数 称为事件称为事件 A 发生的发生的 频数频数. An比值比值 称为事件称为事件 A 发生的发生的 频率频率 ，记作，记作 . nnA)(Afn频率具有以下频率具有以下 性质性质 ： ； 1)(0Af

23、n ； 1)(nf 若若 是两两互不相容的事件，则是两两互不相容的事件，则 kAAA,21. )()(11kiinkiinAfAfSection3_2定义定义 设试验设试验 E 的样本空间为的样本空间为 ，对于，对于 E 的任意的任意 二、概率二、概率 一个事件一个事件 A 赋于一个实数赋于一个实数 P (A) ，称为事件，称为事件 A 的的 概率概率 , 如果集合函数如果集合函数 P ( ) 满足以下满足以下 三条公理三条公理 ： 非负性：非负性：对于任意事件对于任意事件 A ，有，有 P (A) 0 ； 规范性：规范性：对于必然事件对于必然事件 ，有，有 P ( ) = 1 ； 可列可加性

24、：可列可加性：对任意两两互不相容的事件列：对任意两两互不相容的事件列： ，有，有 ,21nAAA. )()(11iiiiAPAPSection3_3三、概率的基本性质三、概率的基本性质 对于不可能事件对于不可能事件 ，有有 P ( ) = 0 ； 设设 A , B 是两个事件，若是两个事件，若 A B ，则有，则有 的事件，则有的事件，则有 有限可加性：有限可加性：若若 是两两互不相容是两两互不相容 nAAA,21. )()(11niiniiAPAP, )()()(APBPABP. )()(APBP 对于任一事件对于任一事件 A ，有，有 . 1)(AP注意：注意：由由 P(A) = 0 不能

25、推出不能推出 A 是不可能事件是不可能事件. Section3_3_1 加法公式：加法公式：对于任意两事件对于任意两事件 A , B 有有 ()( )( )().P ABP AP BP AB 求逆公式：求逆公式：对于任一事件对于任一事件 A , 有有 . )(1)(APAP 减法公式：减法公式：对于任意两事件对于任意两事件 A , B 有有 . )()()(ABPAPBAP)(1)(APAP()1()1()P ABP ABP AB ()( )( )( )()()()().P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABCSection3_3_2 直和公式：直和公式：对于任意两事件对

26、于任意两事件 A , B 有有 )()()()(BAPABPBAABPAP()( )()( )()P ABP AP ABP BP AB)()()(ABPBAPBAP例例 1(2)1()()( )( )6P BAP BAP BP A(3)113()()( )()288P BAP BABP BP AB解解 （1）1()()( )()2P BAP BABP BP ABSection4_1四、古典概率四、古典概率 设随机试验设随机试验 E 的样本空间为的样本空间为 ，如果，如果 E 满足：满足： 有限性：有限性： 只包含有限个基本事件只包含有限个基本事件. 则称试验则称试验 E 为为 等可能概型等可能

27、概型 或或 古典概型古典概型 . 等可能性：等可能性：每个基本事件发生的可能性相同每个基本事件发生的可能性相同. 对于古典概型，事件对于古典概型，事件 A 的概率为：的概率为： A 包含的基本事件数包含的基本事件数 中的基本事件总数中的基本事件总数 P ( A ) = Section4_2例例1. 将一枚硬币抛掷三次，求下列事件的概率：将一枚硬币抛掷三次，求下列事件的概率： 恰好有一次出现正面恰好有一次出现正面. 恰好有二次出现正面恰好有二次出现正面. 至少有一次出现正面至少有一次出现正面. 解：解： = HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TT

28、T 83)(AP 83)(BP 87)(CP87811)(1)(CPCPSection4_31. 加法原理加法原理 假设完成一件事情有假设完成一件事情有 n 种不同的方式，而第种不同的方式，而第 i 种种 排列组合的基本知识排列组合的基本知识 方式又有方式又有 种不同的方法种不同的方法 ，则完成，则完成 im),3,2,1(ni这件事情共有这件事情共有 种不同的方法种不同的方法. nmmmm212. 乘法原理乘法原理 假设完成一件事情必须经过假设完成一件事情必须经过 n 个不同的步骤，而个不同的步骤，而 第第 i 个步骤又有个步骤又有 种不同的方法种不同的方法 ，则，则 im),3,2,1(n

