第30讲巧总结几种常见的解题方法

1、 才子教育 小学奥数系列第30讲 巧总结几种常见的解题方法巧点晴方法和技巧数学奥林匹克竞赛试题涉及的知识量大，题型各异，解题中“一把钥匙开千把锁“的办法和思路几乎没有，但是人们在长期的实践中积累了一些经验，可以使我们在解题中少走弯路。解决数学题不仅要有数学智慧，还要有灵活的解题方法和思路。在此，我们对几种常见的解题方法略作介绍。巧指导例题精讲一、充分利用直观性原理充分利用直观性，就是借助线段、表格或图形来帮助思考，使思路简捷、形象。【例1】甲、乙、丙、丁四人拿出同样多的钱，合伙购同样规格的若干件货物。货物买来后，甲、乙、丙分别比丁多拿了3，7，14件货物，最后结算，乙付给丁14元，那么丙应付给

2、丁多少元？解 甲、乙、丙、丁拿出同样多的钱，就该买同样规格和件数的货物。用设数法，假设丁实际拿了10件，根据题意，列出下表：甲乙丙丁实拿13172410应拿16161616实拿与应拿之差差3多1多8=5+3差6借助平均数“移多补少”的原则，乙付给丁恰好是一件货物的钱：14÷1=14（元）。由上表可知，丙应付给丁5件货物的钱：14×5=70（元）。答：丙应付给丁70元。【例2】一辆汽车按计划速度行驶了1小时，剩下的路程用计划速度的继续行驶，到达目的地的时间比计划迟了2小时。如果按计划速度行驶的路程再增加60千米，则到达目的地的时间比计划只迟1小时。问：计划速度是多少？全程有多

3、长？分析与解 这类问题要考虑三个因素：路程、速度、时间，我们可以用长方形图来帮助解决，如图1。用长方形的长表示速度，宽表示时间，则长方形的面积表示距离。行驶1小时后，再将原速度分成“5”份，由题意，可得图2。S2=S3，S1=S3，所以S2=S1。所以，原时间=2×1=4（时）。原速度行驶的路程再增加60千米，同样把原速度分成“5”份，同理：S2=S3，S1=S3，所以S2=S1。易知原速度行60千米的时间=4×11=1.5(时)原速=60÷1.5=40(千米/时)全程=40×4=160(千米)答:计划速度是40千米/时,全程长160千米.二、尝试与递推

4、是契机数学中有一类问题，按常规的方法去思考，一时不容易理出头绪，这时常常需要我们退到最简单的情形。著名数学家华罗庚教授说过：“善于退，退到原始而不失重要性的地方，是学好数学的重要诀窍。”从“原始的”、“简单的”情形开始枚举尝试，得出一些初步的结果，并逐次利用所得到的结果，推出后面的结论，这种方法蕴含的基本思路就是尝试、猜想、递推的方法。【例3】 有一串数排成一行，从第三个数起，每个数都是它前面两个数的和。已知这串数的第2000个和2001个数被3除的余数都是1，问：这串数的第20个数被3除余几？解个数第1990第1991第1992第1993第1994第1995第1996第1997第1998第1

5、999第2000第2001余数101120221011从第2 001个数往前倒回去，余数是按照“1，1，0，1，2，2，0，2”的规律循环（周期为8）反复出现的。利用这个规律：（2 00119）÷8=2476，第20个数被3除的余数恰好与第1 996个数被3除的余数相同，为2。【例4】设A，B，C，D是一个正四面体的顶点（如右图），每条棱长1米。一只小虫从顶点A出发，按照下列规律爬行：在每一个顶点相交的三条棱中选一条（三条棱选到的可能性相等），然后从这条棱爬到另一点。设小虫爬了7米路程之后，又回到顶点A的可能性为P=，求M的值。分析与解 设从A出发走过n米回到A点的走法为an种。由于

6、从A出发走n1米的走法共有3n1种（由乘法原理可知），其中an1种走到A的，下一步一定离开A。除去这an1,其余的每一种都可以再走1米到达A点。因此有：an=3n1an1a737易知：a1=0,a2=3210=3,a3=3313=6,a4=3416=21,a5=35121=60,a6=36160=24360=183,a7=371183=546.不难得出：P= =,即M=182。三、利用“对称”解题“对称”是数学美的一种重要形式。灵活地运用“对称”既能帮助我们迅速、准确地找到解题捷径，又能使我们领略数学独特的美感。这里主要介绍中心对称的应用。【例5】将下图1分割成形状和大小一样的四块，并且每一块

