2016挑战中考数学压轴题(第九版精选)

1、1目录第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题 例2 2014年武汉市中考第24题 例3 2012年苏州市中考第29题 例4 2012年黄冈市中考第25题 例5 2010年义乌市中考第24题 例6 2009年临沂市中考第26题1.2因动点产生的等腰三角形问题 例1 2015年重庆市中考第25题 例2 2014年长沙市中考第第26题 例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题 例4 2012年扬州市中考第27题 例52012年临沂市中考第26题 例6 2011年盐城市中考第28题1.3因动点产生的直角三角形问题 例1 2

2、015年上海市虹口区中考模拟第25题 例2 2014年苏州市中考第29题 例3 2013年山西省中考第26题 例4 2012年广州市中考第24题 例5 2012年杭州市中考第22题 例6 2011年浙江省中考第23题 例7 2010年北京市中考第24题1.4因动点产生的平行四边形问题 例1 2015年成都市中考第28题 例2 2014年陕西省中考第24题 例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题 例4 2012年福州市中考第21题 例5 2012年烟台市中考第26题 例6 2011年上海市中考第24题 例7 2011年江西省中考第24题1.5因动点产生的梯形问题例1 2015年上海市徐汇区

3、中考模拟第24题 例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题 例32012年上海市松江中考模拟第24题 例4 2012年衢州市中考第24题 例5 2011年义乌市中考第24题2因动点产生的面积问题2015年河南市中考第23题2014年昆明市中考第23题2013年苏州市中考第29题2012年菏泽市中考第21题2012年河南省中考第23题2011年南通市中考第28题2010年广州市中考第25题因动点产生的相切问题2015年上海市闵行区中考模拟第24题2014年上海市徐汇区中考模拟第25题2013年上海市杨浦区中考模拟第25题因动点产生的线段和差问题2015年福州市中考第26题2014年广州市中考

4、第24题2013年天津市中考第25题2012年滨州市中考第24题第二部分 图形运动中的函数关系问题由比例线段产生的函数关系问题2015年呼和浩特市中考第25题2014年上海市徐汇区中考模拟第25题2013年宁波市中考第26题2012年上海市徐汇区中考模拟第25题由面积公式产生的函数关系问题2015年上海市徐汇区中考模拟第25题2014年黄冈市中考第25题2013年菏泽市中考第21题2012年广东省中考第22题2012年河北省中考第26题2011年淮安市中考第28题3第三部分 图形运动中的计算说理问题代数计算及通过代数计算进行说理问题2015年北京市中考第29题2014年福州市中考第22题201

5、3年南京市中考第26题1.6例1例2例3例4例5例6例71.7例1例2例31.8例1例2例3例42.1例1例2例3例42.2例1例2例3例4例5例63.1例1例2例343.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2015年杭州市中考第22题例2 2014年安徽省中考第23题 例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题第四部分 图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2014年江西省中考第11题4.2图形的翻折例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题例2 2014年上海市中考第18题4.3图形的旋转例1 2015年扬州市中考第17题例2 2014

6、年上海市黄浦区中考模拟第18题4.4三角形例1 2015年上海市长宁区中考模拟第18题例2 2014年泰州市中考第16题4.5四边形例1 2015年安徽省中考第19题 例2 2014年广州市中考第8题4.6圆例1 2015年兰州市中考第15题例2 2014年温州市中考第16题4.7函数图像的性质例1 2015年青岛市中考第8题 例2 2014年苏州市中考第18题5第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图 1,在平面直角坐标系中，双曲线(kz0)与直线 y= x+ 2 都经过点 A(2, m).(1) 求 k 与 m

7、的值；(2) 此双曲线又经过点 B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 y= x+ 2 平行交 y 轴于点 C, 联结AB、AC,求厶 ABC 的面积；(3) 在(2)的条件下，设直线 y= x+ 2 与 y 轴交于点 D，在射线 CB 上有一点 E,如 果以点 A、C、E 所组成的三角形与 ACD 相似，且相似比不为 1，求点 E 的坐标.动感体验请打开几何画板文件名“ 15 宝山嘉定 24”，拖动点 E 在射线 CB 上运动，可以体验到, ACE与厶 ACD 相似，存在两种情况.思路点拨1.直线 AD/BC，与坐标轴的夹角为 45.2求 ABC 的面积，一般用割补法.3讨论 ACE