29、i完成这件事情共有完成这件事情共有 种不同的方法种不同的方法. nmmmm21Section4_3_13. 排列排列 不允许重复的排列：不允许重复的排列：从从 N 个个 不同不同 的元素中任的元素中任 允许重复的排列：允许重复的排列：从从 N 个个不同不同的元素中的元素中有放回有放回 取取 m (m N ) 个进行排列，排列数为个进行排列，排列数为 .)!(!mNNPmN地任取地任取 m 个进行排列，排列数为个进行排列，排列数为 . mN4. 组合组合 不允许重复的组合：不允许重复的组合：从从 N 个个 不同不同 的元素中任取的元素中任取 m (m N ) 个进行组合，组合数为个进行组合，组合

30、数为 .)!( !mNmNCmN39CSection4_4例例1. （取球模型取球模型） 设一袋中装有设一袋中装有 4 个红球，个红球，5 个白球个白球. 现按下列三种现按下列三种 方式从袋中任取方式从袋中任取 3 个球，求取出的球中有个球，求取出的球中有 2 个红球，个红球， 1 个白球的概率个白球的概率. 一次取一次取 3 个个. 一次取一次取 1 个，取后不放回个，取后不放回. 一次取一次取 1 个，取后放回个，取后放回. 解：解： 145 )(AP1524CC 无序无序 Section4_4_1注意：注意： 有序与无序有序与无序 要统一要统一 . 不放回地一次取一个，取不放回地一次取一

31、个，取 n 次次 放回与不放回放回与不放回 结果不同结果不同 . 与一次取与一次取 n 个个 结果相同结果相同 . 99914141315CCCC24380 )(CP39P13141315CCCC145 )(BPSection4_5例例2. （抽签问题抽签问题） 设一袋中有设一袋中有 10 个球，其中白球个球，其中白球 2 个，黑球个，黑球 8 个个. 从中随机地逐一取球，取后不放回，求第从中随机地逐一取球，取后不放回，求第 8 次取到白次取到白 球的概率球的概率. 解：解： )(AP810P1279CP 51102注意：注意：抽签的结果与抽签的顺序无关抽签的结果与抽签的顺序无关. Secti

32、on4_5_1例如例如 某商店有某商店有 10 件商品，其中有件商品，其中有 3 件一等品，件一等品， 先后有先后有 2 位顾客去购买这种商品，每人随机购买一件位顾客去购买这种商品，每人随机购买一件. 求下列事件的概率：求下列事件的概率： 第第 1 位顾客买到一等品位顾客买到一等品. 第第 2 位顾客买到一等品位顾客买到一等品. Section4_6例例3. （取数问题取数问题） 事件的概率事件的概率. 三个数字中不含三个数字中不含 0 和和 5 . 三个数字中不含三个数字中不含 0 或或 5 . 三个数字中含三个数字中含 0 但不含但不含 5 . 从从 09 十个数字中任取十个数字中任取 3

33、 个不同数字，求下列个不同数字，求下列 157解：解： )(AP310C38CSection4_6_11514307 )(BP310C382828CCC或者或者 )(1)(BPBP3101C18C1514 )(CP310C28CSection4_7例例4. （组数问题组数问题） 从从 09 十个数字中任取十个数字中任取 4 个数字，求能排成一个个数字，求能排成一个 四位偶数的概率四位偶数的概率. 9041解：解： )(AP410P28181439PCCP Section4_8例例5. （分配模型分配模型） 将将 m 个球随机地放入个球随机地放入 N（m N）个盒子中，每个）个盒子中，每个 盒子

34、可放入任意多个球盒子可放入任意多个球. 试求下列事件的概率试求下列事件的概率. 某指定的某指定的 m 个盒子各有一个球个盒子各有一个球. 恰好有恰好有 m 个盒子各有一个球个盒子各有一个球. 某指定的某指定的 k（k m）个盒子各有一个球）个盒子各有一个球. 某指定的一个盒子中恰好有某指定的一个盒子中恰好有 k（k m）个球）个球. 解：解： )(APmN!m )(BPmN!mCmNSection4_8_1mNmN )(CPkmkmkNkC)( ! )(DPkmkmNC) 1(Section4_9将将 3 封信随机地投入到封信随机地投入到 4 个空邮筒中，个空邮筒中，求邮筒中求邮筒中 信的最大