7、恰好都有“异”、“想”、“天”、“开”四个字。分析与解 一个正方形要分成形状和大小一样的四块，根据它的对称性，一般是从中心点分开。因为相对的两个数字必须分开，所以我们先将两个并列在一起的“开”字分开，在两个“开”之间画上一段划分线，然后将它分别绕中心旋转90度、180度、270度，得到另外三种划分线，如图2。依上述方法，可以画出所有这样的划分线。如图3中间的四个小方格，分属于四小块，不可能两格同属一块，因此也要分开。这个正方形的面积是64个面积单位，因此切开后的每一块的面积为16个面积单位，即由16个小方格组成。在图3的基础上，从最里层开始，沿着划分线即可得到图4。【例6】将一边长28厘米的正

8、方形奶油蛋糕分成面积相等的7块，要求每一块都通过正方形的中心。分析与解 如果把蛋糕分成都要通过中心的面积相等的8块，很容易解决，如图1。如何分成面积相等的7块呢？我们从图1中得到启发，分成面积相等的7块，也应从中心呈“放射”形，但不能保证每个图形都是三角形。通过计算得出正方形的面积为28×28=784（厘米2），而分成的每一个图形的面积为×784=112（厘米2）。由于其中至少有一个图形是三角形,此三角形的高为14厘米,则三角形的底为112×2÷14=16(厘米)。因此，从正方形某一个顶点开始，沿正方形的边每隔16厘米取一点，然后，把这些点与中心连接，得

9、到图2。从上面的讨论可知，分成的图开中有三角形，其面积为112厘米2，分成的四边形的面积是否与三角形相等呢？为什么？想一想，要把一个正方形的蛋糕分成面积相等的n块，方法是怎样的？四、从“结论”出发从问题的结论入手，逐步找出结论成立的充分条件，也是我们解决难题的一种常见的思路。【例7】如下图的7种图形，如果只用其中一种图形拼成面积是16的正方形，那么可用的图形是哪些？分析与解 取四个图形（5）或（7），很快就能拼成4×4的正方形。对于图（1）、图（2），先取出同样的两个，拼成2×4的长方形，如下图。再用同样的两个长方形就可以拼成4×4的正方形。对于图（6），先取两个

10、拼成右图中右边所示的部分，再取两个可填满4×4的正方形的其余部分。我们观察图（3），由于4×4的正方形的边长都是4个单位，因此先取两个图（3）拼合，只有图（a）、图（b）、图（c）三种可能。我们发现不论图（a）、图（b）、图（c）在4×4的正方形中如何放置，总存在孤立的1×1小方形，显然，用图（3）不能拼成4×4的正方形。同理，用（4）也不行。综上所述，可用的图形有（5）、（7）、（1）、（2）、（6）五种。【例8】自然数1, 2,，2001满足1232001=1·2··2001，求1，2，3，2001中的最大值。

11、分析与解 不失一般性，可设12320002001，则有2001112200120012001，从而200111·2··2000·200120012001，1×1××11×2××20002001。 2000个1当且仅当1，2，1999取最小值时，2001有最大值。数学思考方法还很多，这里就不一一举例了。亲爱的同学们，相信你们在实践中会想出许多更好的办法。巧练习温故知新（三十）1.一辆汽车从甲地开往乙地，如果以原速度行驶1小时后，再将速度提高20%，可以比原定的时间提前1小时到达；如果以原速度再多行

12、75千米，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。求甲、乙两地间的距离。2.有甲、乙、丙三家报社在同一条街上送报纸。这条街共有100户，每家报社都从某户人家开始按自己的顺序往后送，已知甲送了75户，乙送了60户，丙送了52户，那么甲、乙、丙共同送过的人家至少有多少户？3.有排在同一圆上的A、B、C、D、E、F、G七大城市，体育运动组委会决定授给它们红、黄、蓝三种旗帜中的一种会旗，要求相邻两城市的会旗颜色不同，有多少种不同的分配方法？4.下图是一个正六边形，要求过A点在正六边形内引两条直线段，把正六边形分成面积相等的三部分。5.将下图分成大小、形状相同的三块，每块都带一个小五星。6.请把1，2，16这些数分成两组，每组8个数，使每组中任意两个数的和都是另一组中的某一数或某两个数的和。7.如果数a1a2an=a1a2an,即各位数上的数字的若干次方的和等于原数