8、 与厶 ACD 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方 程.满分解答(1) 将点 A(2, m)代入 y= x+ 2,得 m = 4.所以点 A 的坐标为(2, 4).k将点 A(2, 4)代入yk，得 k= &x8(2) 将点 B(n, 2),代入y8，得 n = 4.x所以点 B 的坐标为(4, 2).设直线 BC 为 y= x+ b,代入点 B(4, 2)，得 b=- 2. 所以点 C 的坐标为(0,- 2).由 A(2, 4)、B(4, 2)、C (0,- 2)，可知 A、B 两点间的水 平距离和竖直距离都是2, B、C 两点间的水平距离和竖直距离都是 4.所以

9、 AB =2 2, BC = 4.2，/ ABC =690711所以ABC=BABC=2 2 4 2= &22(3) 由 A(2, 4)、D(0, 2)、C (0, 2),得 AD =2.2, AC =2 10.由于/ DAC +ZACD = 45,/ ACE+ZACD = 45,所以/ DAC =ZACE.所以 ACE 与厶 ACD 相似，分两种情况：1如图 3，当CE竺时，CE= AD = 2.2 .CA AC此时 ACDCAE,相似比为 1.2如图 4，当CE竺时，CE2_i10.解得 CE =10 2.此时 C、E 两点间的水CA AD20242平距离和竖直距离都是 10,所以

10、 E(10, 8).考点伸展第（2）题我们在计算 ABC 的面积时，恰好 ABC 是直角三角形. 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法.如图 5,作厶 ABC 的外接矩形 HCNM , MN/y 轴.由 S矩形HCNM= 24 ,8例2 2014年武汉市中考第24题如图 1, Rt ABC 中，/ ACB= 90, AC= 6 cm , BC= 8 cm，动点 P 从点 B 出发，在BA 边上以每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒(0vtv2),连接 PQ.(1) 若厶

11、BPQ 与厶 ABC 相似，求 t 的值；(2) 如图 2，连接 AQ、CP,若 AQ 丄 CP,求 t 的值；(3) 试证明：PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上.动感体验9请打开几何画板文件名“ 14 武汉 24”，拖动点 P 运动，可以体验到，若BPQ 可以两 次成为直角三角形，与ABC 相似当 AQ 丄 CP 时， ACQCDP . PQ 的中点 H 在ABC 的中位线 EF 上.思路点拨1. BPQ 与厶 ABC 有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程.2. 作 PD 丄 BC 于 D,动点 P、Q 的速度，暗含了 BD = CQ .3.PQ 的中点 H 在哪条中位

12、线上？画两个不同时刻P、Q、H 的位置，一目了然.满分解答(1) Rt ABC 中，AC = 6, BC= 8,所以 AB= 10. BPQ 与厶 ABC 相似，存在两种情况：10.解得 t = 1.81如果竺BQ2如果竺BQBA，那么BC8 4t.解得 t3241D.cosB =-,5当 AQ 丄 CP 时， ACQsCDP . 所以AC CD，即6必.解得QC PD 4t 3t(2)作 PD 丄 BC,垂足为在 Rt BPD 中，BP = 5t,所以 BD = BPcosB= 4t, PD = 3t.10(3)如图 4，过 PQ 的中点 H 作 BC 的垂线，垂足为 F，交 AB 于 E.

13、 由于 H 是 PQ的中点，HF/PD，所以 F 是 QD 的中点.又因为 BD = CQ = 4t，所以 BF = CF .因此 F 是 BC 的中点，E 是 AB 的中点.所以 PQ 的中点 H 在厶 ABC 的中位线 EF 上.考点伸展本题情景下，如果以 PQ 为直径的OH 与厶 ABC 的边相切，求 t 的值.如图 乙 当OH 与 AB 相切时， QP 丄 AB, 就是BPBC32,tBQBA41如图 8, 当OH 与 BC 相切时， PQ 丄 BC, 就是BPBA,t= 1 .BQBC如图 9, 当OH 与 AC 相切时， 直径PQPD2QD2(3t)2(8 8t)2,半径等于 FC

14、 =4. 所以(3t)2(82&)28.图 5图 6，但是与已知 0vtv2 矛盾).11例3 2012年苏州市中考第29题如图 1,已知抛物线y lx2l（b“X -（b 是实数且 b 2）与 x 轴的正半轴分别交444于点 A、B （点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C.（1） 点 B 的坐标为 _ ，点 C 的坐标为_ （用含 b 的代数式表示）；（2） 请你探索在第一象限内是否存在点 P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且厶PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3） 请你进一步探索在第一象限

15、内是否存在点 Q ,使得 QCO、 QOA 和厶 QAB 中的 任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如 果不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 12 苏州 29”，拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到， 点 P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于 2b 的时刻双击按钮“第（3）题”，拖动点 B，可以体验到，存在/ OQA =ZB 的时刻，也存在/ OQA=/ B 的时刻.思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等.2.联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三