35、数量分别为信的最大数量分别为 1，2，3 封的概率封的概率. 对于对于 分配问题：分配问题：将将 m 个不同的球随机地分配到个不同的球随机地分配到 N 个不同的盒子里，个不同的盒子里，分配方案数分配方案数 为为 每个盒子可容纳任意多个球每个盒子可容纳任意多个球 ： . mN 每个盒子最多可容纳一个球每个盒子最多可容纳一个球 ： . mNP类似的问题：类似的问题：生日问题，住房分配问题，乘客乘车生日问题，住房分配问题，乘客乘车 （电梯）问题（电梯）问题. Section4_10例例6. 设事件设事件 A、B、C 满足满足 则则 P( AB C ) =_. ,97. 0)(,9 . 0)(CBAP

36、BAP解：解： )(1)(9 . 0BAPBAP)(1ABP由于由于 又又 得得 得得 1 . 0)(ABP)(1)(97. 0CBAPCBAP)(1ABCP03. 0)(ABCP所以所以 07. 0)()()(ABCPABPCABPSection4_11例例7. 设事件设事件 A , B 仅发生一个的概率为仅发生一个的概率为 0.3，且，且 P(A) + P(B) = 0.5 ，求，求 A , B 至少有一个不发生的概率至少有一个不发生的概率. 解：解： )()()(3 . 0BAPBAPBABAP)()()()(ABPBPABPAP由于由于 又又 5 . 0)()(BPAP所以所以 得得

37、1 . 0)(ABP()1()P ABP AB 9 . 0)(1ABPSection4_12解题思路：解题思路： 利用概率的性质与公式利用概率的性质与公式. 利用公式求概率利用公式求概率. 解题方法：解题方法： 确定试验的基本事件的结构特征确定试验的基本事件的结构特征. 计算基本事件总数与事件计算基本事件总数与事件 A 包含的基本事件数包含的基本事件数. 古典概型中事件概率求解的思路与方法：古典概型中事件概率求解的思路与方法： 利用对立事件利用对立事件. 直接计算基本事件数直接计算基本事件数. 将复杂事件分解为互斥事件之和将复杂事件分解为互斥事件之和. 自放自放_事件表示事件表示 AB ：事件

38、事件 A 发生，发生，同时同时 事件事件 B 不发生，即不发生，即 AB ：事件事件 A 、B 同时同时（都都） 发生发生. 利用事件的运算利用事件的运算 表示事件：表示事件： 事件事件 A 发生，发生，或者或者 事件事件 B 发生发生. .BA ：事件事件 A 不发生不发生. A A B ：事件事件 A 、B 至少至少 有一个发生；有一个发生； 五、五、几何概率几何概率定义：定义：例例 1（会面问题）两人相约（会面问题）两人相约7点到点到8点在某地会面，先到点在某地会面，先到者等候另一人者等候另一人20分钟，这时就可离去，试求这两人分钟，这时就可离去，试求这两人能会面的概率？能会面的概率？9

39、5604060222p20 yx解：以解：以x，y分别表示两人到达时刻（分别表示两人到达时刻（7点设为零时刻），则会面的充要条件为点设为零时刻），则会面的充要条件为 这是一几何概率问题，可能的结果全体是边长为这是一几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点为图中阴影部分，的正方形里的点，能会面的点为图中阴影部分，所求概率所求概率Section5_11.3 条件概率与事件的相互独立性条件概率与事件的相互独立性的情况的情况. 设设 A 表示表示 “至少有一次出现正面至少有一次出现正面”，B 表示表示 “两次掷出同一面两次掷出同一面”. 引例引例 将一枚硬币抛掷两次，观察正反

40、面出现将一枚硬币抛掷两次，观察正反面出现 试用集合表示试用集合表示 、A、B、AB，并求，并求 P(A)、 P(B)、P(AB) . 求：求： . A 中属于中属于 B 的基本事件数的基本事件数 A 包含的基本事件数包含的基本事件数 一、条件概率一、条件概率 Section5_1_1解：解： = HH , HT , TH , TT ， A = HH , HT , TH ， B = HH , TT ， AB = HH ， ,43)(AP,21)(BP.41)(ABP . A 中属于中属于 B 的基本事件数的基本事件数 A 包含的基本事件数包含的基本事件数 31Section5_1_2定义定义 设

41、设 A , B 是两个事件，且是两个事件，且 P (A) 0，称，称 为在事件为在事件 A 发生的条件下事件发生的条件下事件 B 发生的发生的 条件概率条件概率 . )()()|(APABPABP条件概率条件概率 具有概率的三个基本属性：具有概率的三个基本属性： )|(AP 非负性：非负性：对于任意事件对于任意事件 B ，有，有 P (B | A) 0 ； 规范性：规范性：对于必然事件对于必然事件 ，有，有 P ( | A) = 1 ； 可列可加性：可列可加性：对任意两两互不相容的事件列：对任意两两互不相容的事件列： ，有，有 ,21nBBB. )|()|(11iiiiABPABPSectio