16、角形，底边可以用含b 的式子表示.3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上.满分解答（1）B 的坐标为（b, 0），点 C 的坐标为（0,b）.4（2）如图 2,过点 P 作 PD 丄 x 轴，PE 丄 y 轴，垂足分别为 D、E,那么 PDBPEC. 因此 PD = PE .设点 P 的坐标为（x, x）.如图 3,联结 OP.55bx= 2b.8所以S四边形PCOB= SPCO+ SPBO=图 1解得x.所以点 P 的坐标为（I6I6）.55 5图 2图 312(3)由y x21(b 1)xb 1(x 1)(

17、x b)，得A(1,0), OA=144441如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC,那么 OQCQOA.当BAQA，即QA2BA OA时， BQAsQOA .QA OA所以(b)2b 1.解得b 8 4 3.所以符合题意的点 Q 为(1,23).42如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x= 1 交于点 Q,那么/ OQC = 90。因此 OCQQOA.当BAQA时，BQAQOA.此时/ OQB = 90.QA OA考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而/ QOA 与/ QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情

18、况.这样，先根据 QOA 与厶 QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比 例确定点 B 的位置.如图中，圆与直线 x= 1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB= 4OC 矛盾.13(1) 将 M(2, 2)代入y(x 2)(x m),得:m(2)当 m= 4 时，y1(x 2)(x 4)412x4所以1SABCE=BC OE- 6 2 6.22(3) 如图 2，抛物线的对称轴是直线x：=1,当设对称轴与 x 轴的交点为P,那么HPEOCPCO丄4(2 m)解得 m= 4.m-x2.所以 C(4, 0),

19、E(0, 2).2H 落在线段 EC 上时，BH + EH 最小.因此HP 2.解得HP3.所以点 H342(4)如图 3,过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 由于/ BCE=ZFBC，所以当 些CB的坐标为(1-3).F，过点 F 作 FF 丄 x 轴于 F.BC，即BC2CE BFBF时， BCEFBC.设点 F 的坐标为(x,1(x 2)( x，m解得 x= m + 2.所以 F(m+ 2, 0).m)，由FF EO,BFCO 1(x 2)( x m)2得m2x 2例4 2012年黄冈市中考模拟第25题如图 1,已知抛物线的方程 C1:y丄(x 2)(x m)(m 0)与 x 轴交于

20、点 B、C,与 ym轴交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧.(1) 若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；(2) 在(1)的条件下，求 BCE 的面积；(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得 BH + EH 最小，求出点 H 的坐标；(4)在第四象限内，抛物线C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形 与厶 BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 12 黄冈 25”，拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动，观察左图，可 以体验到，EC 与 BF 保持平行，但是/ BFC 在无限远处也不等于 4

21、5.观察右图，可以体 验到，/ CBF 保持 45,存在/ BFC =ZBCE 的时刻.思路点拨1.第(3)题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段 EC 上时，BH + EH 最小.2.第(4)题的解题策略是： 先分两种情况画直线BF，作/ CBF =ZEBC = 45，或 者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程.满分解答14由COBF mm 4,得. 所以BF(m 4) m24CEBFm24 BFm(m4) m24由BC2CE BF，得(m 2)2, m24m整理，得0 16.此方程无解.AyAy图 2图 3图 4VB15如图

22、 4，作/ CBF = 45交抛物线于 F，过点 F 作 FF 丄 x 轴于 F由于/ EBC=ZCBF，所以 匹BC，即BC2BE BF时， BCEs BFC .BC BF在 Rt BFF 中，由 FF = BF,得l(x 2)(x m) x 2.m解得 x= 2m.所以 F(2m,0).所以 BF = 2m+ 2, BF 2(2 m 2).由BC2BE BF，得(m 2)22、2. 2(2 m 2).解得m 22.2.综合、，符合题意的 m 为2 2.2.考点伸展第(4)题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长.16例5 2010年义乌市中

23、考第24题如图 1,已知梯形 OABC，抛物线分别过点 0(0, 0)、A (2, 0)、B (6, 3).(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；(2) 将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 01、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1.设梯形 O1A1B1C1的面积 为 S, A1、B1的坐标分别为(X1, y”、(X2, y2).用含 S 的代数式表示 X2- X1,并求出当 S=36时点 A1的坐标；(3) 在图 1 中，设点 D 的坐标为(1, 3),动点 P 从点 B 出发，以每秒 1

24、 个单位长度的 速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动.P、 Q 两点同时出发，当点Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间 为 t,是否存在某一时刻 t,使得直线PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、动感体验请打开几何画板文件名“ 10 义乌 24”，拖动点 I 上下运动，观察图形和图象，可以体验 到，X2X1随 S 的增大而减小.双击按钮“第(3)题”，拖动点 Q 在 DM 上运动，可以体验 到，如果/ GAF =ZGQE，那么 GAF 与厶 GQE 相似.思路点拨1.第(2)题用

25、含 S 的代数式表示 X2 X1,我们反其道而行之，用 X1, X2表示 S.再注 意平移过程中梯形的高保持不变，即y2 y1= 3.通过代数变形就可以了.2第(3)题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位 置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证.3.第(3)题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物 线的对称轴的夹角不变.变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴 的下方，或者假设17(1)抛物线的对称轴为直线X 1,(2)梯形 O1A1B1C1的面积S解析式为y - x282(x-

26、|1 x21)1x，顶点为 M (1,4sX1X231(X2X1)(X28由于xj当 S=36 时,X2(3)设直线y2X1X1y13，所以3.因此得到y2y1212X28723(X1X2)6,由此得到X2X1X2AB 与PQ1X2412一X11X143.整理，得14, ” f x 6,解得12.x28.交于点 G,直线 AB 与抛物线的对称轴交于点E,此时点 A1的坐标为(6, 3).直线 PQ 与 x交点 G 在 x 轴的上方.满分解答18轴交于点 F，那么要探求相似的 GAF与厶GQE，有一个公共角/ G.在厶 GEQ 中，/ GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值.在厶 G

27、AF 中，/ GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且/ GEQ仁GAF . 因此只存在/GQE =ZGAF 的可能， GQEGAF .这时/ GAF =ZGQE=ZPQD .考点伸展第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4,假如存在，说理过程相同，求得 的 t 的值也是相同的.事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图， 实际的图形更接近图 3.由于tan GAF3,tan PQD丄，所以3_L.解得t却19例6 2009年临沂市中考第26题如图 1,抛物线经过点 A(4, 0)、B (1, 0)、C ( 0, 2)三点.(1) 求此抛物线的解析式；(2)

28、P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PM 丄 x 轴，垂足为 M，是否存在点 P,使得以 A、P、M 为顶点的三角形与 OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由；(3) 在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D,使得 DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标.图 1动感体验请打开几何画板文件名“ 09 临沂 26”，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到， FAM 的形状在变化，分别双击按钮“ P 在 B 左侧”、“ P 在 x 轴上方”和“ P 在 A 右侧”，可以显心PAM与厶 OAC 相似的三个情景.双击按钮“第(3)题”，拖动点 D 在 x 轴上方的

29、抛物线上运动，观察DCA 的形状和面积随 D 变化的图象，可以体验到，E 是 AC 的中点时， DCA 的面积最大.思路点拨1. 已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便.2. 数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.3. 按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.4.把 DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于满分解答(1 )因为抛物线与xOA.轴交于 A(4 , 0)、B ( 1 ,y a(x 1)(x 4)，代入点的坐标(0，2)，解得0)两点，设抛物线的解析式为1a-.所以抛物线的解析式为21 1y2(x 1)(x 4)12

30、x(2)设点5x21P 的坐标为(x,(x21)(x 4)如图 2,当点 P 在 x 轴上方时,1VXV4,PM(x 1)(x 4),AM 4 x.2如果地PMAOCOAOCO此时点 P 的坐标为如果型PM1-(x 1)(x2，那么一24 x1x 1)(x 4)4)解得x 5不合题意.1，那么2(2,1).20图 5图 621如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时,x 4,PM1尹1)(x 4)，AM解方程解方程12(x 1)(x 4)12(x 1)(x 4)2，得x5.此时点 P的坐标为（5, 2）如图解方程解方程2不合题意.4，当点 P 在点 B 的左侧时,xv1, PM4)，AM12(x

31、 1)(x 4)4 x1Jx 1)(x 4)4 x2，得x3.此时点 P 的坐标为（3, 14).1，得x2点 P 的坐标为（2, 1 ）或（3,0.此时点 P 与点 0 重合,不合题意.14)或(5, 2).综上所述，符合条件的（3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E.直线 AC 的解析式为y设点 D 的横坐标为 m（1 m 4），那么点 D 的坐标为（m, - m22），点 E 的一1 12坐标为（m, - m 2）.所以DE （m22 21 1因此SDAC（ m2 21i22m) 4/0WD/C当m 2时， DCA 的面积最大，此时点m 2) (m 2)24m (m 2