42、n5_1_3理解：理解： P(AB) 、P(B | A) 与与 P(B) 之间的区别之间的区别. P(AB) 表示事件表示事件 A 与与 B 同时发生的概率，在计同时发生的概率，在计 算算 P(AB) 时，试验的所有可能结果所构成的集合为样本时，试验的所有可能结果所构成的集合为样本 P(B | A) 表示在事件表示在事件 A 发生的条件下事件发生的条件下事件 B 发发 生的概率，在计算生的概率，在计算 P(B | A) 时，试验的所有可能结果所时，试验的所有可能结果所 空间空间 . 构成集合为构成集合为 A . 在计算在计算 P(B) 时，试验的所有可能结果所构成的时，试验的所有可能结果所构成

43、的 集合为样本空间集合为样本空间 . 例例1 设设10件产品中有件产品中有3件次品，现进行无放回地从中取出件次品，现进行无放回地从中取出两件，求在第一次取到次品的条件下，第二次取到的也两件，求在第一次取到次品的条件下，第二次取到的也是出次品的概率是出次品的概率.211213232(|)()/()()( )/109109P A AP A AP AiA解：令解：令表示表示第第i i次取到次品次取到次品，（，（i=1,2i=1,2），则要求的概率为），则要求的概率为例例2 甲、乙两条生产线生产同一种元件甲、乙两条生产线生产同一种元件,已知甲生产线生产已知甲生产线生产8个元个元件件,其中其中2个次品个

44、次品,乙生产线生产乙生产线生产9个元件个元件,其中其中1个次品个次品.现在从全部现在从全部17个元件中任取一个元件个元件中任取一个元件,求求: (1)P(1)P（A A）, ,其中其中；产品这个元件是甲生产线的A （2 2）P P（B B）, ,其中其中；这个元件是次品B（3）P（AB）；3(2) ( );17P B 2(3) ();17P AB 2(4).3P A B 8( );17P A 解解: : （1 1）( )P A 这说明事件这说明事件B的发生对事件的发生对事件A的发生有影响的发生有影响,且且显然显然)()(32BPABPBAPSection5_2乘法公式乘法公式 设设 P (A)

45、 0，则有，则有 二、乘法公式二、乘法公式 推广推广 设设 P (AB) 0，则有，则有 . )|()()(ABPAPABP)|()()(ABCPAPABCP. )|()|()(ABCPABPAPSection5_2_1例例1. 设某批产品中有设某批产品中有 a 个合格品，个合格品，b 个废品个废品. 现现 从中不放回地随机抽取两次，一次抽取一个从中不放回地随机抽取两次，一次抽取一个. 求下列求下列 事件的概率：事件的概率： 第一次抽到合格品第一次抽到合格品. 已知第一次抽到合格品，第二次抽到合格品已知第一次抽到合格品，第二次抽到合格品. 二次都抽到合格品二次都抽到合格品. 第二次才抽到合格品

46、第二次才抽到合格品. 第二次抽到合格品第二次抽到合格品. Section5_2_1_1解：解： 设设 表示第表示第 i 次抽到合格品（次抽到合格品（i = 1 , 2）. iA baaAP)(1 11)|(12baaAAP )(21AAP)|()(121AAPAP) 1)() 1(babaaa )(21AAP)|()(121AAPAP1baabab) 1)(babaab baaAP)(2例例2 设在设在10个同一型号的元件中有个同一型号的元件中有7个一等品个一等品,从这些元件中不放回从这些元件中不放回地连续取三次地连续取三次,每次取一个元件每次取一个元件,求（求（1）三次都取得一等品的概率；）

47、三次都取得一等品的概率；（2）三次中至少有一次取得一等品的概率）三次中至少有一次取得一等品的概率.解：解： 设设1,2,3ii次取得一等品，第iA，则12312131276 5(1) ()() () ()10 9 8P A A AP A P A A P A A A123123123121312(2) ()11()32 11() () ()110 9 8P AAAP AAAP A A AP A P AA P A A ASection5_3三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式 为为 E 的一组事件的一组事件. 若若 定义定义 设试验设试验 E 的样本空间为的样本空间为 ， nBBB