32、)2m.4.222考点伸展第（3）题也可以这样解：如图 6,过 D 点构造矩形 OAMN，那么 DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去 CDN 和厶 ADM 的面积.设点 D 的横坐标为（m, n）（1 m 4），那么111S(2n2) 4m(n 2)n(4 m)m 2n 422215由于nm2m 2，所以Sm24m.2 2图 3图 4图 523动感体验请打开几何画板文件名“ 15 重庆 25”，拖动点 E 运动，可以体验到， FAE 与厶 FDH 保持全等， CMF 与厶 CAE 保持全等， CEF 保持等边三角形的形状.思路点拨1把图形中所有 30。的角都标注出来，便于寻找等角和

33、等边.2.中点 F 有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了.满分解答(1) 如图 3，在 Rt ABC 中，/ BAC= 60, AC =23，所以 AB= 4.3.在 Rt ADH 中，/ DAH = 30, AH = .3，所以 DH = 1 , AD = 2.在 Rt ADB 中，AD = 2, AB =4 3，由勾股定理，得 BD =2 13.(2) 如图 4，由/ DAB = 90，/ BAC = 60, AE 平分/ BAC，得/ DAE = 60 / DAH = 30.11在 Rt ADE 中，AE =AD.在 Rt ADH 中，DH =- AD.所以 AE

34、= DH .22因为点 F 是 Rt ABD 的斜边上的中线，所以 FA= FD，/ FAD =ZFDA .所以/ FAE=ZFDH .所以 FAEAFDH .所以 EF = HF .(3) 如图 5，作 FM 丄 AB 于 M，联结 CM .由 FM/DA, F 是 DB 的中点，得 M 是 AB 的中点.1.2因动点产生的等腰三角形问题例1如图 1，在 ABC 中，过点 E作 AE 的垂线，过点2015年重庆市中考第25题ACB = 90 / BAC = 60 点 E 是/ BAC 的平分线上一点，A 作 AB 的垂线，两垂线交于点 D，连接 DB，点 F 是 BD 的中点，DH 丄 AC

35、,垂足为 H，连接 EF , HF .(1)如图 1，若点 H 是 AC 的中点，AC =2 3，求 AB、BD 的长；(2)如图 1，求证：HF = EF .(3)如图 2,连接 CF、CE,猜想： CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由.图 2124因此 FM =_ AD, ACM 是等边三角形.21又因为 AE =- AD，所以 FM = EA .2又因为 CM = CA，/ CMF =ZCAE = 30,所以 CMFCAE.所以/ MCF =ZACE, CF = CE .所以/ ECF =ZACM = 60.所以CEF 是等边三角形.考点伸展我们再看几个特殊位置时的

36、效果图，看看有没有熟悉的感觉.例2 2014年长沙市中考第26题如图 1,抛物线 y= ax2+ bx+ c (a、b、c 是常数，0)的对称轴为 y 轴，且经过(0,0) 和 (a,1) 两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的OP 总经过定点 A(0, 2).16(1) 求 a、b、c 的值；(2) 求证：在点 P 运动的过程中，OP 始终与 x 轴相交；(3) 设OP 与 x 轴相交于 M(X1, 0)、N(x2, 0)两点，当厶 AMN 为等腰三角形时， 求圆心 P 的纵坐标.AAhlB氏AM图 8图 9图 10图 11如图 6,如图 7,当点 F 落在 BC 边上时，点 H

37、 与点 C 重合.图710,图2.3 .25动感体验请打开几何画板文件名“ 14 长沙 26”，拖动圆心 P 在抛物线上运动，可以体验到, 与 x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在三种情况.思路点拨1不算不知道，一算真奇妙，原来OP 在 x 轴上截得的弦长 MN =4 是定值.2.等腰三角形 AMN 存在三种情况，其中 MA = MN 和 NA= NM 两种情况时，点 坐标是相等的.满分解答（1） 已知抛物线的顶点为（0,0），所以 y= ax2.所以 b= 0, c= 0. 将（. a，丄）代入 y= ax2，得-a2.解得 a -（舍去了负值）.16164（2） 抛物线的解析式为 y

38、lx?，设点 P 的坐标为（X, X2）.44已知 A(0, 2)，所以 PA x2(1x22)21x44 1x2.V 4V1641 c而圆心 P 到 x 轴的距离为-X2，所以半径 FA圆心 P 到 x 轴的距离.4所以在点 F 运动的过程中，OF 始终与 x 轴相交.（3）如图 2，设 MN 的中点为 H，那么 FH 垂直平分 MN .111在 Rt FMH 中，FM2FA2X44 , FH2（x）2 x4，所以 MH2= 4. 16416所以 MH = 2 .因此 MN = 4，为定值.等腰 AMN 存在三种情况：F 的纵此时 x= OH = 2 3 2 .所以点 F 的纵坐标为丄 x2

39、丄（2、3 2）244如图 5，当 NA = NM 时，点 F 的纵坐标为也为 42.3 .如图3，当F 的纵坐标为 0.26考点伸展如果点 P 在抛物线 y 丄 x2上运动，以点 P 为圆心的OP 总经过定点4P 运动的过程中，OP 始终与直线 y=- 1 相切.这是因为：设点 P 的坐标为(x1x2).，4已知 B(0,1)，所以 PB Jx2(1x21)2J(x21)21x21 .而圆心 P 到直线 y=- 1 的距离也为 丄 x21,所以半径 PB=圆心 P 到直线 y=- 1 的距4离.所以在点 P 运动的过程中，OP 始终与直线 y= 1 相切.B(0, 1)，那么在点MN图 42

40、7例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图 1，在 Rt ABC 中，/ A = 90, AB= 6, AC= 8，点 D 为边 BC 的中点，DE 丄 BC 交边 AC 于点 E,点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且/ PDQ = 90.(1) 求 ED、EC 的长；(2) 若 BP= 2，求 CQ 的长；(3) 记线段备用图若厶 PDF 为等腰三角形，求 BP 的长.动感体验请打开几何画板文件名 与厶 QDN 保持相似.观察DF = DP 的情况.请打开超级画板文件名 与厶 QDN 保持相似.观察DF = DP 的情况.思路点拨1.第(2)题 BP

41、= 2 分两种情况.2解第(2)题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系.3第(3)题探求等腰三角形 PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三 角形CDQ.满分解答(1)在 Rt ABC 中， AB = 6, AC= 8，所以“13 虹口 25”,拖动点PDF，可以看到，P、“13 虹口 25”,拖动点PDF，可以看到，P、P 在射线 AB 上运动，可以体验到， PDM F可以落在对边的垂直平分线上，不存在P 在射线 AB 上运动，可以体验到，PDM F可以落在对边的垂直平分线上，不存在在 Rt CDE 中，CD = 5,所以ED CD tanBC = 10.C

42、5 ?4垂足分别为(2)如图 2，过点 D 作 DM 丄 AB, DN 丄 AC, ABC 的两条中位线， DM = 4, DN = 3.由/PDQ = 90,/ MDN = 90,可得/ PDM = / QDN . 因此 PDMQDN .15,EC竺.44M、N，那么 DM、DN 是所以如图 3,当 BP = 2, P 在 BM 上时，PIM =1 .此时QN3PM -.所以CQ CNQN43 194444.如图 4,当 BP = 2, P 在 MB 的延长线上时，PM =5.此时QN315 PM.所以CQ CNQN4153j4444(3)如图5,如图 2, 在 Rt PDQ 中，tanQP

43、D如PDDNDM28例4 2012年扬州市中考第27题29BA 3在 Rt ABC 中，tan C BA3所以/ QPD =ZC.CA 4由/PDQ = 90,/ CDE = 90，可得/ PDF=ZCDQ . 因此 PDF CDQ .当厶 PDF 是等腰三角形时， CDQ 也是等腰三角形.1如图 5，当 CQ = CD = 5 时，QN = CQ- CN= 5 4 = 1 （如图 3 所示）.444 5此时PM QN.所以BP BM PM 3 -333 3CH5 4 252如图 6，当 QC = QD 时，由cose虫，可得CQ -42.CQ2 5 8257所以 QN = CN CQ=4（如

44、图 2 所示）.8 8477 25此时PM -QN -.所以BP BM PM 3 -366 63不存在 DP = DF 的情况.这是因为/ DFP / DQP / DPQ （如图 5,图 6 所示）.考点伸展如图 6，当 CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP 也是等腰三角形，25PB = PD .在厶 BDP 中可以直接求解BP -630如图 1,抛物线 y= ax2+ bx+ c 经过 A( 1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 I 是抛物线的 对称轴.(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点 P 是直线 I 上的一个动点，当 PAC 的周长最小时，求点

45、 P 的坐标；(3) 在直线 I 上是否存在点 M，使 MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合 条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.个 y I图 1动感体验请打开几何画板文件名“ 12 扬州 27”，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验 到，当点P 落在线段 BC 上时，PA+ PC 最小， PAC 的周长最小拖动点 M 在抛物线的对 称轴上运动，观察 MAC 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M 有1 次机会落在 AC 的垂直平分线上；点 A 有 2 次机会落在 MC 的垂直平分线上；点 C 有 2 次 机会落在 MA 的垂直平分线上，但是有 1 次