48、,21 ,2,1,njijiBBji .21nBBB则称则称 为为 的一个的一个 划分划分（或（或 完备事件组完备事件组）. nBBB,21若若 为为 的一个划分，则对的一个划分，则对 每次试验每次试验 , nBBB,21事件事件 中中 必有一个且仅有一个必有一个且仅有一个 发生发生. nBBB,21Section5_3_1定理定理 设试验设试验 E 的样本空间为的样本空间为 ，A 为为 E 的事件的事件, 有有 为为 的一个划分的一个划分, 且且 nBBB,21. ), 2 , 1(0)(niBPi. )|()()(1niiiBAPBPAP称为称为 全概率公式全概率公式 . 若若 P(A)

49、0，则有，则有 . ),2,1()|()()|()()|(1niBAPBPBAPBPABPniiiiii称为称为 贝叶斯贝叶斯 公式公式（或（或 逆概公式逆概公式、后验概率公式后验概率公式）. Section5_3_2适合适合 全概全概 与与 逆概公式逆概公式 求解的概型：求解的概型： 从从 时间顺序时间顺序（或（或逻辑关系逻辑关系）上看，试验可分为）上看，试验可分为 两个阶段两个阶段（或（或 层次层次）进行，第一阶段的试验结果会）进行，第一阶段的试验结果会 影响第二阶段某试验结果影响第二阶段某试验结果 A 的发生，第一阶段的所有的发生，第一阶段的所有 可能结果是已知的，但具体哪一个结果发生是

50、未知的可能结果是已知的，但具体哪一个结果发生是未知的. 若求若求 P(A) ，则利用，则利用 全概公式全概公式 . 若已知若已知 A 发生，求它是由第一阶段某结果发生，求它是由第一阶段某结果 iB引起（或导致）的概率，则利用引起（或导致）的概率，则利用 逆概公式逆概公式 . 利用全概或逆概公式的利用全概或逆概公式的 关键：关键：选取完备事件组，选取完备事件组， 即确定第一阶段试验的即确定第一阶段试验的 所有可能结果所有可能结果 . Section5_3_3 3 个红球和个红球和 3 个白球个白球. 从袋中任取从袋中任取 2 个球放入盒中，然个球放入盒中，然 后从盒中任取后从盒中任取 1 个球，

51、求这个球是白球的概率个球，求这个球是白球的概率. 83例例1. 设盒中装有设盒中装有 4 个红球和个红球和 2 个白球，袋中装有个白球，袋中装有 解：解： 设设 A 表示取到白球，表示取到白球， 表示从袋中取出的两表示从袋中取出的两 iB个球中有个球中有 i 个白球（个白球（i = 0 , 1 , 2）. ,51)(26230CCBP,53)(2613131CCCBP,51)(26232CCBP,82)|(0BAP,83)|(1BAP,84)|(2BAP)|()()|()()|()(221100BAPBPBAPBPBAPBP)(APSection5_3_4产品，三个车间生产的产量分别占总产量的

52、产品，三个车间生产的产量分别占总产量的 25% , 35%，40%，三个车间生产的次品率分别为，三个车间生产的次品率分别为 5% , 4% , 2%. 现从该厂的所有产品中任取一件进行检验现从该厂的所有产品中任取一件进行检验. 如取到次品，求它是如取到次品，求它是 1 号车间生产的概率号车间生产的概率. 求取到次品的概率求取到次品的概率. 解：解： 设设 A 表示取到次品，表示取到次品， ,4 . 0)(,35. 0)(,25. 0)(321BPBPBP表示所取到的产品是表示所取到的产品是 iB由第由第 i 号车间生产的（号车间生产的（i = 1 , 2 , 3）. ,02. 0)|(,04.

53、 0)|(,05. 0)|(321BAPBAPBAP例例2. 设某工厂有设某工厂有1 , 2 , 3 号三个车间生产同一种号三个车间生产同一种 Section5_3_4_169250345. 0 )|()()|()()|()(332211BAPBPBAPBPBAPBP)(AP )|(1ABP)()(1APABP)()|()(11APBAPBPSection6_1四、事件的相互独四、事件的相互独 立立 性性 正反面出现的情况正反面出现的情况”. 设设 A 表示表示 “甲出现正面甲出现正面”，B 表示表示 “乙出现正面乙出现正面”. 求求 P(A) , P(B) , P(AB) , P(B | A