46、 M、A、C 三点共线.思路点拨1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时 FAC 的周长最小. 2第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.满分解答(1) 因为抛物线与 x 轴交于 A( 1,0)、B(3, 0)两点，设 y= a(: 代入点 C(0 ,3)，得一 3a= 3.解得 a = 1.所以抛物线的函数关系式是y =(x+ 1)(x 3) = x2+ 2x+ 3.(2) 如图 2，抛物线的对称轴是直线 x= 1.当点 F 落在线段 BC 上时，FA + FC 最小， FAC 的周长最小.设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H .由,BO= CO，得 PH

47、 = BH = 2.BO CO所以点 P 的坐标为(1,2).(3) 点 M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,.6)或(1,0).考点伸展第(3)题的解题过程是这样的：设点 M 的坐标为(1,m).在厶 MAC 中，AC2= 10, MC2= 1 + (m 3)2, MA2= 4 + m2.1如图 3，当 MA = MC 时，MA2= MC2.解方程 4+ m2= 1 + (m 3)2, 得 m= 1. 此时点 M的坐标为(1, 1).2如图 4，当 AM = AC 时，AM2= AC2.解方程 4 + m2= 10,得m6.此时点 M 的坐标为(1,6)或(1,.6).3如图 5，当

48、 CM = CA 时，CM2= CA2.解方程 1 + (m 3)2= 10,得 m= 0 或 6.1)(x 3)，H图 2例4 2012年扬州市中考第27题31当 M(1,6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0).32例5 2012年临沂市中考第26题33如图 1,点 A 在 x 轴上，OA= 4,将线段OA绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置.(1) 求点 B 的坐标；(2) 求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由

49、.*OnL/K图 1动感体验请打开几何画板文件名“ 12 临沂 26”，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验 到，OO和OB 以及 OB 的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P 运动到OO 与对称轴的另一个交点时，B、O、P 三点共线.请打开超级画板文件名“ 12 临沂 26”，拖动点 P,发现存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的 距离公式列方程；然后解方程并检验.2.本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起.满分解答(1) 如图 2，过点 B 作 BC

50、 丄 y 轴，垂足为 C.在 Rt OBC 中，/ BOC = 30, OB = 4,所以 BC = 2,OC 2. 3.所以点 B 的坐标为(2, 2.3).(2) 因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 y= ax(x 4),代入点 B( 2, 2. 3) ,2、3 2a ( 6) 解得a迈.6所以抛物线的解析式为y x(x 4) x223X.663(3) 抛物线的对称轴是直线 x = 2,设点 P 的坐标为(2, y).1当 OP = OB= 4 时，OP2= 16.所以 4+y2= 16.解得 y23 .当 P 在(2,2、3)时，B、O、P 三点共线(如图

51、2).2当 BP = BO= 4 时，BP2= 16 .所以 42(y 2、3)216 .解得y1y22 3.343当 PB = PO 时，PB2= PO2.所以 42(y 2.3)22y2.解得 y 2-3 .综合、，点 P 的坐标为(2, 2、. 3)，如图 2 所示.例6 2011年盐城市中考第28题35考点伸展如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么 DOA 与厶 OAB 是两个相似的等腰三角形.由y _lx(x 4)-2(x 2)2三，得抛物线的顶点为663因此tan DOA 3所以/ DOA = 30,/ ODA = 1203图 2D图 336如图 1,已知一次函数 y= x+

52、 7 与正比例函数y4x的图象交于点 A，且与 x 轴交于3点 B.(1) 求点 A 和点 B 的坐标；(2) 过点 A 作 AC 丄 y 轴于点 C,过点 B 作直线 l/y 轴.动点 P 从点 0 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 0 C A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度 向左平移，在平移过程中， 直线 l 交 x 轴于点 R,交线段 BA 或线段 A0 于点 Q.当点 P 到达点A 时，点 P 和直线 l 都 停止运动.在运动过程中，设动点P 运动的时间为 t 秒.1当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积 为 8?2是否存在以 A、P

53、、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 11 盐城 28”，拖动点 R 由 B 向 0 运动，从图象中可以看到， APR 的面积有一个时刻等于 8.观察 APQ，可以体验到，P 在 0C 上时，只存在 AP = AQ 的情况；P 在 CA 上时，有三个时刻， APQ 是等腰三角形.思路点拨1.把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题.2 .求 APR 的面积等于 8,按照点 P 的位置分两种情况讨论. 事实上，P 在 CA 上运动 时，高是定值 4，最大面积为 6，因此不存在面积为 8 的可能.3讨论等腰三角形 A

54、PQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨 论三种情况.满分解答得-(3+7 t) 4 - 4 (4 t)1t(7 t) 8.整理，得&120解得 t = 2 或 t= 622 2(舍去).如图 3，当 P 在 CA 上运动时， APR 的最大面积为 6.因此，当 t = 2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为8.7,(1)解方程组令y(2)x 7如图43x,0，得x2，当 P 在 OC 上运动时,33,所以点 A 的坐标是4.(3, 4).7.所以点的坐标是(7, 0).tv4.由SMPRS梯形CORAS例6 2011年盐城市中考第28题37我们先讨论

55、 P 在 0C 上运动时的情形，OWtV4.如图 1 ,在厶 AOB 中，/ B = 45, / AOB45, OB = 7, AB 4 2 ,所以 0B AB .因 此/ OABZAOBZB.如图 4,点 P 由 O 向 C 运动的过程中， OP = BR= RQ，所以 PQ/X 轴.因此/ AQP = 45保持不变，/ PAQ 越来越大，所以只存在/ APQ =ZAQP 的情况. 此时点 A 在 PQ的垂直平分线上， OR= 2CA= 6.所以 BR= 1, t= 1.我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4Wtv7.在厶 APQ 中，cos A3为定值，AP 7 t,AQOA OQ

56、 OA5OR5t20533如图 5,当 AP = AQ 时，解方程7”5*20得”t -t，得t41338如图 6,当 QP = QA 时，点 Q 在 PA 的垂直平分线上，AP= 2(OR OP).解方程t 2(7 t) (t 4)，得t 5.当 PA = PQ 时，那么cos AAQ2AP因此AQ 2AP cos A.解方程520t332(7t)5，得t22673图 3图 4综上所述，t = 1 或 H 或 5 或226时， APQ 是等腰三角形.84338考点伸展当 P 在 CA 上，QP = QA 时，也可以用AP 2AQ cos A来求解.391.3因动点产生的直角三角形问题例120

57、15年上海市虹口区中考模拟第25题如图 1,在 Rt ABC 中，/ ACB = 90, AB = 13, CD /AB，点 E 为射线 CD 上一动点 (不与点 C 重合)，联结 AE 交边 BC 于 F，/ BAE 的平分线交 BC 于点 G.(1) 当 CE= 3 时，求SACEF:SACAF的值；(2) 设 CE= x, AE = y,当 CG= 2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；(3) 当 AC= 5 时，联结6,若厶 AEG 为直角三角形，求 BG 的长.图 1动感体验请打开几何画板文件名“ 15 虹口 25”，拖动直角顶点 C 运动，可以体验到， CG= 2GB 保持

58、不变， ABC 的形状在改变，EA = EM 保持不变.点击屏幕左下角的按钮 “第(3)题”， 拖动 E 在射线 CD 上运动，可以体验到， AEG 可以两次成为直角三角形.思路点拨1.第(1)题中的 CEF 和厶 CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比.2.第(2)题中的 ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形.3.第(3)题中的直角三角形 AEG 分两种情况讨论.满分解答(1) 如图 2，由 CE/AB，得-EFCEAF BA 13由于 CEF 与厶 CAF 是同高三角形，所以SACEF:SACAF= 3 : 13.(2) 如图 3，延长 AG 交射线 CD 于CM CG由 CM/

59、AB，得 池CG2所以 CM = 2AB = 26 .AB BG由 CM/AB，得/ EMA =ZBAM .又因为 AM 平分/ BAE，所以/ BAM =ZEAM .所以/ EMA =ZEAM .所以 y= EA = EM = 26 - x.(3) 在 Rt ABC 中， AB = 13, AC = 5,所以 BC = 12.图 3图 440如图 4,当/ AGE = 90时，延长 EG 交 AB 于 N,那么 AGEAGN .所以 G 是 EN 的中点.41所以 G 是 BC 的中点，BG= 6.如图 5，当/ AEG = 90 时，由 CAFs EGF，得ZC ZAFE FG由 CE/A

60、B，得ZC ZBFE FAFA FB所以.又因为/ AFG =ZBFA,所以 AFGBFA.FG FA所以/ FAG=ZB .所以/ GAB =ZB .所以 GA= GB .13GH 丄 AH，那么 BH = AH =考点伸展第（3）题的第种情况，当/ AEG = 90 时的核心问题是说理 GA = GB .如果用四点共圆，那么很容易.如图 6，由 A、C、E、G 四点共圆，直接得到/ 2=/ 4. 上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图 7，当/ AEG= 90时，设 AG 的中点为 P，那么 PC 和 PE 分别是 Rt ACG 和 Rt AEG斜边上的中线，所以 PC= PE = FA = PG .所