54、) . 引例引例 设试验设试验 E 为为 “抛甲、乙两枚硬币，观察其抛甲、乙两枚硬币，观察其 解：解： = HH , HT , TH , TT ， A = HH , HT ， B = HH , TH ， AB = HH . ,21)(AP,21)(BP,41)(ABP.21)|(ABPSection6_1_1定理定理 设设 A , B 是两事件，且是两事件，且 P(A) 0 . 则则 则称事件则称事件 A 与与 B 相互独立相互独立 ，简称，简称 A , B 独立独立 . 定义定义 设设 A , B 是两事件，如果满足等式是两事件，如果满足等式 )()()(BPAPABP A 与与 B 相互独

55、立相互独立 . )()|(BPABPSection6_1_2性质性质 若事件若事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则 与与 ， 与与 ， 与与 . ABABAB.)(1)(1 1)()(1)(BPAPBPAPBAP 概率为概率为 1 或或 0 的事件与任何事件相互独立的事件与任何事件相互独立. 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立 ) 1)(0()|()|(BPBAPBAP) 1)(0(1)|()|(BPBAPBAP)()()(BPAPABP)0)()()|(APBPABP)0)()()|(BPAPBAPSection6_1_3如果如果 A , B , C 满足条件，则称事件满足条件

56、，则称事件 A , B , C 定义定义 设设 A , B , C 是三个事件，对于条件：是三个事件，对于条件： , )()()(BPAPABP , )()()(CPBPBCP , )()()(CPAPACP , )()()()(CPBPAPABCP 两两独立两两独立 ，如果，如果 A , B , C 满足条件，则称事满足条件，则称事 件件 A , B , C 相互独立相互独立 . 若若 m + n 个事件个事件 相互独立相互独立, nmBBBAAA,2121则事件则事件 与与 相互独立，相互独立， ),(21mAAAf),(21nBBBg后所得的事件后所得的事件. 其中其中 分别表示对其相应

57、事件进行各种事件运算分别表示对其相应事件进行各种事件运算 )(, )(gfSection6_1_4元件（或系统）的元件（或系统）的 可靠性可靠性 . 例例1. 一个元件（或系统）能正常工作的概率称为一个元件（或系统）能正常工作的概率称为 如图所示，设有如图所示，设有4个独立工个独立工 作的元件作的元件1 , 2 , 3 , 4 按以下两种方式联接构成两个系统按以下两种方式联接构成两个系统. 设第设第 i 个元件的可靠性为个元件的可靠性为 . )4 , 3 , 2 , 1( ipi求两个系统的可靠性求两个系统的可靠性. 1 2 3 4 1 2 3 4 系统系统 1 系统系统 2 Section6

58、_1_5解：解： 系统系统 1 正常工作的概率正常工作的概率 p 设设 表示第表示第 i 个元件正常工作个元件正常工作. iA)(4321AAAAP)()()(43214321AAAAPAAPAAP)()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP43214321pppppppp 系统系统 2 正常工作的概率正常工作的概率 q )(4321AAAAP)()()()(2121APAPAPAP)(43432121pppppppp)()(4321AAPAAP)()()()(4343APAPAPAP例例2 甲、乙二人同时向同一目标射击一次，甲击中率为甲、乙二人同时向同一目

59、标射击一次，甲击中率为0.8，乙击，乙击中率为中率为0.6，求在一次射击中，目标被击中的概率。，求在一次射击中，目标被击中的概率。解：设解：设A A 甲击中甲击中 ，B B 乙击中乙击中 ，C C 目标被击中目标被击中 ，则，则C CA A)()()()()()()()()(BPAPBPAPABPBPAPBAPCP92. 06 . 08 . 06 . 08 . 0或或( ) 1( ) 1() 1() 1( ) ( )1 (1 0.8)(1 0.6)0.92P CP CP ABP ABP A P B 五、五、伯努利概型伯努利概型1 1泊努利试验泊努利试验2. n重泊努利试验重泊努利试验例例1 设

60、某种药对某种疾病的治愈率为设某种药对某种疾病的治愈率为80%,现有现有10名患有这种疾病的名患有这种疾病的病人同时服用这种药病人同时服用这种药,求其中至少有求其中至少有6人被治愈的概率人被治愈的概率.Section总结总结_1第一章第一章 总总 结结 一、事件的关系、运算及概率的重要性质一、事件的关系、运算及概率的重要性质 1. BABBAABABABABABA,BAABA2. )()()()(ABPBPAPBAP)()()()(ABPAPBAPBAP)(1)(APAP)(1)(1)(BAPBAPBAP)()()(BAPABPAP)|()()|()()(BAPBPABPAPABPBAABABA